109 年國立中山大學資訊工程學系碩士班甲組《工程數學》考古題與詳解

Question 1

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

I. (10%) Discrete Fourier Transform (DFT) is a widely used transformation method in signal processing. According to DFT matrix, please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) All circulant matrices are made diagonal by the Discrete Fourier Transform (DFT), regardless of the generating vector x.

Accepted Answer

核心觀念

本題考查「循環矩陣（circulant matrix）可由離散傅立葉轉換（DFT）矩陣對角化」的定理。

令 $n\times n$ 循環矩陣由生成向量

x=(x_0,x_1,\ldots,x_{n-1})^T

所決定：

C= \begin{bmatrix} x_0 & x_{n-1} & \cdots & x_1\\ x_1 & x_0 & \cdots & x_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_{n-1} & x_{n-2} & \cdots & x_0 \end{bmatrix}.

其特徵向量固定為 Fourier 向量，而特徵值則是生成向量 $x$ 的 DFT：

\lambda_k=\sum_{m=0}^{n-1}x_m e^{-j2\pi km/n}, \qquad k=0,1,\ldots,n-1.

因此，若 $F_n$ 是單位化 DFT 矩陣，則

F_n C F_n^H = \operatorname{diag}(\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1}),

其中 $F_n^H$ 表示共軛轉置。若採用非單位化 DFT，公式中的比例因子會隨定義改變，但「可對角化」的結論不變。

解題方法

循環矩陣可以表示為循環位移矩陣 $P$ 的多項式：

C=x_0I+x_1P+x_2P^2+\cdots+x_{n-1}P^{n-1}.

DFT 的 Fourier 向量 $\phi_k$ 是 $P$ 的特徵向量，滿足

P\phi_k=e^{-j2\pi k/n}\phi_k.

因此，

Question 2

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

I. (10%) Discrete Fourier Transform (DFT) is a widely used transformation method in signal processing. According to DFT matrix, please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) DFT matrix is not a kind of symmetric matrix.

Accepted Answer

核心觀念 $n$ 點 DFT 的矩陣通常定義為 $$ FN=\left[\omegaN^{kn}\right]{k,n=0}^{N-1}, \qquad \omegaN=e^{-j\frac{2\pi}{N}}. $$ 若採用單位化 DFT，則矩陣為 $$ \frac{1}{\sqrt{N}}FN； $$ 乘上一個純量不會改變矩陣是否對稱。 矩陣 $A$ 為對稱矩陣的定義是 $$ A^T=A, $$ 也就是 $A{k,n}=A{n,k}$。對複數矩陣而言，這裡使用的是一般轉置 $T$，不涉及複數共軛。需與 Hermitian 矩陣 $A^H=A$ 清楚區分。 解題方法 DFT 矩陣的第 $k,n$ 個元素為 $$ (FN){k,n}=\omegaN^{kn}. $$ 交換列索引與行索引後， $$ (FN){n,k}=\omegaN^{nk}. $$ 由於 $$ kn=nk, $$ 因此 $$ (FN){k,n}=(FN){n,k}. $$

Question 3

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

I. (10%) Discrete Fourier Transform (DFT) is a widely used transformation method in signal processing. According to DFT matrix, please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) DFT matrix is an unitary matrix.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「單位矩陣」與離散傅立葉轉換矩陣的正規化。 $N$ 點 DFT 定義為 $$ X[k]=\sum{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}. $$ 令 $$ \omegaN=e^{-j2\pi/N}, $$ 則 DFT 矩陣可寫成 $$ FN=\left[\omegaN^{kn}ight]{k,n=0}^{N-1}, \qquad \mathbf{X}=FN\mathbf{x}. $$ 矩陣 $U$ 為 unitary matrix 的條件是 $$ U^H U=UU^H=I, $$ 其中 $U^H$ 表示共軛轉置。因此，矩陣的每一欄必須彼此正交，且每欄長度必須為 $1$。 解題方法 計算 DFT 矩陣的共軛轉置乘積： $$ (FN^H FN){r,s} = \sum{k=0}^{N-1} \left(\omegaN^{kr}ight)^ \omegaN^{ks}. $$ 由於 $\left(\omegaN^{kr}ight)^=\omegaN^{-kr}$，因此 $$ (FN^H FN){r,s} = \sum{k=0}^{N-1}\omegaN^{k(s-r)}. $$ 當 $r=s$ 時， $$ (FN^H FN){r,r} = \sum{k=0}^{N-1}1=N. $$ 當 $r
e s$ 時，利用等比級數：

Question 4

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

I. (10%) Discrete Fourier Transform (DFT) is a widely used transformation method in signal processing. According to DFT matrix, please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) DFT matrix is an unitary matrix.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查離散傅立葉轉換（Discrete Fourier Transform, DFT）是否符合「線性轉換」的定義。 對長度為 $N$ 的序列 $x[n]$，其 DFT 定義為 $$ X[k]=\sum{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}, \qquad k=0,1,\ldots,N-1. $$ 令 $$ \omegaN=e^{-j\frac{2\pi}{N}}, $$ 則 DFT 可寫成矩陣形式 $$ \mathbf{X}=FN\mathbf{x}, $$ 其中 DFT 矩陣 $FN$ 的元素為 $$ [FN]{k,n}=\omegaN^{kn}. $$ 任何矩陣乘法所定義的轉換皆具有線性，因此 DFT 是線性轉換。 解題方法 線性轉換 $T$ 必須滿足，對任意序列 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ 與純量 $\alpha,\beta$， $$ T(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}) =\alpha T(\mathbf{x})+\beta T(\mathbf{y}). $$ 令 DFT 轉換為 $T(\mathbf{x})=FN\mathbf{x}$，則

Question 5

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I. (10%) Discrete Fourier Transform (DFT) is a widely used transformation method in signal processing. According to DFT matrix, please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The orthogonality is not the property of the DFT matrix.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 $N$ 點離散傅立葉轉換（DFT）矩陣的正交性。 令 $$ \omegaN=e^{-j\frac{2\pi}{N}}, $$ 則 DFT 矩陣可表示為 $$ FN=\left[\omegaN^{kn}ight]{k,n=0}^{N-1}. $$ 其第 $p$ 欄與第 $q$ 欄的內積為 $$ \sum{k=0}^{N-1} \left(\omegaN^{kp}ight)^ \omegaN^{kq} = \sum{k=0}^{N-1}\omegaN^{k(q-p)}. $$ 當 $p=q$ 時， $$ \sum{k=0}^{N-1}1=N. $$ 當 $p
e q$ 時，這是一個等比級數： $$ \sum{k=0}^{N-1}\omegaN^{k(q-p)} = \frac{1-\omegaN^{N(q-p)}}{1-\omegaN^{q-p}}. $$ 由於 $$ \omegaN^{N(q-p)} =e^{-j2\pi(q-p)}=1, $$ 且 $p
e q$ 時分母不為零，因此 $$ \sum{k=0}^{N-1}\omegaN^{k(q-p)}=0. $$ 所以 $$ FN^H FN=NI, $$ 表示 DFT 矩陣的各欄彼此正交；各列也具有相同的正交性。經過正規化後， $$ UN=\frac{1}{\sqrt{N}}FN $$ 滿足 $$ UN^H UN=I, $$ 因此是酉矩陣。

Question 6

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

II. (10%) The four eigenvalue of a 4x4 matrix A are 1, 1, 2, and 3. Please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The determinant of A is 6.

Accepted Answer

核心觀念 矩陣的行列式等於其全部特徵值的乘積，且重複出現的特徵值必須按照代數重數計算： $$ \det(A)=\lambda1\lambda2\cdots\lambdan. $$ 此定理不要求矩陣 $A$ 可對角化。 解題方法 已知 $4	imes4$ 矩陣 $A$ 的四個特徵值為 $1,1,2,3$，因此 $$ \det(A)=1\cdot1\cdot2\cdot3=6. $$ 也可由特徵多項式表示： $$ p(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-2)(\lambda-3). $$ 因為矩陣階數為 $4$，

Question 7

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III. (10%) If matrix A and matrix B are row equivalent. Please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The rank(A) is equal to the rank(B).

Accepted Answer

核心觀念 對任意 $n	imes n$ 矩陣 $A$，矩陣的跡（trace）等於所有特徵值的代數重數總和： $$ \operatorname{tr}(A)=\sum{i=1}^{n}\lambdai $$ 題目給出的特徵值為 $1,1,2,3$，其中特徵值 $1$ 出現兩次，必須計算兩次。 解題方法 直接將所有特徵值相加： $$ \operatorname{tr}(A)=1+1+2+3=7 $$ 因此，矩陣 $A$ 的跡確實為 $7$。此公式不要求矩陣必須可對角化。 選項分析

Question 8

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

II. (10%) The four eigenvalue of a 4x4 matrix A are 1, 1, 2, and 3. Please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The rank(A-I)=3, where I is the 4x4 identity matrix.

Accepted Answer

核心觀念 題目考查特徵值的代數重數、幾何重數、零空間與秩的關係。 對特徵值 $\lambda=1$，其特徵空間為 $$ E1=\ker(A-I). $$ 由秩—零度定理， $$ \operatorname{rank}(A-I)+\dim\ker(A-I)=4. $$ 其中 $\dim\ker(A-I)$ 是特徵值 $1$ 的幾何重數。 題目只知道特徵值 $1$ 的代數重數為 $2$，因此其幾何重數可能為 $1$ 或 $2$，不能直接確定。 解題方法 若特徵值 $1$ 的幾何重數為 $g1$，則 $$ \operatorname{rank}(A-I)=4-g1. $$ 由於 $$ 1\leq g1\leq 2, $$ 所以 $$ \operatorname{rank}(A-I)\in\{3,2\}. $$ 兩種情況皆可由矩陣實例說明： 1. 若 $$ A=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\ 0&1&0&0\ 0&0&2&0\ 0&0&0&3 \end{bmatrix}, $$ 則 $$ A-I= \begin{bmatrix} 0&0&0&0\ 0&0&0&0\ 0&0&1&0\ 0&0&0&2 \end{bmatrix}, $$ 因此 $$ \operatorname{rank}(A-I)=2. $$

Question 9

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

II. (10%) The four eigenvalue of a 4x4 matrix A are 1, 1, 2, and 3. Please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The rank(A-I)=3, where I is the 4x4 identity matrix.

Accepted Answer

核心觀念 本題的 $A^+$ 指矩陣的伴隨矩陣（adjugate matrix），滿足 $$ AA^+=(\det A)I. $$ 當 $A$ 可逆時， $$ A^+=(\det A)A^{-1}. $$ 此外，矩陣的行列式等於所有特徵值的乘積。 解題方法 已知 $A$ 的四個特徵值為 $1,1,2,3$，因此 $$ \det A=1\cdot 1\cdot 2\cdot 3=6. $$ 因為 $\det A
eq 0$，所以 $A$ 可逆，且 $$ A^+=6A^{-1}. $$ $A$ 是 $4	imes 4$ 矩陣，因此

Question 10

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

III. (10%) If matrix A and matrix B are row equivalent. Please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The row space of A is equal to the row space of B.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「simple matrix」的定義。依工程數學常用定義，若一個 $n	imes n$ 矩陣具有 $n$ 個互異的特徵值，則稱為 simple matrix。 特徵值若重複出現，表示特徵方程具有重根，不符合 simple matrix 的條件。 解題方法 已知 $A$ 的四個特徵值為 $$ 1,\;1,\;2,\;3. $$ 因此特徵多項式為 $$ pA(\lambda) =(\lambda-1)^2(\lambda-2)(\lambda-3). $$ 其中 $\lambda=1$ 的代數重數為 $2$，所以四個特徵值中只有三個相異值： $$ \{1,2,3\}. $$

Question 11

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

III. (10%) If matrix A and matrix B are row equivalent. Please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The determinant of A is equal to the determinant of B.

Accepted Answer

核心觀念 矩陣 $A$ 的列空間（row space）定義為 $A$ 的所有列向量所張成的子空間： $$ \operatorname{Row}(A)=\operatorname{span}\{	ext{$A$ 的各列}\}. $$ 矩陣 $A$ 與 $B$ 列等價，表示 $B$ 可由 $A$ 經過有限次基本列運算得到。基本列運算包括： 1. 交換兩列； 2. 將某一列乘以非零常數； 3. 將某一列加上另一列的倍數。 基本定理：基本列運算不會改變矩陣的列空間。 解題方法 逐一說明三種基本列運算對列空間的影響。 1. 交換兩列 交換列的順序不會改變列向量集合，因此列空間不變。 2. 某列乘以非零常數 若某列由 $\mathbf ri$ 變成 $c\mathbf ri$，其中 $c
eq 0$，則 $$ \operatorname{span}\{\mathbf ri\} = \operatorname{span}\{c\mathbf ri\}, $$ 因為 $\mathbf ri=\dfrac{1}{c}(c\mathbf ri)$，所以列空間不變。 3. 某列加上另一列的倍數 若 $$ \mathbf ri\longmapsto \mathbf ri+c\mathbf rj, $$

Question 12

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II. (10%) The four eigenvalue of a 4x4 matrix A are 1, 1, 2, and 3. Please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The determinant of the adjoint matrix A+ is 6.

Accepted Answer

核心觀念 矩陣的列空間定義為所有列向量的線性組合所形成的集合： $$ \operatorname{Col}(A)=\operatorname{span}\{	ext{A 的各列}\}. $$ 矩陣若列等價，表示可透過有限次基本列運算互相得到。列運算會保留： - 秩（rank） - 解集合與零空間（null space） - 列空間（row space） 但一般不會保留列空間本身，只會保留列空間的維度，也就是矩陣的秩。 解題方法 若 $A$ 與 $B$ 列等價，則存在可逆矩陣 $E$，使得 $$ B=EA. $$ 因此： $$ \operatorname{Col}(B) =\operatorname{Col}(EA) =E\bigl(\operatorname{Col}(A)\bigr). $$ 因為 $E$ 可逆，列空間的維度不會改變，所以 $$ \dim\operatorname{Col}(A) = \dim\operatorname{Col}(B). $$ 但是 $E$ 可能將原本的列空間旋轉、伸縮或傾斜，因此兩個列空間未必是同一個子空間。 取反例： $$ A= \begin{bmatrix} 1&0\ 0&0 \end{bmatrix}. $$ 對 $A$ 施行基本列運算 $$ R2\leftarrow R2+R1, $$ 得到 $$ B= \begin{bmatrix} 1&0\ 1&0 \end{bmatrix}. $$ 所以 $A$ 與 $B$ 列等價。然而，

Question 13

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

III. (10%) If matrix A and matrix B are row equivalent. Please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The column space of A is equal to the column space of B.

Accepted Answer

核心觀念 矩陣的零空間（null space）定義為 $$ N(A)=\{\mathbf{x}\mid A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}. $$ 若矩陣 $A$ 與 $B$ row equivalent，表示 $B$ 可由 $A$ 經有限次基本列運算得到。因此存在可逆矩陣 $E$，使得 $$ B=EA. $$ 解題方法 對任意向量 $\mathbf{x}$， $$ B\mathbf{x}=\mathbf{0} \iff EA\mathbf{x}=\mathbf{0}. $$ 因為 $E$ 可逆，左乘 $E^{-1}$ 得 $$ EA\mathbf{x}=\mathbf{0} \iff A\mathbf{x}=\mathbf{0}. $$ 因此 $$ \mathbf{x}\in N(B) \iff \mathbf{x}\in N(A), $$ 所以 $$ N(A)=N(B). $$

Question 14

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

II. (10%) The four eigenvalue of a 4x4 matrix A are 1, 1, 2, and 3. Please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The determinant of A is 6.

Accepted Answer

核心觀念 矩陣的秩 $\operatorname{rank}(A)$ 定義為矩陣中主元的個數，也等於列空間的維度。矩陣的列運算包括： - 交換兩列； - 將某一列乘以非零常數； - 將某一列加上另一列的倍數。 這些都是可逆的初等列運算，不會改變矩陣中主元的個數，因此不會改變矩陣的秩。 解題方法 因為矩陣 $A$ 與矩陣 $B$ 列等價，所以存在可逆矩陣 $E$，使得 $$ B=EA. $$ 左乘可逆矩陣只會對矩陣進行初等列運算。列運算可改變矩陣的元素，但不會改變其列空間的維度，也不會改變列梯形式中的主元數量。因此 $$ \operatorname{rank}(B) =\operatorname{rank}(EA) =\operatorname{rank}(A). $$ 所以題述敘述為真。

Question 15

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

II. (10%) The four eigenvalue of a 4x4 matrix A are 1, 1, 2, and 3. Please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The determinant of the adjoint matrix A+ is 6.

Accepted Answer

核心觀念 題目考查「列等價」與「行列式在基本列運算下的變化」。 若矩陣 $A$ 可經由有限次基本列運算化為矩陣 $B$，則稱 $A$ 與 $B$ 列等價。三種基本列運算對行列式的影響如下： 1. 交換兩列： $$\det(B)=-\det(A)$$ 2. 將某一列乘以非零常數 $c$： $$\det(B)=c\det(A)$$ 3. 將某一列的 $c$ 倍加到另一列： $$\det(B)=\det(A)$$ 因此，只有第三種基本列運算會保持行列式數值不變；列等價本身並不保證行列式相等。 解題方法 取最簡單的單位矩陣 $$ A= \begin{bmatrix} 1&0\ 0&1 \end{bmatrix}, \qquad \det(A)=1. $$ 將 $A$ 的第一列乘以 $2$，得到 $$ B= \begin{bmatrix} 2&0\ 0&1 \end{bmatrix}. $$

Question 16

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

II. (10%) The four eigenvalue of a 4x4 matrix A are 1, 1, 2, and 3. Please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The rank(A-I)=3, where I is the 4x4 identity matrix.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「乘積矩陣的反矩陣」公式。若矩陣 $M$ 可逆，則其反矩陣 $M^{-1}$ 滿足 $$ MM^{-1}=M^{-1}M=I. $$ 對兩個可逆矩陣而言，正確公式是 $$ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, $$ 反矩陣的排列順序必須顛倒。 解題方法 檢驗 $B^{-1}A^{-1}$ 是否為 $AB$ 的反矩陣： $$ (AB)(B^{-1}A^{-1}) =A(BB^{-1})A^{-1} =AIA^{-1} =AA^{-1} =I. $$ 反向相乘也成立： $$ (B^{-1}A^{-1})(AB) =B^{-1}(A^{-1}A)B =B^{-1}IB =B^{-1}B =I. $$ 因此， $$ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}. $$

Question 17

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

I. (10%) Discrete Fourier Transform (DFT) is a widely used transformation method in signal processing. According to DFT matrix, please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The orthogonality is not the property of the DFT matrix.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查齊次線性方程組與可逆矩陣的等價條件： - $Ax=0$ 只有平凡解 $x=0$，表示 $A$ 的零空間為 $$N(A)=\{0\}.$$ - 由秩－零度定理， $$\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=3.$$ - 因為 $\operatorname{nullity}(A)=0$，所以 $$\operatorname{rank}(A)=3.$$ 因此 $A$ 為滿秩的 $3	imes 3$ 矩陣，必可逆。 解題方法 由 $A$ 可逆，對任意 $b\in\mathbb{R}^3$，方程式 $$ Ax=b $$ 兩邊左乘 $A^{-1}$，得到 $$ x=A^{-1}b. $$ 此解對每一個 $b\in\mathbb{R}^3$ 都存在，因此 $Ax=b$ 對所有 $b\in\mathbb{R}^3$ 皆一致，且解唯一。 故原敘述為真。

Question 18

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

III. (10%) If matrix A and matrix B are row equivalent. Please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The row space of A is equal to the row space of B.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查行列式的乘法性質與相似矩陣： 1. 對同階方陣 $A,B$，有 $$\det(AB)=\det(A)\det(B)。$$ 2. 若 $P$ 可逆，則 $$\det(P^{-1})=\frac{1}{\det(P)}。$$ 3. $PDP^{-1}$ 與 $D$ 互為相似矩陣，相似矩陣具有相同的行列式。 解題方法 題目中的 $P^{-1}$ 存在，因此 $P$ 必須是可逆矩陣，故 $\det(P)
eq 0$。利用行列式的乘法性質： $$ \det(PDP^{-1}) =\det(P)\det(D)\det(P^{-1}). $$ 再代入 $$ \det(P^{-1})=\frac{1}{\det(P)}, $$ 可得

Question 19

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

IV. (20%) Please read the following True/False questions and determine the correctness of each description.

(2%) If T is the transformation $T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}$ , then Null(T) = span{ $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ }.

Accepted Answer

核心觀念 線性轉換 $T$ 的零空間（null space）定義為 $$ \operatorname{Null}(T)=\left\{\mathbf v\mid T(\mathbf v)=\mathbf 0ight\}. $$ 也就是找出所有經過 $T$ 作用後會變成零向量的向量。 解題方法 令 $$ \mathbf v= \begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix}. $$ 由題目定義， $$ T(\mathbf v) = T\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\0\end{pmatrix}. $$ 要使 $\mathbf v\in\operatorname{Null}(T)$，必須滿足 $$ \begin{pmatrix}x\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\0\end{pmatrix}, $$ 因此 $x=0$，而 $y$ 可為任意實數。故

Question 20

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

II. (10%) The four eigenvalue of a 4x4 matrix A are 1, 1, 2, and 3. Please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The determinant of A is 6.

Accepted Answer

核心觀念 矩陣乘法一般不具有交換律。雖然矩陣乘法具有結合律： $$ (AB)C=A(BC), $$ 但不一定滿足： $$ AB=BA. $$ 題目中的「任意 $2	imes2$ 矩陣」是全稱敘述，只要找出一組反例，即可判定敘述為假。 解題方法：反例法 取 $$ A= \begin{bmatrix} 1&0\ 0&0 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 0&1\ 0&0 \end{bmatrix}. $$ 計算 $AB$： $$ AB= \begin{bmatrix} 1&0\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1\ 0&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&1\ 0&0 \end{bmatrix}. $$ 計算 $BA$：

Question 21

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

IV. (20%) Please read the following True/False questions and determine the correctness of each description.

(2%) The matrix A = $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}$ is not invertible.

Accepted Answer

核心觀念 對方陣 $A$ 而言： $$ A	ext{ 可逆}\iff \det(A)
eq 0 $$ 因此，只要算出 $\det(A)$ 即可判斷矩陣是否可逆。 解題方法 題目給定 $$ A= \begin{pmatrix} 1&2&1\ 0&1&2\ 0&3&0 \end{pmatrix}. $$ 第一欄除了第一個元素外，其餘皆為 $0$，沿第一欄展開行列式： $$ \det(A) =1\cdot \begin{vmatrix} 1&2\ 3&0 \end{vmatrix}. $$ 計算二階行列式：

Question 22

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

IV. (20%) Please read the following True/False questions and determine the correctness of each description.

(2%) The matrix of the linear transformation T which reflects points about the x-axis and then about the y-axis is the same as the matrix of the linear transformation S which rotates points about the origin by 180 degrees counterclockwise.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查平面線性變換的矩陣表示，以及矩陣乘法的合成順序。 - 關於 $x$ 軸反射： $$Rx=\begin{bmatrix}1&0\0&-1\end{bmatrix}$$ - 關於 $y$ 軸反射： $$Ry=\begin{bmatrix}-1&0\0&1\end{bmatrix}$$ - 逆時針旋轉角度 $	heta$： $$ R(	heta)=\begin{bmatrix} \cos	heta&-\sin	heta\ \sin	heta&\cos	heta \end{bmatrix} $$ 解題方法 題目描述先關於 $x$ 軸反射，再關於 $y$ 軸反射，因此合成矩陣必須寫成 $$ [T]=RyRx $$ 計算得 $$ [T] = \begin{bmatrix}-1&0\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0\0&-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1&0\0&-1\end{bmatrix} =-I $$ 因此，任意點 $(x,y)$ 經過變換後為

Question 23

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

I. (10%) Discrete Fourier Transform (DFT) is a widely used transformation method in signal processing. According to DFT matrix, please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) DFT matrix is not a kind of symmetric matrix.

Accepted Answer

核心觀念 向量空間必須滿足以下重要條件： 1. 向量加法封閉：若 $u,v\in V$，則 $u+v\in V$。 2. 純量乘法封閉：若 $c\in\mathbb{R}$、$u\in V$，則 $cu\in V$。 3. 每個向量都必須有加法反元素：若 $u\in V$，則 $-u\in V$。 4. 包含零向量及其他向量空間公理。 本題只給出「包含零向量」與「對向量加法封閉」，並未保證純量乘法封閉，也未保證每個向量的負向量仍屬於 $V$。 解題方法 若 $V$ 是環境向量空間 $W$ 的子集合，判斷 $V$ 是否為子空間，至少必須檢查： $$ u,v\in V,\quad a,b\in\mathbb{R} \quad\Longrightarrow\quad au+bv\in V. $$ 題目只提供 $$ u,v\in V\quad\Longrightarrow\quad u+v\in V, $$ 這只能說明 $V$ 對加法封閉，無法推出 $$ cu\in V $$ 及 $$ -u\in V. $$

Question 24

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

II. (10%) The four eigenvalue of a 4x4 matrix A are 1, 1, 2, and 3. Please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The determinant of the adjoint matrix A+ is 6.

Accepted Answer

核心觀念 矩陣的逆矩陣 $M^{-1}$ 必須在 $M$ 可逆時才有定義，且滿足 $$ MM^{-1}=M^{-1}M=I. $$ 「矩陣平方」並不代表一定可逆。此外，逆矩陣沒有一般性的加法法則： $$ (A+B)^{-1}
eq A^{-1}+B^{-1}. $$ 解題方法 採用反例法。若題目敘述是對所有符合條件的矩陣皆成立，只要找出一組符合條件但等式不成立的矩陣，即可判定敘述錯誤。 取最簡單的可逆矩陣： $$ A=I,\qquad B=I, $$ 其中 $I$ 為單位矩陣。則 $$ A+B=2I, $$ 因此 $$ (A+B)^{-1}=(2I)^{-1}=\frac{1}{2}I. $$ 另一方面， $$ A^{-1}+B^{-1}=I^{-1}+I^{-1}=I+I=2I. $$ 由於 $$ \frac{1}{2}I
eq 2I, $$ 所以

Question 25

All the following questions are True/False questions. Please select "A" for "True" and "B" for "False."

II. (10%) The four eigenvalue of a 4x4 matrix A are 1, 1, 2, and 3. Please determine the correctness of the following descriptions.

(2%) The determinant of the adjoint matrix A+ is 6.

Accepted Answer

核心觀念 行列式具有「對每一列或每一行分別為線性」的性質，但不具備對整個矩陣的加法性。一般而言， $$ \det(A+B)
e \det(A)+\det(B). $$ 矩陣加法與行列式運算不能直接交換。 解題方法 取二階單位矩陣作為反例： $$ A=B=I2= \begin{bmatrix} 1&0\ 0&1 \end{bmatrix}. $$ 則 $$ A+B=2I2= \begin{bmatrix} 2&0\ 0&2 \end{bmatrix}, $$ 因此 $$ \det(A+B)=\det(2I2)=2\cdot 2=4. $$ 另一方面， $$ \det(A)+\det(B)=\det(I2)+\det(I2)=1+1=2. $$ 由於

Question 26

V. (50%) Let f: R→R be the 20-periodic function such that
f(t) = $\begin{cases} -1, & \text{if } -10<t\leq -3 \\ t^5, & \text{if } 3<t\leq 10 \end{cases}$
and let
$f(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\frac{n\pi t}{10} + b_n \sin\frac{n\pi t}{10} \right)$
be the general Fourier Series of f. Please determine the correctness of the following descriptions.

(10%) For every integer n ≥ 1, we have
$b_n = \frac{1}{10} \int_{0}^{10} f(t) \sin\frac{n\pi t}{10} dt$ .

Accepted Answer

題意補充 題目分段式在 $-3<t\leq 3$ 未指定 $f(t)$。以下依此類題目的標準設定取該區間 $f(t)=0$；只要此區段補成分段連續函數，以下的收斂結論仍成立。 核心觀念 函數週期為 $20$，故令 $L=10$，其傅立葉級數為 $$ \frac{a0}{2}+\sum{n=1}^{\infty} \left(an\cos\frac{n\pi t}{10} +bn\sin\frac{n\pi t}{10}ight). $$ 對於週期函數，只要在一個週期內是分段光滑函數，依傅立葉級數收斂定理，其傅立葉級數在每一個 $t\in\mathbb R$ 都收斂，且 $$ \lim{N	o\infty}SN(t) = \frac{f(t^-)+f(t^+)}{2}. $$ 其中 $f(t^-)$、$f(t^+)$ 分別表示左右極限。若 $f$ 在 $t$ 連續，則收斂值就是 $f(t)$；若 $t$ 是跳躍不連續點，則收斂至左右極限的平均值。 解題方法 在一個基本週期 $(-10,10]$ 中，函數由常數函數、零函數與多項式 $t^5$ 組成，因此在各分段內皆為光滑函數。週期延拓後，所有不連續點仍只有有限個，且左右極限皆存在。 主要跳躍點及傅立葉級數的收斂值如下： 1. 在 $t=-3+20k$： $$ f(t^-)= -1,\qquad f(t^+)=0, $$ 因此 $$ Sf(t)=\frac{-1+0}{2}=-\frac12. $$

Question 27

V. (50%) Let f: R→R be the 20-periodic function such that
f(t) = $\begin{cases} -1, & \text{if } -10<t\leq -3 \\ t^5, & \text{if } 3<t\leq 10 \end{cases}$
and let
$f(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\frac{n\pi t}{10} + b_n \sin\frac{n\pi t}{10} \right)$
be the general Fourier Series of f. Please determine the correctness of the following descriptions.

(10%) For every integer n ≥ 1, we have
$b_n = \frac{1}{10} \int_{0}^{10} f(t) \sin\frac{n\pi t}{10} dt$ .

Accepted Answer

核心觀念 週期為 $20$ 的傅立葉級數可令半週期 $L=10$，其標準形式為 $$ f(t)\sim \frac{a0}{2} +\sum{n=1}^{\infty} \left[ an\cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right) +bn\sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right) \right]. $$ 傅立葉係數公式為 $$ an=\frac{1}{L}\int{-L}^{L} f(t)\cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\,dt, \qquad n\ge 1. $$ 本題 $L=10$，因此 $$ an=\frac{1}{10}\int{-10}^{10} f(t)\cos\left(\frac{n\pi t}{10}\right)\,dt. $$ 解題方法 由三角函數的正交性，對任意 $n\ge1$， $$ \int{-10}^{10}\cos\left(\frac{n\pi t}{10}\right)\,dt=0, $$ $$ \int{-10}^{10} \sin\left(\frac{m\pi t}{10}\right) \cos\left(\frac{n\pi t}{10}\right)\,dt=0, $$ 且

Question 28

V. (50%) Let f: R→R be the 20-periodic function such that
f(t) = $\begin{cases} -1, & \text{if } -10<t\leq -3 \\ t^5, & \text{if } 3<t\leq 10 \end{cases}$
and let
$f(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\frac{n\pi t}{10} + b_n \sin\frac{n\pi t}{10} \right)$
be the general Fourier Series of f. Please determine the correctness of the following descriptions.

(10%) For every integer n ≥ 1, we have
$b_n = \frac{1}{10} \int_{0}^{10} f(t) \sin\frac{n\pi t}{10} dt$ .

Accepted Answer

題意備註 題面分段式未列出 $-3<t\leq 3$ 的函數值；以下依常見完整題意取該區間 $f(t)=0$。本題的判斷關鍵仍在於傅立葉係數必須使用完整週期的積分。 核心觀念 函數週期為 $20$，因此 $2L=20$，得 $L=10$。其 Fourier Series 的正弦係數定義為 $$ bn=\frac{1}{L}\int{c}^{c+2L} f(t)\sin\frac{n\pi t}{L}\,dt, \qquad n\geq 1, $$ 其中積分區間必須涵蓋一個完整週期。因此本題應為 $$ bn=\frac{1}{10}\int{-10}^{10} f(t)\sin\frac{n\pi t}{10}\,dt. $$ 積分區間 $[0,10]$ 的長度只有 $10$，僅為半個週期，不能直接代替完整週期區間。 解題方法 令選項右側為 $$ Rn=\frac{1}{10}\int0^{10} f(t)\sin\frac{n\pi t}{10}\,dt. $$ 由正確的傅立葉係數公式， $$ bn-Rn = \frac{1}{10}\int{-10}^{0} f(t)\sin\frac{n\pi t}{10}\,dt. $$ 在標準完整題意 $f(t)=0$ 於 $-3<t\leq 3$ 下， $$ bn-Rn = \frac{1}{10}\int{-10}^{-3} (-1)\sin\frac{n\pi t}{10}\,dt. $$ 計算得

Question 29

V. (50%) Let f: R→R be the 20-periodic function such that
f(t) = $\begin{cases} -1, & \text{if } -10<t\leq -3 \\ t^5, & \text{if } 3<t\leq 10 \end{cases}$
and let
$f(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\frac{n\pi t}{10} + b_n \sin\frac{n\pi t}{10} \right)$
be the general Fourier Series of f. Please determine the correctness of the following descriptions.

(10%) We have
$-1 = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\frac{42n\pi}{10} + b_n \sin\frac{42n\pi}{10} \right)$ .

Accepted Answer

觀念解析與推導步驟 1. 區分逐項微分與共軛傅立葉級數 逐項微分級數：若將 $f(t)$ 的傅立葉級數對 $t$ 逐項微分，其結果為： $$f'(t) \sim \sum{n=1}^{\infty} \frac{n\pi}{10} \left( -an \sin\frac{n\pi t}{10} + bn \cos\frac{n\pi t}{10} \right)$$ 題幹要求之級數缺少頻率因子 $\frac{n\pi}{10}$，因此不等於 $f'(t)$，不可因 $f(t)$ 在 $(-2, 3)$ 為常數或零而誤判其值為 $0$。 共軛傅立葉級數（Conjugate Fourier Series）： 考慮解析訊號的正頻率展開，原級數與題幹級數分別對應實部與虛部： $$\operatorname{Re}\left( \sum{n=1}^{\infty} (an - i bn) e^{i \frac{n\pi t}{10}} \right) = \sum{n=1}^{\infty} \left( an \cos\frac{n\pi t}{10} + bn \sin\frac{n\pi t}{10} \right) = f(t) - \frac{a0}{2}$$

Question 30

V. (50%) Let f: R→R be the 20-periodic function such that
f(t) = $\begin{cases} -1, & \text{if } -10<t\leq -3 \\ t^5, & \text{if } 3<t\leq 10 \end{cases}$
and let
$f(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\frac{n\pi t}{10} + b_n \sin\frac{n\pi t}{10} \right)$
be the general Fourier Series of f. Please determine the correctness of the following descriptions.

(10%) For every integer n ≥ 1, we have
$a_n = \frac{1}{10} \int_{-10}^{10} f(t) \cos\frac{n\pi t}{10} dt$ .

Accepted Answer

核心觀念 週期為 $20$ 的函數，其 Fourier 基底為 $$ \cos\frac{n\pi t}{10},\qquad \sin\frac{n\pi t}{10}, $$ 因此 Fourier 級數本身也是 $20$-週期函數。對分段連續函數，Fourier 級數在 $t$ 點的和為 $$ Sf(t)=\frac{f(t^-)+f(t^+)}{2}. $$ 若 $f$ 在 $t$ 連續，則 $Sf(t)=f(t)$。 題面轉錄缺少 $-3<t\leq 3$ 的分段；以下依此類題目的通常完整定義補為 $f(t)=0$。若不補此段，$f(2)$ 未知，原敘述無法由題面唯一推出。 解題方法 先將 $42$ 對週期 $20$ 取等價位置： $$ 42=2+2(20), $$ 所以 Fourier 級數在 $42$ 與 $2$ 的值相同。從三角函數也可直接看出： $$ \frac{42n\pi}{10} = \frac{2n\pi}{5}+4n\pi, $$ 而 $4n\pi$ 是 $2\pi$ 的整數倍，因此

109 年 國立中山大學資訊工程學系碩士班甲組《工程數學》

第 1 題2 分

核心觀念

解題方法

第 2 題2 分

核心觀念

解題方法

第 3 題2 分

核心觀念

解題方法

第 4 題2 分

第 5 題2 分

第 6 題2 分

第 7 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 8 題2 分

第 9 題2 分

第 10 題2 分

第 11 題2 分

核心觀念

解題方法

1. 交換兩列

2. 某列乘以非零常數

3. 某列加上另一列的倍數

第 12 題2 分

第 13 題2 分

第 14 題2 分

第 15 題2 分

第 16 題2 分

第 17 題2 分

第 18 題2 分

第 19 題2 分

第 20 題2 分

第 21 題2 分

第 22 題2 分

第 23 題2 分

第 24 題2 分

第 25 題2 分

第 26 題

第 27 題

第 28 題

第 29 題

觀念解析與推導步驟

第 30 題

其他考古題

109 年中山大學的其他科目

中山大學《工程數學》其他年度

其他學校的資工系考古題

109 年國立中山大學資訊工程學系碩士班甲組《工程數學》