114 年 國立暨南國際大學電機工程學系碩士班《工程數學》

核心觀念

矩陣的秩（rank）是矩陣中線性獨立列向量或行向量的最大數目。常用判斷方式如下：

• 若存在非零的 $k \times k$ 子行列式，則矩陣秩至少為 $k$。
• 若矩陣的行或列具有線性相關關係，則可藉此降低秩。
• 矩陣乘積滿足
  $\operatorname{rank}(AB)\leq \min\{\operatorname{rank}(A),\operatorname{rank}(B)\}.$

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一、求 $\operatorname{rank}(A)$

$$A= \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{bmatrix}.$$

觀察行向量：

$$R_3=2R_2-R_1,$$

因此三個行向量線性相關，故

$$\operatorname{rank}(A)\leq 2.$$

另一方面，取左上角的 $2\times2$ 子矩陣：

$$\begin{vmatrix} 1&2\\ 4&5 \end{vmatrix} =1\cdot5-2\cdot4=-3\neq0.$$

因此至少有兩個線性獨立的行向量，故

$$\boxed{\operatorname{rank}(A)=2}.$$

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二、求 $\operatorname{rank}(B)$

$$B= \begin{bmatrix} 2&-1&3\\ -4&2&-6\\ 1&-1&2 \end{bmatrix}.$$

第二行滿足

$$R_2=-2R_1,$$

所以三個行向量線性相關，故

$$\operatorname{rank}(B)\leq2.$$

取前兩行與前兩列所形成的子行列式：

$$\begin{vmatrix} 2&-1\\ 1&-1 \end{vmatrix} =2(-1)-(-1)(1)=-1\neq0.$$

因此至少有兩個線性獨立的行向量，故

核心觀念

本題考查矩陣可逆性、行列式的基本性質，以及高斯消去法中的主元：

1. $A$ 可逆當且僅當 $\det(A)\neq 0$。
2. 行列式具有乘法性：
   $\det(AB)=\det(A)\det(B)。$
3. 行列式一般不具加法性：
   $\det(A-B)\neq \det(A)-\det(B)。$
4. 高斯消去法中，主元乘積與行列式的關係須考慮列交換所造成的符號變化。

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選項分析

（a）If $A$ is not invertible then $AB$ is not invertible.

判斷：正確。

因為 $A$ 不可逆，所以

$$\det(A)=0。$$

利用行列式的乘法性，

$$\det(AB)=\det(A)\det(B)=0\cdot \det(B)=0。$$

因此 $AB$ 不可逆。

也可以由秩的觀點說明：

$$\operatorname{rank}(AB)\leq \operatorname{rank}(A)<n，$$

所以 $AB$ 不可能為滿秩矩陣，因而不可逆。

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（b）The determinant of $A$ is always the product of its pivots.

判斷：錯誤。

高斯消去法若沒有進行列交換，且只使用「以某列加上另一列倍數」的列運算，則行列式不變，此時有

$$\det(A)=\text{各主元的乘積}。$$

但若過程中交換兩列，每交換一次，行列式會乘上 $-1$。因此一般情況應為

$$\det(A)=(-1)^s\left(\text{各主元的乘積}\right)，$$

其中 $s$ 為列交換次數。

反例：

$$A= \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix}.$$

其行列式為

$$\det(A)=0\cdot 0-1\cdot 1=-1。$$

進行一次列交換後，

$$\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix},$$

主元為 $1,1$，乘積為 $1$，但原矩陣行列式為 $-1$。原因正是發生了一次列交換。

核心觀念

本題考查以下線性代數觀念：

• 特徵值與特徵向量的定義：
  $Av=\lambda v,\qquad v\ne 0.$
• 矩陣可逆與行列式的關係：
  $A\text{ 可逆}\Longleftrightarrow \det(A)\ne 0.$
• 相似矩陣的特徵值相同，但特徵向量通常會隨基底變換。
• 矩陣與其轉置矩陣具有相同的特徵多項式。
• 不同特徵值所對應的特徵向量，其線性組合通常不再是特徵向量。

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解題方法與選項分析

(a) 若 $0$ 是矩陣 $A$ 的特徵值，則 $A$ 不可逆

判斷：正確。

若 $0$ 是 $A$ 的特徵值，依特徵值定義，存在非零向量 $v$ 使得

$$Av=0v=0.$$

因此，齊次方程 $Av=0$ 存在非零解，表示 $A$ 的零空間不只包含零向量，故 $A$ 的欄向量線性相依，進而

$$\det(A)=0.$$

由矩陣可逆條件，

$$\det(A)=0\Longrightarrow A\text{ 不可逆}.$$

因此敘述正確。

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(b) 相似矩陣一定具有相同的特徵向量

判斷：錯誤。

若 $A$ 與 $B$ 相似，表示存在可逆矩陣 $P$ 使得

$$B=P^{-1}AP.$$

相似矩陣一定有相同的特徵值，但特徵向量會依照基底變換而改變。

若

$$Av=\lambda v,$$

令

$$w=P^{-1}v,$$

則

$$Bw=P^{-1}AP(P^{-1}v) =P^{-1}Av =P^{-1}(\lambda v) =\lambda P^{-1}v =\lambda w.$$

因此，$B$ 對應於 $\lambda$ 的特徵向量是 $P^{-1}v$，不一定就是 $v$。

例如取

$$A= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&2 \end{bmatrix}, \qquad P= \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix}.$$

則

$$B=P^{-1}AP= \begin{bmatrix} 2&0\\ 0&1 \end{bmatrix}.$$

矩陣 $A$ 對應特徵值 $1$ 的特徵向量為

$$\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},$$

但矩陣 $B$ 對應特徵值 $1$ 的特徵向量為

$$\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}.$$

兩者不相同。

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(c) 若 $A^T$ 有特徵值 $\lambda$，則 $A$ 也有特徵值 $\lambda$

判斷：正確。

矩陣 $A$ 的特徵值由特徵方程決定：

$$\det(A-\lambda I)=0.$$

對轉置矩陣而言，

$$\det(A^T-\lambda I) = \det\bigl((A-\lambda I)^T\bigr).$$

利用行列式與轉置的性質，

$$\det\bigl((A-\lambda I)^T\bigr) = \det(A-\lambda I).$$

因此 $A$ 與 $A^T$ 具有相同的特徵多項式，也就具有完全相同的特徵值，包含代數重數。

所以若 $\lambda$ 是 $A^T$ 的特徵值，必然也是 $A$ 的特徵值。

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(d) 若方陣 $A$ 的所有特徵值都是 $0$，則 $A=0$

判斷：錯誤。

核心觀念

本題考查變數代換法。令

$$z=xy$$

利用乘積微分法則，

$$\frac{dz}{dx}=xy'+y.$$

原式中的 $xy'+y$ 正好可由 $\dfrac{dz}{dx}$ 表示，因此可將原一階微分方程化為可分離變數方程。

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(a) 變數代換後的新 ODE

原方程為

$$xe^{xy}y'+e^{xy}y-3=0.$$

整理得

$$e^{xy}(xy'+y)=3.$$

由 $z=xy$ 及

$$z'=xy'+y,$$

且 $e^{xy}=e^z$，可得新方程

$$e^z\frac{dz}{dx}=3.$$

因此，變數代換後的 ODE 為

$$\boxed{e^z z'=3}$$

或寫成

$$\boxed{e^z\,dz=3\,dx}.$$

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(b) 一般解

由可分離變數形式

$$e^z\,dz=3\,dx,$$

兩邊積分：

$$\int e^z\,dz=\int 3\,dx.$$

因此

$$e^z=3x+C.$$

代回 $z=xy$：

$$e^{xy}=3x+C.$$

這就是原微分方程的一般隱式解：

$$\boxed{e^{xy}=3x+C}.$$

若要求寫成 $y$ 的顯式形式，兩邊取自然對數：

$$xy=\ln(3x+C),$$

所以

$$\boxed{y=\frac{\ln(3x+C)}{x}}.$$

(a) 求 $A$

將常見的 Euler 型方程

$y''+\frac{9}{x}y'+\frac{A}{x^{2}}y=0$

代入已知解 $y_{1}=x^{-4}$：

$$\begin{aligned} y_{1}' &= -4x^{-5},\\ y_{1}''&=20x^{-6}. \end{aligned}$$

代回方程式：

$$20x^{-6}+ \frac{9}{x}(-4x^{-5})+\frac{A}{x^{2}}x^{-4}=0 \;\Longrightarrow\; \bigl(20-36+A\bigr)x^{-6}=0.$$

因 $x^{-6}\neq0$，必有

$A=16.$

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核心觀念

本題考查以冪級數法（power series method）求解二階常微分方程。設

$$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$

則

$$y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^n, \qquad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n.$$

由於方程式中的係數皆為多項式，$x=0$ 是普通點，可直接假設解為冪級數。

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解題方法與遞迴公式

原方程為

$$y''=-3xy'+y,$$

移項得

$$y''+3xy'-y=0.$$

代入冪級數：

$$y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n,$$

且

$$3xy' =3x\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^n =3\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^n.$$

另外，

$$-y=-\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n.$$

因此

$$\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n +\sum_{n=0}^{\infty}(3n-1)a_nx^n=0.$$

比較各次方 $x^n$ 的係數：

$$(n+2)(n+1)a_{n+2}+(3n-1)a_n=0.$$

所以遞迴公式為

$$\boxed{ a_{n+2}=\frac{1-3n}{(n+2)(n+1)}a_n } \qquad (n\geq 0).$$

此遞迴式每次跳兩階，因此偶數次係數與奇數次係數彼此獨立，形成兩組線性獨立解。

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偶數次冪級數解

令 $a_0=C_1$，依遞迴公式計算：

當 $n=0$ 時，

$$a_2=\frac{1}{2}a_0.$$

當 $n=2$ 時，

$$a_4=\frac{1-6}{4\cdot 3}a_2 =-\frac{5}{12}a_2 =-\frac{5}{24}a_0.$$

當 $n=4$ 時，

$$a_6=\frac{1-12}{6\cdot 5}a_4 =-\frac{11}{30}a_4 =\frac{11}{144}a_0.$$

因此偶數部分的前四項非零項為

$$y_1(x) =1+\frac{x^2}{2}-\frac{5x^4}{24} +\frac{11x^6}{144}+\cdots.$$

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奇數次冪級數解

令 $a_1=C_2$，依遞迴公式計算：

當 $n=1$ 時，