113 年 國立暨南國際大學電機工程學系碩士班《電子學》

核心觀念

Class-A power amplifier（A 類功率放大器）是指功率晶體在輸入訊號的完整一個週期內皆保持導通的放大器。

其主要特徵如下：

• 導通角為 $360^\circ$。
• 靜態工作點 $Q$ 位於放大區的中央附近，使輸出訊號能夠向上、向下對稱擺幅。
• 晶體管在整個訊號週期內都不會完全截止。
• 具有良好的線性度與低失真。
• 因為即使沒有輸入訊號，晶體管仍有靜態電流，所以功率效率較低、發熱較大。

Class-A 放大器常用於高線性度的音訊放大、前級放大及小訊號功率放大電路。

解題方法與工作原理

以 BJT 共射極 Class-A 功率放大器為例，晶體管的基極偏壓會使其靜態工作點位於放大區：

$$V_{CEQ}>V_{CE(\text{sat})}, \qquad I_{CQ}>0$$

當輸入訊號為正弦波時，集極電流可表示為

$$i_C=I_{CQ}+\hat{i}_c\sin\omega t$$

只要滿足

$$\hat{i}_c\leq I_{CQ}$$

則 $i_C$ 在整個週期內都不會降至零，晶體管便能持續導通，這就是 Class-A 操作。

若 $i_C$ 降至零，晶體管進入截止區，便不再是純粹的 Class-A 操作，且容易產生截止失真。

功率效率

Class-A 放大器的效率取決於負載形式。

1. 電阻負載

對集極接電阻 $R_C$ 的電路，為了讓輸出電壓能夠最大對稱擺幅，通常將工作點設在

$$V_{CEQ}\approx \frac{V_{CC}}{2}$$

此時最大交流輸出功率為

$$P_{o,\max}=\frac{V_{CC}^2}{8R_C}$$

直流輸入功率為

$$P_{DC}=V_{CC}I_{CQ} =\frac{V_{CC}^2}{2R_C}$$

因此最大理論效率為

核心觀念

在功率放大器（Power Amplifier, PA）中，Drain efficiency（汲極效率）用來衡量直流電源輸入功率有多少比例被轉換為射頻輸出功率。

其定義為

$$\eta_D=\frac{P_{\mathrm{RF,out}}}{P_{\mathrm{DC,in}}}\times 100\%$$

其中：

• $P_{\mathrm{RF,out}}$：負載所接收到的射頻輸出功率。
• $P_{\mathrm{DC,in}}$：功率放大器由直流電源所吸收的總功率。

因此，未轉換成射頻輸出的直流功率，主要消耗在電晶體的功率損耗與偏壓電路中，形成熱。

解題方法與公式推導

汲極效率的切入點是比較「射頻輸出功率」與「直流輸入功率」：

$$\eta_D=\frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{DC}}}$$

若使用汲極端的直流功率表示，則

$$P_{\mathrm{DC}}=V_{DD}I_{D,\mathrm{DC}}$$

所以

$$\boxed{ \eta_D=\frac{P_{\mathrm{RF,out}}}{V_{DD}I_{D,\mathrm{DC}}} }$$

若汲極電壓與汲極電流皆包含直流與交流成分，可將汲極消耗功率寫成

$$P_D=\left\langle v_D(t)i_D(t)\right\rangle$$

其中平均功率的計算是對一個週期取平均。對理想功率放大器而言，輸入的直流功率分成射頻輸出功率與電晶體耗散功率：

$$P_{\mathrm{DC}}=P_{\mathrm{RF,out}}+P_{\mathrm{diss}}$$

因此也可寫成

$$\eta_D = \frac{P_{\mathrm{RF,out}}} {P_{\mathrm{RF,out}}+P_{\mathrm{diss}}}$$

效率越高，代表電晶體耗散功率越小，功率放大器的熱管理與電池使用效率越佳。

與 PAE 的差異

Drain efficiency 只考慮直流輸入功率與射頻輸出功率：

核心觀念

Low-Pass Filter（LPF，低通濾波器）是一種允許低頻訊號通過、抑制高頻訊號的電路。其核心特性為：

• 低於截止頻率 $f_c$ 的訊號大致通過。
• 高於截止頻率 $f_c$ 的訊號會逐漸衰減。
• 在截止頻率處，輸出振幅降為通帶振幅的 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，即 $-3\ \mathrm{dB}$。
• 理想低通濾波器的相位與振幅特性可表示為

$$|H(j\omega)|= \begin{cases} 1, & \omega<\omega_c\\ 0, & \omega>\omega_c \end{cases}$$

其中 $\omega_c=2\pi f_c$ 為截止角頻率。

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解題方法與基本公式

低通濾波器可由頻率響應判斷。令傳遞函數為

$$H(j\omega)=\frac{V_o(j\omega)}{V_i(j\omega)}$$

若頻率增加時，$|H(j\omega)|$ 逐漸減小，則此電路具有低通特性。

最常見的一階 RC 低通濾波器如下：電阻 $R$ 串聯於輸入端，電容 $C$ 接地，輸出取自電容兩端。

由阻抗分壓：

$$Z_C=\frac{1}{j\omega C}$$

因此

$$H(j\omega) =\frac{Z_C}{R+Z_C} =\frac{\frac{1}{j\omega C}} {R+\frac{1}{j\omega C}} =\frac{1}{1+j\omega RC}$$

其振幅為

$$|H(j\omega)| =\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}$$

相位為

$$\angle H(j\omega)=-\tan^{-1}(\omega RC)$$

截止角頻率由 $\omega_cRC=1$ 得到：

$$\omega_c=\frac{1}{RC}$$

換算為截止頻率：

$$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$$

在 $\omega=\omega_c$ 時：

$$|H(j\omega_c)| =\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$

所以輸出功率降為通帶功率的一半，振幅則下降 $3\ \mathrm{dB}$。

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頻率範圍與衰減特性

對一階低通濾波器而言：

低頻區

當 $\omega\ll\omega_c$ 時，電容阻抗很大，近似為開路，因此

核心觀念

**Frequency response（頻率響應）**是指線性時不變電路在不同輸入頻率下，穩態輸出對輸入的響應特性。它同時描述：

1. 輸出與輸入的振幅比；
2. 輸出相對於輸入的相位差。

對電路傳遞函數

$$H(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}$$

令 $s=j\omega$，即可得到頻率響應：

$$H(j\omega)=\frac{V_o(j\omega)}{V_i(j\omega)}$$

其中 $\omega=2\pi f$ 為角頻率。

頻率響應通常表示為極座標形式：

$$H(j\omega)=\left|H(j\omega)\right|\angle \phi(\omega)$$

其中：

• $\left|H(j\omega)\right|$：電路的振幅增益；
• $\phi(\omega)=\arg H(j\omega)$：輸出相對於輸入的相位差。

因此，若輸入為

$$v_i(t)=V_m\cos(\omega t)$$

則穩態輸出為

$$v_o(t)=\left|H(j\omega)\right|V_m \cos\left(\omega t+\phi(\omega)\right)$$

可見，電路不僅會改變訊號大小，也會造成相位超前或落後。

解題方法

判斷一個電路的頻率響應時，先求其傳遞函數 $H(s)$，再將 $s$ 代換為 $j\omega$：

$$H(j\omega)=H(s)\big|_{s=j\omega}$$

接著分別求出：

$$\left|H(j\omega)\right|$$

以及

$$\phi(\omega)=\tan^{-1} \left(\frac{\operatorname{Im}[H(j\omega)]} {\operatorname{Re}[H(j\omega)]}\right)$$

最後將增益與相位隨頻率的變化繪出，即為頻率響應圖。電子學中常使用 Bode plot 表示，包含：

• 增益圖：$20\log_{10}|H(j\omega)|$，單位為 dB；
• 相位圖：$\phi(\omega)$，單位為度。

例如一階低通電路的傳遞函數為

核心觀念

Slew rate（轉換速率）是運算放大器輸出電壓變化速度的最大值，定義為

$$SR=\max\left|\frac{dv_o(t)}{dt}\right|$$

其單位通常為 $\mathrm{V/\mu s}$。它描述運算放大器面對大振幅或快速變化的輸入訊號時，輸出電壓上升或下降的最大速度。

Slew rate 主要受運算放大器內部補償電容與可提供的最大充放電電流限制。若輸出電壓要求變化過快，超過此最大速度，輸出便無法忠實追隨輸入，造成波形失真。

解題方法

判斷某運算放大器是否會受到 slew rate 限制，可比較實際輸出電壓的最大變化率與規格值。

若輸出為正弦波

$$v_o(t)=V_p\sin(2\pi ft)$$

則其變化率為

$$\frac{dv_o(t)}{dt} =2\pi fV_p\cos(2\pi ft)$$

因此最大變化率為

$$\left|\frac{dv_o(t)}{dt}\right|_{\max}=2\pi fV_p$$

為避免 slew-rate distortion，必須滿足

$$SR\geq 2\pi fV_p$$

其中：

核心觀念

Dominant pole（主導極點）是指在系統或放大器的頻率響應中，對整體增益與相位影響最大的極點。對穩定低通放大器而言，通常是頻率最低、最接近原點的極點。

若放大器轉移函數為

$$A(s)=\frac{A_0} {\left(1+\frac{s}{\omega_{p1}}\right) \left(1+\frac{s}{\omega_{p2}}\right) \left(1+\frac{s}{\omega_{p3}}\right)}$$

且

$$\omega_{p1}\ll \omega_{p2}\ll \omega_{p3},$$

則 $\omega_{p1}$ 所對應的極點為 dominant pole。

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解題方法

判斷主導極點時，先找出轉移函數的所有極點，再比較其極點頻率。

對一階極點，

$$1+\frac{s}{\omega_p}=0$$

可得極點位置

$$s=-\omega_p.$$

其中 $\omega_p$ 為極點的角頻率，單位為 $\mathrm{rad/s}$。若以頻率表示，則

$$f_p=\frac{\omega_p}{2\pi}.$$

在低頻範圍內，若 $\omega\ll\omega_{p2},\omega_{p3}$，則高頻極點的因子近似為

$$1+\frac{j\omega}{\omega_{p2}}\approx 1, \qquad 1+\frac{j\omega}{\omega_{p3}}\approx 1.$$

因此整個轉移函數可近似為

$$A(s)\approx \frac{A_0}{1+\frac{s}{\omega_{p1}}}.$$

此時系統的增益下降與相位延遲主要由 $\omega_{p1}$ 決定，所以稱 $\omega_{p1}$ 為 dominant pole。

若以 Bode 圖觀察，主導極點會首先造成：

核心觀念

共模拒斥比（Common-mode rejection ratio, CMRR）是衡量差動放大器抑制共模訊號能力的指標。

差動放大器的兩個輸入端電壓為 $v_1$ 與 $v_2$，可分解為：

• 差模輸入電壓：

  $v_d=v_1-v_2$

• 共模輸入電壓：

  $v_{cm}=\frac{v_1+v_2}{2}$

輸出電壓可表示為：

$v_o=A_dv_d+A_{cm}v_{cm}$

其中：

• $A_d$：差模增益（differential-mode gain）
• $A_{cm}$：共模增益（common-mode gain）

CMRR 定義為差模增益與共模增益大小的比值：

$\mathrm{CMRR}=\left|\frac{A_d}{A_{cm}}\right|$

以分貝表示時：

$$\mathrm{CMRR}_{\mathrm{dB}} =20\log_{10}\left|\frac{A_d}{A_{cm}}\right|$$

解題方法

解釋 CMRR 時，應掌握「放大有用的差模訊號，抑制兩輸入端共同出現的共模訊號」這項核心意義。

若兩個輸入端同時受到相同的雜訊 $v_n$：

$v_1=v_2=v_n$

則差模輸入為：

$v_d=v_1-v_2=0$

理想差動放大器的輸出應為零。但實際電路因為電晶體參數不匹配、電阻誤差及電路不對稱，仍會產生少量輸出，此時可用共模增益 $A_{cm}$ 描述。

因此：

• $A_d$ 越大，代表差模訊號放大能力越強。
• $A_{cm}$ 越小，代表共模雜訊抑制能力越好。
• CMRR 越大，代表差動放大器越能區分有用的差模訊號與共同雜訊。

理想差動放大器具有：

$A_{cm}=0$

因此：

核心觀念

**Frequency compensation（頻率補償）**是指在放大器或回授系統中，刻意加入電容、電阻或其他頻率選擇元件，調整電路的極點與零點，使系統在工作頻率範圍內具有足夠的穩定度，避免振盪並改善暫態響應。

在負回授放大器中，迴路增益為

$$T(s)=A(s)\beta(s)$$

其中 $A(s)$ 為放大器增益，$\beta(s)$ 為回授因子。當頻率升高時，放大器內部的寄生電容會造成額外極點，使增益相位逐漸落後。若在迴路增益降至 $1$（$0\ \mathrm{dB}$）時，相位延遲接近 $180^\circ$，負回授會轉變為正回授，電路便可能產生振盪。

因此，頻率補償的主要目的為：

1. 控制放大器的頻率響應。
2. 使高頻極點不致造成過大的相位延遲。
3. 確保迴路增益穿越 $0\ \mathrm{dB}$ 時具有足夠的相位裕度。
4. 提高負回授放大器的穩定性。

常用的穩定度指標為：

$$\mathrm{PM}=180^\circ+\angle T(j\omega_u)$$

其中 $\omega_u$ 為迴路增益大小等於 $1$ 的單位增益頻率。一般設計上常希望相位裕度約為 $45^\circ\sim60^\circ$，以兼顧穩定性與暫態速度。

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解題方法

1. 以極點配置建立主導極點

未補償的多級放大器通常具有多個極點：

$$A(s)=\frac{A_0}{(1+s/\omega_{p1})(1+s/\omega_{p2})\cdots}$$

若第二個、第三個極點在單位增益頻率附近已造成大幅相位落後，電路容易不穩定。

頻率補償會將其中一個極點刻意移至較低頻率，使其成為主導極點（dominant pole）。同時，其他非主導極點被推至較高頻率，使迴路增益在尚未累積過大相位延遲前，就已經下降至 $0\ \mathrm{dB}$。

補償後可近似為：

$$A(s)\approx \frac{A_0}{1+s/\omega_{p1}}$$

在單位增益頻率附近，主要由單一極點決定相位，因此穩定度明顯提升。

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2. 以 Miller compensation 為例

兩級 CMOS 運算放大器常在第一級輸出與第二級輸入之間接入補償電容 $C_C$，此方法稱為米勒補償（Miller compensation）。

假設補償電容跨接於一個具有電壓增益 $-A_v$ 的反相級，根據 Miller effect，輸入端等效電容約為：

$$C_{\mathrm{in,eq}}\approx C_C(1+A_v)$$

因此，輸入端的等效電容被放大，造成該節點的極點下降：

$$\omega_{p1}\approx \frac{1}{R_1C_C(1+A_v)}$$

此極點成為低頻的主導極點。

另一方面，米勒效應會降低第二級輸出端的等效電容，使第二極點被推向高頻：

$$\omega_{p2}\approx \frac{g_m}{C_L}$$

其中 $g_m$ 為第二級跨導，$C_L$ 為負載及輸出端等效電容。如此可使

$$\omega_{p2}\gg\omega_{p1}$$

達到極點分離（pole splitting）的效果。

對兩級放大器而言，單位增益頻率常近似為：

核心觀念

**Bandwidth and gain tradeoff（頻寬與增益的折衷）**是指放大器的電壓增益越高時，能維持良好放大效果的頻率範圍越窄；若要求較寬的頻寬，則可得到的增益通常較低。

對具有單一主導極點的放大器，其開迴路增益可表示為

$$A_v(s)=\frac{A_0}{1+s/\omega_p}$$

其中：

• $A_0$：低頻增益
• $\omega_p$：主導極點角頻率
• $f_p=\omega_p/(2\pi)$：主導極點頻率

在高於主導極點的頻率範圍，增益約以每十倍頻率下降 $20\ \mathrm{dB}$。因此，增益與頻寬的乘積近似為定值：

$$A_0 f_p \approx A_v f_{BW}=f_T$$

其中 $f_T$ 稱為單位增益頻率或增益頻寬乘積（Gain-Bandwidth Product, GBW）。

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解題方法

解釋此名詞時，應掌握以下關係：

$$\boxed{\text{增益} \times \text{頻寬} \approx \text{固定值}}$$

對負回授放大器，若閉迴路增益為 $|A_{CL}|$，則其閉迴路頻寬約為

$$f_{BW}\approx \frac{f_T}{|A_{CL}|}$$

因此：

• 增加閉迴路增益 $|A_{CL}|$，頻寬 $f_{BW}$ 會降低。
• 降低閉迴路增益，則可獲得較大的頻寬。
• 在單極點近似成立時，增益與頻寬的乘積約等於放大器的 GBW。

例如，某運算放大器的

$$GBW=f_T=10\ \mathrm{MHz}$$

若設定閉迴路增益為

$$|A_{CL}|=10$$

則其頻寬約為

$$f_{BW}=\frac{10\ \mathrm{MHz}}{10}=1\ \mathrm{MHz}$$

核心觀念

**Phase margin（相位裕度，PM）**是用來衡量負回授系統距離「臨界振盪」還有多少相位安全裕度的指標，也是判斷閉迴路系統穩定度與暫態響應的重要工具。

對負回授放大器，定義迴路增益為

$$T(s)=A(s)\beta(s)$$

其中 $A(s)$ 為前向增益，$\beta(s)$ 為回授因子。當迴路增益的幅值等於 1，也就是 $0\ \mathrm{dB}$ 時，定義其頻率為增益交越頻率（gain crossover frequency）$\omega_{gc}$：

$$|T(j\omega_{gc})|=1$$

此時相位裕度定義為

$$\boxed{\mathrm{PM}=180^\circ+\angle T(j\omega_{gc})}$$

相位裕度也可理解為：在增益交越頻率下，迴路相位距離 $-180^\circ$ 還剩下的角度。

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解題方法

判斷 Phase margin 時，依照下列步驟：

1. 先找增益交越頻率

由 Bode magnitude plot 找出迴路增益曲線穿越 $0\ \mathrm{dB}$ 的頻率：

$$|T(j\omega_{gc})|=1$$

2. 讀取該頻率的相位

由 Bode phase plot 讀出

$$\angle T(j\omega_{gc})$$

3. 代入相位裕度公式

$$\mathrm{PM} =180^\circ+\angle T(j\omega_{gc})$$

例如，若在 $\omega_{gc}$ 時：

$$\angle T(j\omega_{gc})=-135^\circ$$

則

$$\mathrm{PM}=180^\circ-135^\circ=45^\circ$$

表示系統距離臨界振盪尚有 $45^\circ$ 的相位裕度。

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與穩定度的關係

在一般單一增益交越頻率、最低相位系統的條件下：

• $\mathrm{PM}>0^\circ$：通常表示閉迴路系統穩定。
• $\mathrm{PM}=0^\circ$：系統位於臨界穩定狀態，可能產生持續振盪。
• $\mathrm{PM}<0^\circ$：通常表示系統不穩定，輸出可能發散或產生增幅振盪。

當迴路相位達到 $-180^\circ$ 時，負回授的回授訊號等效轉為正回授。若此時又滿足

$$|T(j\omega)|\geq 1$$

核心觀念

Source follower（源極跟隨器）是以 MOSFET 構成的共汲極放大器（common-drain amplifier）。輸入訊號加在閘極，輸出訊號取自源極，因此輸出電壓會跟隨輸入電壓變化。

以 NMOS 為例：

• 輸入端：Gate
• 輸出端：Source
• 共用端：Drain，通常接交流地
• 電壓增益：略小於 $1$
• 輸入與輸出：同相
• 輸入電阻：高
• 輸出電阻：低

其名稱「source follower」即源極跟隨閘極電壓變化。當閘極電壓上升時，汲極電流增加，使源極電壓上升；當閘極電壓下降時，源極電壓也下降。

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解題方法與工作原理

1. 直流工作關係

NMOS 在正常導通時，源極電壓約為

$$V_S \approx V_G - V_{GS}$$

其中 $V_{GS}$ 必須大於臨界電壓 $V_{TH}$。因此，閘極的直流電壓設定了源極的直流偏壓，而源極電壓大約比閘極低一個 $V_{GS}$。

對小訊號而言，$V_{GS}$ 的變化量通常不大，因此：

$$v_s \approx v_g$$

這就是「跟隨器」的基本概念。

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2. 小訊號電壓增益

設源極接有等效負載電阻 $R_L'$，忽略體效應與 $r_o$，對源極節點套用小訊號電流關係：

$$g_m(v_g-v_s)=\frac{v_s}{R_L'}$$

整理得：

$$g_m v_g = \left(g_m+\frac{1}{R_L'}\right)v_s$$

因此電壓增益為

$$A_v=\frac{v_s}{v_g} = \frac{g_mR_L'}{1+g_mR_L'}$$

由於分母比分子大，所以

$$0<A_v<1$$

當 $g_mR_L'\gg 1$ 時：

$$A_v\approx 1$$

因此 Source follower 雖然具有電壓增益小於一的特性，但能以接近單位增益傳遞電壓訊號。

若源極有偏壓電阻 $R_S$，且外接負載為 $R_L$，則

$$R_L'=R_S\parallel R_L$$

故

$$A_v\approx \frac{g_m(R_S\parallel R_L)} {1+g_m(R_S\parallel R_L)}$$

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3. 考慮體效應與輸出電阻

若考慮 body effect 與 MOSFET 的輸出電阻 $r_o$，等效輸出導納為

$$G_L=\frac{1}{R_S}+\frac{1}{R_L}$$

則電壓增益可寫成近似式

$$A_v = \frac{g_m} {g_m+g_{mb}+g_o+G_L}$$

其中：

• $g_m$：閘極跨導
• $g_{mb}$：體效應跨導
• $g_o=1/r_o$：輸出導納
• $G_L$：源極所見負載導納

由於分母包含 $g_m$ 以外的導納，因此增益仍小於 $1$。體效應會使 $g_{mb}$ 增加，導致電壓增益進一步下降。

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主要電路特性

1. 無相位反轉

對 NMOS 而言，閘極電壓增加會使源極電壓增加，因此輸入與輸出同相：

$$A_v>0$$

這與共源極放大器的反相特性不同。

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2. 高輸入電阻

MOSFET 閘極在低頻下幾乎沒有電流，因此輸入電阻很高：

$$R_{\text{in}}\approx \infty$$

實際電路中的輸入電阻主要由閘極偏壓電阻決定，例如：

$$R_{\text{in}}\approx R_{G1}\parallel R_{G2}$$

高輸入電阻可減少前級電路的負載效應。

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3. 低輸出電阻

核心觀念

Overdrive voltage（過驅電壓）表示 MOSFET 的閘源電壓超過臨界電壓的程度，定義為

NMOS

$$V_{OV}=V_{GS}-V_{TH}$$

其中：

• $V_{GS}$：閘極對源極電壓
• $V_{TH}$：臨界電壓
• $V_{OV}$：過驅電壓

當 $V_{GS}>V_{TH}$ 時，$V_{OV}>0$，NMOS 形成反轉層並可導通；當 $V_{GS}\leq V_{TH}$ 時，理想模型下 MOSFET 截止。

PMOS

PMOS 常以電壓大小表示：

$$V_{OV}=V_{SG}-|V_{TP}|$$

也可寫成

$$V_{OV}=|V_{GS}|-|V_{TP}|$$

因此，過驅電壓的本質就是「有效控制通道導電能力的閘源電壓」。

解題方法與重要公式

判斷 Overdrive voltage 時，先確認電晶體種類，再將實際閘源電壓扣除臨界電壓：

$$\boxed{V_{OV}=V_{GS}-V_{TH}}$$

以 NMOS 為例，若

$$V_{GS}=1.2\text{ V},\qquad V_{TH}=0.4\text{ V}$$

則

$$V_{OV}=1.2-0.4=0.8\text{ V}$$

表示閘源電壓超過臨界電壓 $0.8\text{ V}$。

在長通道平方律模型中，飽和區汲極電流為

$$I_D=\frac{1}{2}\mu_n C_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}V_{OV}^{2}$$

可見在其他參數固定時，$I_D$ 與 $V_{OV}^{2}$ 成正比。過驅電壓越大，反轉層越強，汲極電流也越大。

小訊號跨導為

$$g_m=\frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}} =\mu_n C_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}V_{OV}$$

也可寫成

核心觀念

Barkhausen 準則用來判斷回授式振盪器能否在某一頻率產生持續振盪。設放大器增益為 $A(s)$，回授網路傳遞函數為 $\beta(s)$，則迴路增益為

$$T(s)=A(s)\beta(s)$$

在振盪角頻率 $\omega_0$，持續振盪的必要條件為：

1. 幅度條件

$$\left|A(j\omega_0)\beta(j\omega_0)\right|=1$$

表示訊號繞回授迴路一圈後，振幅恰好維持不變。

2. 相位條件

$$\angle A(j\omega_0)\beta(j\omega_0)=0^\circ+360^\circ k, \qquad k\in\mathbb{Z}$$

也可寫成

$$\angle A(j\omega_0)\beta(j\omega_0)=2\pi k$$

表示訊號繞迴路一圈後與原訊號同相，使回授訊號能持續增強，而不會因相消而消失。

因此，Barkhausen 準則可簡寫為：

$$A(j\omega_0)\beta(j\omega_0)=1\angle 0^\circ$$

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解題方法

本題是名詞解釋題，作答時應從「迴路增益」切入。

對一般負回授放大器而言，若回授在某個頻率使總相位額外產生 $180^\circ$，負回授可能轉變為正回授。此時若放大器本身再提供 $180^\circ$ 相位反轉，整個迴路的總相位便成為：

$$180^\circ+180^\circ=360^\circ$$

等效於 $0^\circ$，符合相位條件。

若輸入訊號為 $V_i$，訊號繞迴路一周後的回授訊號為

$$V_{\text{return}}=A(j\omega)\beta(j\omega)V_i$$

要使沒有外加輸入時仍能維持原有振幅，必須滿足

$$V_{\text{return}}=V_i$$

因此：

$$A(j\omega_0)\beta(j\omega_0)=1$$

這一個複數方程式同時包含：

$$|A(j\omega_0)\beta(j\omega_0)|=1$$

以及

$$\angle A(j\omega_0)\beta(j\omega_0)=0^\circ \pmod{360^\circ}$$

振盪頻率 $\omega_0$ 就是同時滿足上述兩項條件的頻率。

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起振與穩態振盪

核心觀念

**Output resistance／impedance（輸出電阻／輸出阻抗）**是由輸出端向電路內部看進去時，電路所呈現的等效阻抗，用來描述輸出端對負載的「驅動能力」。

• 輸出電阻 $R_{\text{out}}$：通常用於直流或低頻純電阻電路。
• 輸出阻抗 $Z_{\text{out}}$：適用於交流、小訊號或含有電容與電感的電路，通常為複數。

理想電壓源的輸出阻抗為零，接上負載後輸出電壓不會因負載改變；理想電流源的輸出阻抗為無限大，輸出電流不會因負載改變。

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定義與等效模型

任何線性電路從輸出端看出去，都可以用戴維寧等效表示為：

$$\text{戴維寧等效電壓源 }V_{\text{th}} \quad+\quad \text{串聯輸出阻抗 }Z_{\text{out}}$$

若負載阻抗為 $Z_L$，則負載電壓為：

$$V_L = V_{\text{th}} \frac{Z_L}{Z_{\text{out}}+Z_L}$$

由此可見：

• $Z_{\text{out}}$ 越小，$V_L$ 越接近 $V_{\text{th}}$。
• $Z_{\text{out}}$ 越大，負載接上後的電壓降落越明顯。
• 電壓放大器通常要求低輸出阻抗。
• 電流放大器通常要求高輸出阻抗。

輸出阻抗也可定義為輸出端小訊號電壓與小訊號電流的比值：

$$Z_{\text{out}}=\frac{v_{\text{test}}}{i_{\text{test}}}$$

其中 $v_{\text{test}}$ 與 $i_{\text{test}}$ 是加在輸出端的測試電壓與測試電流。

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電子學中的計算方法

求輸出阻抗時，應先將獨立訊號源關閉：

1. 獨立電壓源以短路取代。
2. 獨立電流源以開路取代。
3. 由輸出端加入測試源。
4. 計算測試源產生的電壓與電流。
5. 使用

$$Z_{\text{out}}=\frac{v_{\text{test}}}{i_{\text{test}}}$$

若電路只含電阻，則：

$$R_{\text{out}}=\frac{v_{\text{test}}}{i_{\text{test}}}$$

若電路含有受控源，受控源不可關閉，必須保留，再利用測試源求出輸出阻抗。

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以放大器為例

考慮一個具有輸出電阻 $R_o$ 的電壓放大器，其等效電路可表示為：

$$V_{\text{oc}}=A_vv_i$$

並在輸出端串聯 $R_o$。接上負載 $R_L$ 後：

核心觀念

本題考查放大器各級之間的訊號耦合方式。所謂耦合，是指將前級輸出訊號傳送至後級輸入端，同時決定直流工作點與交流訊號能否通過。

主要比較：

• 電容耦合（capacitive coupling）：以電容器連接前級與後級。
• 直接耦合（direct coupling）：前級與後級直接以導線或電晶體端點相連，不使用耦合電容。

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一、電容耦合（Capacitive Coupling）

1. 定義與電路形式

電容耦合通常在前級輸出與後級輸入之間串聯一個耦合電容：

$$v_{o1}\longrightarrow C_C\longrightarrow v_{i2}$$

電容的阻抗為：

$$Z_C=\frac{1}{j\omega C_C}$$

其中 $\omega=2\pi f$。因此：

• 對交流訊號而言，頻率越高，$|Z_C|$ 越小，訊號越容易通過。
• 對直流而言，$f=0$，故 $Z_C\to\infty$，電容相當於開路。

所以電容耦合能夠：

1. 傳遞交流訊號；
2. 阻隔前級的直流電壓；
3. 使前級與後級各自建立獨立的直流偏壓。

2. 低頻截止效應

耦合電容會與後級輸入電阻形成高通電路。若後級等效輸入電阻為 $R_{\text{in}}$，則低頻截止頻率約為：

$$f_L=\frac{1}{2\pi R_{\text{in}}C_C}$$

當訊號頻率遠高於 $f_L$ 時，電容阻抗較小，訊號衰減較小；當訊號頻率接近或低於 $f_L$ 時，訊號會明顯衰減。

更完整地說，電容耦合常與前級輸出電阻、後級輸入電阻共同形成高通網路：

$$f_L=\frac{1}{2\pi R_{\text{eq}}C_C}$$

其中 $R_{\text{eq}}$ 是電容兩端所見的等效電阻。

3. 優點

• 各級直流偏壓互不影響，設計簡單。
• 不必使前級與後級的直流工作點互相配合。
• 適合一般音頻放大器與交流訊號放大器。
• 若使用適當電容，可有效阻隔直流成分。

4. 缺點

• 低頻訊號會受到耦合電容影響而衰減。
• 電路需要較多外加元件。
• 大容量電容可能體積較大，且具有漏電流、容差等非理想效應。
• 不適合要求放大直流訊號或極低頻訊號的電路。

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二、直接耦合（Direct Coupling）

1. 定義與電路形式

直接耦合是將前級輸出端直接連接到後級輸入端：

$$v_{o1}\longrightarrow v_{i2}$$

核心觀念

Bode plot（波德圖）是以兩張圖表示線性系統頻率響應的圖形工具：

1. 增益大小圖：以對數頻率為橫軸，縱軸表示增益的分貝值。
2. 相位圖：以對數頻率為橫軸，縱軸表示輸出相對於輸入的相位差。

對電子學中的放大器或濾波器，若其轉移函數為

$$H(j\omega)=\frac{V_o(j\omega)}{V_i(j\omega)},$$

則 Bode plot 分別繪出

$$20\log_{10}|H(j\omega)|$$

與

$$\angle H(j\omega)$$

隨角頻率 $\omega$ 變化的關係。橫軸使用對數刻度，因此可方便呈現數個數量級的頻率範圍。

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解題方法與基本公式

將轉移函數寫成各零點、極點及常數增益的乘積形式：

$$H(s)=K \frac{\left(1+\frac{s}{\omega_{z1}}\right) \left(1+\frac{s}{\omega_{z2}}\right)\cdots} {\left(1+\frac{s}{\omega_{p1}}\right) \left(1+\frac{s}{\omega_{p2}}\right)\cdots}.$$

令 $s=j\omega$，則每個一階因子的貢獻可分開分析。

一階零點

對於

$$1+\frac{j\omega}{\omega_z},$$

其大小為

$$\left|1+\frac{j\omega}{\omega_z}\right| = \sqrt{1+\left(\frac{\omega}{\omega_z}\right)^2},$$

分貝值為

$$20\log_{10} \sqrt{1+\left(\frac{\omega}{\omega_z}\right)^2}.$$

相位為

$$\theta_z=\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{\omega_z}\right).$$

其漸近線特性如下：

• 當 $\omega\ll\omega_z$ 時，增益約為 $0$ dB，相位約為 $0^\circ$。
• 當 $\omega=\omega_z$ 時，實際增益為 $+3$ dB，相位為 $45^\circ$。
• 當 $\omega\gg\omega_z$ 時，斜率為 $+20$ dB/decade，相位趨近 $+90^\circ$。

其中 dB/decade 表示頻率增加十倍時，增益改變的分貝數。

一階極點

對於

$$\frac{1}{1+\frac{j\omega}{\omega_p}},$$

增益分貝值為

$$-20\log_{10} \sqrt{1+\left(\frac{\omega}{\omega_p}\right)^2},$$

相位為

$$\theta_p=-\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{\omega_p}\right).$$

其漸近線特性如下：

核心觀念

圖 1 是以 NMOS 為核心的共源極放大器，並在源極串接電阻 $R_S$，形成源極退化。分析時採用中頻小訊號模型，假設：

• $V_{DD}$ 為交流接地；
• MOSFET 的輸出電阻 $r_o$ 很大，可忽略；
• 忽略體效應；
• 汲極電流小訊號為 $g_m v_{gs}$。

源極電阻 $R_S$ 會產生負回授，使有效的 $v_{gs}$ 減小，因此增益由原本的 $g_mR_D$ 降為約 $\dfrac{g_mR_D}{1+g_mR_S}$。

解題方法與推導

由小訊號模型，閘極沒有電流，因此輸入電壓直接加在閘極：

$$v_g=v_{in}$$

設源極小訊號電壓為 $v_s$，則

$$v_{gs}=v_g-v_s=v_{in}-v_s$$

MOSFET 的小訊號汲極電流為

$$i_d=g_mv_{gs}$$

由於 $R_S$ 中的電流近似等於汲極電流，因此源極電壓為

$$v_s=i_dR_S=g_mv_{gs}R_S$$

代入 $v_{gs}=v_{in}-v_s$：

$$v_{gs}=v_{in}-g_mv_{gs}R_S$$

整理得

$$v_{gs}(1+g_mR_S)=v_{in}$$

因此

$$\frac{v_{gs}}{v_{in}} = \frac{1}{1+g_mR_S}$$

接著分析汲極輸出電壓。交流等效下，$V_{DD}$ 接地，汲極電流增加時，$R_D$ 上的電壓降增加，使汲極電壓下降，因此

核心觀念

本題考查理想運算放大器構成的二階 Sallen–Key 低通濾波器轉移函數推導，使用：

• 理想運算放大器非反相端不取電流：$i_+=0$
• 電壓追隨器負回授條件：
  $V_x=V_{out}$
• 拉普拉斯域電容阻抗：
  $Z_C=\frac{1}{sC}$
• 基爾霍夫電流定律（KCL）

假設運算放大器為理想元件，且圖中回授使其工作於電壓追隨器狀態。

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解題方法

設電阻 $R_1$、$R_2$ 之間的節點電壓為 $V_y$，運算放大器非反相端節點為 $V_x$。由於運算放大器為電壓追隨器：

$$V_x=V_{out}$$

且非反相端不取電流，因此在節點 $V_x$ 寫 KCL。

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第一步：列出節點 $V_x$ 的方程式

節點 $V_x$ 連接 $R_2$ 與電容 $C_2$，故有：

$$\frac{V_x-V_y}{R_2}+sC_2V_x=0$$

代入 $V_x=V_{out}$：

$$\frac{V_{out}-V_y}{R_2}+sC_2V_{out}=0$$

整理得：

$$V_y=V_{out}(1+sR_2C_2)$$

因此：

$$V_y-V_{out}=sR_2C_2V_{out}$$

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第二步：列出節點 $V_y$ 的方程式

節點 $V_y$ 的電流分別流經 $R_1$、$R_2$ 與 $C_1$，由 KCL：

$$\frac{V_y-V_{in}}{R_1} +\frac{V_y-V_{out}}{R_2} +sC_1(V_y-V_{out})=0$$

將

$$V_y=V_{out}(1+sR_2C_2)$$

以及

$$V_y-V_{out}=sR_2C_2V_{out}$$

代入：