113 年 國立暨南國際大學電機工程學系碩士班《工程數學》

核心觀念

本題綜合考查：

• 三階行列式的計算。
• 反矩陣公式
  $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)$
• 特徵值與特徵向量：
  $\det(\lambda I-A)=0,\qquad (A-\lambda I)v=0$
• 矩陣乘法的維度條件。
• 齊次線性方程組 $Ax=0$ 的解與矩陣可逆性的關係。

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解題方法

(a) 求 $\det(A)$

沿第一列展開：

$$\begin{aligned} \det(A) &=(-2)\begin{vmatrix}1&-6\\-2&0\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}2&-6\\-1&0\end{vmatrix} +(-3)\begin{vmatrix}2&1\\-1&-2\end{vmatrix}\\ &=(-2)(-12)-2(-6)+(-3)(-3)\\ &=24+12+9\\ &=45. \end{aligned}$$

因此：

$$\boxed{\det(A)=45}$$

因為 $\det(A)\neq 0$，所以 $A$ 可逆。

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(b) 求 $A^{-1}$

先求餘因子矩陣。各餘因子為

$$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$$

計算得到：

$$C= \begin{pmatrix} -12&6&-3\\ 6&-3&-6\\ -9&-18&-6 \end{pmatrix}.$$

因此伴隨矩陣為餘因子矩陣的轉置：

$$\operatorname{adj}(A)=C^T= \begin{pmatrix} -12&6&-9\\ 6&-3&-18\\ -3&-6&-6 \end{pmatrix}.$$

由反矩陣公式：

$$\begin{aligned} A^{-1} &=\frac{1}{45} \begin{pmatrix} -12&6&-9\\ 6&-3&-18\\ -3&-6&-6 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -\frac{4}{15}&\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\ \frac{2}{15}&-\frac{1}{15}&-\frac{2}{5}\\ -\frac{1}{15}&-\frac{2}{15}&-\frac{2}{15} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

因此：

$$\boxed{ A^{-1}= \frac{1}{45} \begin{pmatrix} -12&6&-9\\ 6&-3&-18\\ -3&-6&-6 \end{pmatrix} }$$

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(c) 求特徵值與特徵向量

特徵方程為：

$$\det(\lambda I-A)=0.$$

其中

$$\lambda I-A= \begin{pmatrix} \lambda+2&-2&3\\ -2&\lambda-1&6\\ 1&2&\lambda \end{pmatrix}.$$

計算行列式：

$$\begin{aligned} \det(\lambda I-A) &=(\lambda+2)(\lambda^2-\lambda-12) +2(-2\lambda-6) +3(-\lambda-3)\\ &=\lambda^3+\lambda^2-21\lambda-45\\ &=(\lambda-5)(\lambda+3)^2. \end{aligned}$$

故特徵值為：

$$\boxed{\lambda=5,\quad \lambda=-3}$$

其中 $\lambda=-3$ 的代數重數為 $2$。

當 $\lambda=5$

解 $(A-5I)v=0$：

$$A-5I= \begin{pmatrix} -7&2&-3\\ 2&-4&-6\\ -1&-2&-5 \end{pmatrix}.$$

方程組可化為：

$$x+2y+3z=0,\qquad y=-2z.$$

取 $z=1$，可得 $x=-1,\ y=-2$。因此特徵向量可取：

$$\boxed{ v_1= \begin{pmatrix} -1\\-2\\1 \end{pmatrix} }$$

核心觀念

將線性系統寫成

$$A\mathbf{x}=\mathbf{b},$$

其中

$$A= \begin{bmatrix} k&1&1\\ 1&k&1\\ 1&1&k \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{b}= \begin{bmatrix} 2k\\3\\1 \end{bmatrix}.$$

判斷線性方程組解的情形：

• $\det(A)\neq 0$：有唯一解。
• $\det(A)=0$ 且系統不相容：無解。
• $\det(A)=0$ 且系統相容：有無限多組解。

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解題方法：先求係數矩陣的行列式

對矩陣 $A$ 做列運算：

$$R_2\leftarrow R_2-R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-R_1,$$

得到

$$\det(A) = \begin{vmatrix} k&1&1\\ 1-k&k-1&0\\ 1-k&0&k-1 \end{vmatrix}.$$

提出第二、三列的公因數 $k-1$：

$$\det(A) =(k-1)^2 \begin{vmatrix} k&1&1\\ -1&1&0\\ -1&0&1 \end{vmatrix}.$$

計算剩餘行列式：

$$\begin{vmatrix} k&1&1\\ -1&1&0\\ -1&0&1 \end{vmatrix} =k+2.$$

因此

$$\boxed{\det(A)=(k-1)^2(k+2)}.$$

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(a) 有唯一解

唯一解的條件是

$$\det(A)\neq 0.$$

因此

$$(k-1)^2(k+2)\neq 0,$$

所以

$$\boxed{k\neq 1,-2}.$$

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(b) 無解

需檢查使 $\det(A)=0$ 的兩個參數值。

當 $k=1$

原方程組變為

$$\begin{cases} x_1+x_2+x_3=2,\\ x_1+x_2+x_3=3,\\ x_1+x_2+x_3=1. \end{cases}$$

同一個左式不可能同時等於 $2$、$3$、$1$，故方程組不相容。

因此

$$\boxed{k=1\text{ 時無解}}.$$

當 $k=-2$

方程組變為

$$\begin{cases} -2x_1+x_2+x_3=-4,\\ x_1-2x_2+x_3=3,\\ x_1+x_2-2x_3=1. \end{cases}$$

三個方程式左側相加為 $0$，右側相加為

$$-4+3+1=0.$$

因此三式彼此相容，並非無解。

所以無解的參數值為

$$\boxed{k=1}.$$

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(c) 無限多解

當 $k=-2$ 時，系統相容且

$$\det(A)=0,$$

因此不可能有唯一解；又係數矩陣的秩為 $2$，未知數有 $3$ 個，故自由變數有一個，系統具有無限多組解。

因此

$$\boxed{k=-2\text{ 時有無限多解}}.$$

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(d) 唯一解時，利用 Cramer 法則求解

由前面結果，唯一解成立於

$$k\neq 1,-2.$$

令

$$D=\det(A)=(k-1)^2(k+2).$$

以 Cramer 法則：

已知 $y_1=x^{A}$ 為一解，代入

$(x^{2}-x)y''+Bxy'+y=0$

$y' =A x^{A-1},\qquad y'' =A(A-1)x^{A-2}$

得

$\bigl(x^{2}-x\bigr)A(A-1)x^{A-2}+B x A x^{A-1}+x^{A}=0$

$A(A-1)\bigl(x^{A}-x^{A-1}\bigr)+ABx^{A}+x^{A}=0$

將 $x^{A}$、$x^{A-1}$ 的係數分別化為零：

$$\begin{cases} -A\bigl(A-1\bigr)=0\\[4pt] A(A-1)+AB+1=0 \end{cases}$$

由第一式 $A=0$ 或 $A=1$，代入第二式：

• $A=0\;\Rightarrow\;1=0$（不可）。
• $A=1\;\Rightarrow\;B+1=0\;\Rightarrow\;B=-1$。

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將方程式化為標準形

$$y''+P(x)y'+Q(x)y=0,\qquad P(x)=\frac{Bx}{x^{2}-x},\; Q(x)=\frac1{x^{2}-x}$$

代入 $B=-1$：

核心觀念

對微分方程

$$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$$

若滿足

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x},$$

則為恰當微分方程，可直接求位勢函數。若不恰當，需尋找積分因子 $\mu(x,y)$，使得

$$\mu M\,dx+\mu N\,dy=0$$

成為恰當微分方程。

本題中

$$M=e^{x+y}+2xye^x, \qquad N=x^2e^y-2e^{-y}.$$

計算偏導數：

$$M_y=e^{x+y}+2xe^x,$$ $$N_x=2xe^y.$$

因此

$$M_y-N_x = e^{x+y}+2xe^x-2xe^y\neq 0,$$

原方程不是恰當微分方程。

解題方法：檢查標準型積分因子

若積分因子僅為 $x$ 的函數，則必須有

$$\frac{M_y-N_x}{N}=f(x).$$

本題中

$$\frac{M_y-N_x}{N} = \frac{e^{x+y}+2xe^x-2xe^y} {x^2e^y-2e^{-y}},$$

其中仍同時含有 $x$ 與 $y$，不是單獨的 $x$ 函數。因此不存在標準型的 $\mu(x)$。

若積分因子僅為 $y$ 的函數，則必須有

$$\frac{N_x-M_y}{M}=g(y).$$

本題中

$$\frac{N_x-M_y}{M} = \frac{2xe^y-e^{x+y}-2xe^x} {e^{x+y}+2xye^x},$$

同樣同時含有 $x$ 與 $y$，不是單獨的 $y$ 函數。因此不存在標準型的 $\mu(y)$。

必要的積分因子方程

一般積分因子 $\mu(x,y)$ 必須滿足

核心觀念

本題考查常係數三階齊次線性微分方程：

$$y''' + y' + Ey = 0.$$

其解法為：

1. 已知一組特解，代回原微分方程求參數 $E$。
2. 設解為 $y=e^{rx}$，建立特徵方程。
3. 由已知解 $e^{-2x}$ 得知 $r=-2$ 是特徵根，再進行因式分解。
4. 根據特徵根型態寫出通解。

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解題方法

（a）求 $E$

已知

$$y=e^{-2x}.$$

其各階導數為

$$y'=-2e^{-2x},$$ $$y''=4e^{-2x},$$ $$y'''=-8e^{-2x}.$$

代回原方程：

$$y''' + y' + Ey=0,$$

得到

$$-8e^{-2x}-2e^{-2x}+Ee^{-2x}=0.$$

因為 $e^{-2x}\neq 0$，可約去 $e^{-2x}$：

$$-8-2+E=0.$$

因此

$$\boxed{E=10}.$$

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（b）求微分方程的通解

代入 $E=10$，原方程變為

$$y'''+y'+10y=0.$$

設解為

$$y=e^{rx},$$

則

$$y'=re^{rx},\qquad y'''=r^3e^{rx}.$$

代回微分方程：

$$r^3e^{rx}+re^{rx}+10e^{rx}=0.$$

因為 $e^{rx}\neq 0$，特徵方程為

$$r^3+r+10=0.$$

由題目已知 $e^{-2x}$ 是解，因此 $r=-2$ 為特徵根，故 $r+2$ 是特徵方程的因式：

$$r^3+r+10=(r+2)(r^2-2r+5).$$

解二次方程：

$$r^2-2r+5=0.$$

由公式得