108 年 國立中央大學電機工程學系碩士班丁：電波組《電子學》

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第 1 題10 分

計算題(10分)
For the circuit given in Figure P1, an operational amplifier with limited differential gain Ad=100A_d = 100 is used. If R1=1 kΩR_1 = 1 \, \text{k}\Omega, R2=4 kΩR_2 = 4 \, \text{k}\Omega, R3=1 kΩR_3 = 1 \, \text{k}\Omega, R4=4 kΩR_4 = 4 \, \text{k}\Omega, V1=1 VV_1 = 1 \, \text{V} and V2=4 VV_2 = 4 \, \text{V}, find the output voltage VoV_o.

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核心觀念

本題考查有限差動電壓增益的運算放大器。由於 Ad=100A_d=100 有限，不能直接套用理想運算放大器的「虛短路」條件 v+=v−v_+=v_-，而應使用

Vo=Ad(v+−v−)V_o=A_d(v_+-v_-)

並假設運算放大器輸入端電流為零。

解題方法

1. 求非反相端電壓 v+v_+

由於輸入端無電流，R1R_1 與 R2R_2 形成分壓：

v+=V2R2R1+R2v_+=V_2\frac{R_2}{R_1+R_2}

代入數值：

v+=44 kΩ1 kΩ+4 kΩ=3.2 Vv_+=4\frac{4\,\text{k}\Omega}{1\,\text{k}\Omega+4\,\text{k}\Omega} =3.2\,\text{V}

2. 求反相端電壓 v−v_- 與 VoV_o 的關係

在反相端節點套用 KCL：

v−−V1R3+v−−VoR4=0\frac{v_--V_1}{R_3}+\frac{v_--V_o}{R_4}=0

代入 V1=1 VV_1=1\,\text{V}、R3=1 kΩR_3=1\,\text{k}\Omega、R4=4 kΩR_4=4\,\text{k}\Omega：

v−−11+v−−Vo4=0\frac{v_--1}{1}+\frac{v_--V_o}{4}=0

乘以 44 得：

4(v−−1)+(v−−Vo)=04(v_--1)+(v_--V_o)=0

因此：

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第 2 題15 分

計算題(15分)
For the circuit given in Figure P2, the device parameters of the NMOSFET are Vt=1 VV_t = 1 \, \text{V}, λ=0 V−1\lambda = 0 \, \text{V}^{-1}, γ=0 V−1\gamma = 0 \, \text{V}^{-1}, μnCox=200 μA/V2\mu_n C_{ox} = 200 \, \mu\text{A/V}^2, W/L=10 μm/1 μmW/L = 10 \, \mu\text{m} /1 \, \mu\text{m} and drain current ID=1 mAI_D = 1 \, \text{mA}. If R1=2 kΩR_1 = 2 \, \text{k}\Omega, R2=4 kΩR_2 = 4 \, \text{k}\Omega, R3=1 kΩR_3 = 1 \, \text{k}\Omega, Find the following,
2-1 (5分) the value of the output resistance RoR_o.
2-2 (10分) the voltage gain vo/viv_o/v_i.

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核心觀念

此題考查 NMOS 共源級放大器的小訊號分析，包含：

  • MOSFET 跨導 gmg_m
  • 輸出電阻 RoR_o
  • 源極退化電阻 R3R_3
  • 中頻時耦合電容視為短路
  • 電源 5 V5\text{ V} 對交流訊號而言為接地

由於 λ=0\lambda=0，故

ro=1λID=∞r_o=\frac{1}{\lambda I_D}=\infty

直流工作點與跨導

MOSFET 參數為

μnCoxWL=200 μA/V2×10=2 mA/V2\mu_n C_{ox}\frac{W}{L} =200\,\mu\text{A/V}^2\times 10 =2\,\text{mA/V}^2

在飽和區：

ID=12μnCoxWLVOV2I_D=\frac{1}{2}\mu_n C_{ox}\frac{W}{L}V_{OV}^2

代入 ID=1 mAI_D=1\text{ mA}：

1=12(2)VOV21=\frac{1}{2}(2)V_{OV}^2

因此

VOV=1 VV_{OV}=1\text{ V}

跨導為

gm=μnCoxWLVOV=(2 mA/V2)(1 V)=2 mSg_m=\mu_n C_{ox}\frac{W}{L}V_{OV} =(2\,\text{mA/V}^2)(1\text{ V}) =2\text{ mS}

故

1gm=500 Ω\frac{1}{g_m}=500\,\Omega

2-1 輸出電阻 RoR_o

求輸出電阻時，將輸入電壓設為零，因此閘極為交流接地。電路中：

  • R1R_1 接至交流地
  • R2R_2 由汲極接至閘極，因此也接至交流地
  • MOSFET 從汲極看入的等效電阻為
1gm+R3\frac{1}{g_m}+R_3

所以

RMOS=1gm+R3=500+1000=1500 ΩR_{\text{MOS}}=\frac{1}{g_m}+R_3 =500+1000 =1500\,\Omega

輸出端總電阻為

Ro=R1∥R2∥RMOSR_o=R_1\parallel R_2\parallel R_{\text{MOS}} Ro=2000∥4000∥1500R_o=2000\parallel4000\parallel1500 1Ro=12000+14000+11500=1712000\frac{1}{R_o} =\frac{1}{2000}+\frac{1}{4000}+\frac{1}{1500} =\frac{17}{12000}

因此

Ro=1200017 Ω≈706 Ω\boxed{R_o=\frac{12000}{17}\,\Omega\approx706\,\Omega}

2-2 電壓增益 vovi\dfrac{v_o}{v_i}

中頻時輸入耦合電容與輸出耦合電容皆視為短路，因此

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第 3 題10 分

計算題(10分)
For the circuit shown in Figure P3, the current equation of the diodes are ID=Is×exp⁡(VD/2VT)I_D = I_s \times \exp(V_D/2V_T) and VT=0.025 VV_T = 0.025 \, \text{V}. Using the diode small-signal model to find the voltage gain Vo/ViV_o/V_i.
[Hint: Find the location of the nodes VoV_o and ViV_i]

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核心觀念

本題考查二極體的小訊號模型。由

ID=ISexp⁡(VD2VT)I_D=I_S\exp\left(\frac{V_D}{2V_T}\right)

可得二極體小訊號導納與電阻：

gd=∂ID∂VD=ID2VTg_d=\frac{\partial I_D}{\partial V_D} =\frac{I_D}{2V_T} rd=1gd=2VTIDr_d=\frac{1}{g_d}=\frac{2V_T}{I_D}

圖中的耦合電容標示為 ∞\infty，對交流訊號視為短路，因此 VoV_o 與左側二極體端點相同，ViV_i 與右側二極體端點相同。

解題方法

1. 求直流工作電流

中央節點由上方 2 mA2\,\text{mA} 電流源供應電流，左、右兩支路各流過 1 mA1\,\text{mA}，因此兩個水平二極體的直流電流皆為

ID=1 mAI_D=1\,\text{mA}

由於每個二極體的指數係數為 2VT2V_T：

rd=2VTID=2(0.025)1 mA=50 Ωr_d=\frac{2V_T}{I_D} =\frac{2(0.025)}{1\,\text{mA}} =50\,\Omega

2. 建立小訊號等效電路

直流電壓源接交流地；理想直流電流源在小訊號下視為開路。因此：

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第 4 題15 分

計算題(15分)
Figure P4 shows a npn BJT amplifier. The transconductance of the npn transistor gm=20 mA/Vg_m = 20 \, \text{mA/V}, β=100\beta = 100 and VBE=0.7 VV_{BE} = 0.7 \, \text{V}. If R1=10 kΩR_1 = 10 \, \text{k}\Omega, R2=10 kΩR_2 = 10 \, \text{k}\Omega, R3=3 kΩR_3 = 3 \, \text{k}\Omega, R4=4 kΩR_4 = 4 \, \text{k}\Omega, Neglect the Early effect, please find the following:
4-1 (5分) Calculate the value of the amplifier input resistance Rin..R_{in..}.
4-2 (5分) Find the voltage gain Vo1/ViV_{o1}/V_i.
4-3 (5分) Find the voltage gain Vo2/ViV_{o2}/V_i.

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核心觀念

本題考查具有未旁路射極電阻 R4R_4 的共射極 BJT 放大器小訊號分析。

忽略 Early effect，因此 ro→∞r_o\to\infty。主要使用：

rπ=βgmr_\pi=\frac{\beta}{g_m}

射極電阻造成射極退化，使基極看入的電阻為：

rin,base=rπ+(β+1)R4r_{\text{in,base}}=r_\pi+(\beta+1)R_4

交流小訊號分析時，電源視為交流接地，因此 R1R_1、R2R_2 皆接地。

4-1 輸入電阻 RinR_{in}

先計算 BJT 的小訊號基極電阻：

rπ=βgm=10020 mA/V=5 kΩr_\pi=\frac{\beta}{g_m} =\frac{100}{20\,\text{mA/V}} =5\,\text{k}\Omega

由於射極電阻 R4R_4 未被旁路，基極看入電阻為：

rin,base=rπ+(β+1)R4r_{\text{in,base}} =r_\pi+(\beta+1)R_4 =5 kΩ+101(4 kΩ)=409 kΩ=5\,\text{k}\Omega+101(4\,\text{k}\Omega) =409\,\text{k}\Omega

偏壓電阻的交流等效值為：

R1∥R2=10 kΩ∥10 kΩ=5 kΩR_1\parallel R_2 =10\,\text{k}\Omega\parallel10\,\text{k}\Omega =5\,\text{k}\Omega

因此放大器輸入電阻：

Rin=R1∥R2∥rin,baseR_{in} =R_1\parallel R_2\parallel r_{\text{in,base}} =5 kΩ∥409 kΩ≈4.94 kΩ=5\,\text{k}\Omega\parallel409\,\text{k}\Omega \approx 4.94\,\text{k}\Omega

4-2 電壓增益 vo1vi\dfrac{v_{o1}}{v_i}

vo1v_{o1} 位於集極，為共射極輸出。

令 vπv_\pi 為基極—射極小訊號電壓，則：

vi=vπ+vev_i=v_\pi+v_e

又因為：

ie=(β+1)ib=(β+1)vπrπi_e=(\beta+1)i_b =(\beta+1)\frac{v_\pi}{r_\pi}

所以：

ve=ieR4=(β+1)vπrπR4v_e=i_eR_4 =(\beta+1)\frac{v_\pi}{r_\pi}R_4

因此：

vi=vπ[1+(β+1)R4rπ]v_i =v_\pi\left[1+\frac{(\beta+1)R_4}{r_\pi}\right]
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第 5 題14 分

計算題(14分)
Figure P5 shows a common source amplifier with a current-source load implemented with a p-channel MOSFET Q2. Both Q1 and Q2 operate in saturation. The amplifier is fabricated in a process for which μnCox=2μpCox=0.2 mA/V2\mu_n C_{ox} = 2\mu_p C_{ox} = 0.2 \, \text{mA/V}^2, VAn′=∣VAp′∣=20 V/µmV'_{An} = |V'_{Ap}| = 20 \, \text{V/µm}, Vtn=−Vtp=0.5 VV_{tn} = -V_{tp} = 0.5 \, \text{V}, and VDD=2.5 VV_{DD} = 2.5 \, \text{V}. The two transistors have L=0.5 μmL = 0.5 \, \mu\text{m} and are to be operated at a current IDI_D of 0.1 mA with two transistors operating at overdrive voltage ∣Vov∣=0.2 V|V_{ov}| = 0.2 \, \text{V}. Please find the required values of the following.
5-1 (4分) VGV_G.
5-2 (4分) (W/L)1(W/L)_1, and (W/L)2(W/L)_2. (每子題2分)
5-3 (6分) Voltage gain AvA_v.

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核心觀念

本題考查 NMOS 共源放大器搭配 PMOS 電流源負載，需使用：

  1. MOSFET 飽和區電流公式
    ID=12μCox(WL)Vov2I_D=\frac{1}{2}\mu C_{\text{ox}}\left(\frac WL\right)V_{ov}^2

  2. 過驅電壓定義
    Vov=VGS−Vtn（NMOS）V_{ov}=V_{GS}-V_{tn}\quad\text{（NMOS）}
    ∣Vov∣=VSG−∣Vtp∣（PMOS）|V_{ov}|=V_{SG}-|V_{tp}|\quad\text{（PMOS）}

  3. 小訊號參數
    gm=2ID∣Vov∣g_m=\frac{2I_D}{|V_{ov}|}
    ro=1λID,λ=1VA′Lr_o=\frac{1}{\lambda I_D},\qquad \lambda=\frac{1}{V_A'L}

由圖可知，Q1 為接地的 NMOS 共源級，Q2 為接於 VDDV_{DD} 的 PMOS 電流源負載，兩者汲極相連形成輸出端。

5-1　求 VGV_G

Q2 為 PMOS，其源極接至：

VS=VDD=2.5 VV_S=V_{DD}=2.5\text{ V}

已知：

∣Vtp∣=0.5 V,∣Vov∣=0.2 V|V_{tp}|=0.5\text{ V},\qquad |V_{ov}|=0.2\text{ V}

因此：

VSG=∣Vtp∣+∣Vov∣=0.5+0.2=0.7 VV_{SG}=|V_{tp}|+|V_{ov}|=0.5+0.2=0.7\text{ V}

而：

VSG=VS−VGV_{SG}=V_S-V_G

所以：

VG=VS−VSG=2.5−0.7=1.8 VV_G=V_S-V_{SG}=2.5-0.7=1.8\text{ V}

5-2　求 (W/L)1(W/L)_1 與 (W/L)2(W/L)_2

Q1：NMOS

已知：

μnCox=0.2 mA/V2\mu_n C_{\text{ox}}=0.2\text{ mA/V}^2

代入飽和區電流公式：

0.1=12(0.2)(WL)1(0.2)20.1=\frac{1}{2}(0.2)\left(\frac WL\right)_1(0.2)^2

0.1=0.004(WL)10.1=0.004\left(\frac WL\right)_1

因此：

(WL)1=25\left(\frac WL\right)_1=25

Q2：PMOS

題目給定：

μnCox=2μpCox=0.2 mA/V2\mu_n C_{\text{ox}}=2\mu_p C_{\text{ox}}=0.2\text{ mA/V}^2

所以：

μpCox=0.1 mA/V2\mu_p C_{\text{ox}}=0.1\text{ mA/V}^2

代入 PMOS 飽和區電流公式：

0.1=12(0.1)(WL)2(0.2)20.1=\frac{1}{2}(0.1)\left(\frac WL\right)_2(0.2)^2

0.1=0.002(WL)20.1=0.002\left(\frac WL\right)_2

因此：

(WL)2=50\left(\frac WL\right)_2=50

5-3　求電壓增益 AvA_v

先求跨導 gmg_m

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第 6 題16 分

計算題(16分)
Figure P6 shows a PMOS differential amplifier and both Q1 and Q2 operate in saturation. Let Vtp=−0.8 VV_{tp} = -0.8 \, \text{V}, and μpCox(W/L)=12.5 mA/V2\mu_p C_{ox} (W/L) = 12.5 \, \text{mA/V}^2. Neglect channel-length modulation.
6-1 (4分) For VG1=VG2=0 VV_{G1} = V_{G2} = 0 \, \text{V}, find VSGV_{SG} for each of Q1 and Q2.
6-2 (4分) If the current source requires a minimum voltage of 0.4 V, find the input common mode range, VCMV_{CM} max and VCMV_{CM} min. (每子題2分)
6-3 (4分) The current source has an output resistance RSS=40 kΩR_{SS} = 40 \, \text{k}\Omega. If the output is taken single-endedly, find ∣Ad∣|A_d| and ∣Acm∣|A_{cm}|. (每子題2分)
6-4 (4分) Following 6-3, if the output is taken differentially and there is a 1% mismatch between the drain resistances, find ∣Ad∣|A_d| and ∣Acm∣|A_{cm}|. (每子題2分)

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核心觀念

本題考查 PMOS 差動對的小訊號分析：

  • 平衡偏壓時，尾端電流平均分流至兩支電晶體。
  • PMOS 飽和區電流公式為
ID=12μpCox(WL)VOV 2I_D=\frac{1}{2}\mu_p C_{ox}\left(\frac WL\right)V_{OV}^{\,2}

其中

VOV=VSG−∣Vtp∣V_{OV}=V_{SG}-|V_{tp}|
  • 差動增益由 gmRDg_mR_D 決定。
  • 共模增益來自尾端電流源有限輸出電阻 RSSR_{SS}。
  • 差動輸出時，兩側訊號相加；電阻不匹配則會造成共模訊號轉換成差動輸出。

6-1 求 VSGV_{SG}

尾端電流為 0.5 mA0.5\ \text{mA}，平衡時：

ID1=ID2=0.52=0.25 mAI_{D1}=I_{D2}=\frac{0.5}{2}=0.25\ \text{mA}

由飽和區公式：

0.25=12(12.5)VOV 20.25=\frac{1}{2}(12.5)V_{OV}^{\,2}

因此

VOV 2=0.256.25=0.04V_{OV}^{\,2}=\frac{0.25}{6.25}=0.04 VOV=0.2 VV_{OV}=0.2\ \text{V}

又因為

VSG=∣Vtp∣+VOVV_{SG}=|V_{tp}|+V_{OV}

所以

VSG=0.8+0.2=1.0 VV_{SG}=0.8+0.2=1.0\ \text{V}

因此兩支電晶體皆為

VSG1=VSG2=1.0 V\boxed{V_{SG1}=V_{SG2}=1.0\ \text{V}}

6-2 輸入共模範圍

先求小訊號參數與各節點直流電壓。

每支汲極接有 4 kΩ4\ \text{k}\Omega 電阻，因此：

VD=−2.5+(0.25 mA)(4 kΩ)V_D=-2.5+(0.25\ \text{mA})(4\ \text{k}\Omega) VD=−1.5 VV_D=-1.5\ \text{V}

最大共模輸入電壓

電流源的上端為 +2.5 V+2.5\ \text{V}，且至少需要 0.4 V0.4\ \text{V}：

2.5−VS≥0.42.5-V_S\geq 0.4

因此

VS≤2.1 VV_S\leq 2.1\ \text{V}

由於 VSG=1.0 VV_{SG}=1.0\ \text{V}：

VCM=VG=VS−VSGV_{CM}=V_G=V_S-V_{SG}

故

VCM,max⁡=2.1−1.0=1.1 VV_{CM,\max}=2.1-1.0=1.1\ \text{V}

最小共模輸入電壓

PMOS 維持飽和需滿足：

VSD≥VSG−∣Vtp∣=0.2 VV_{SD}\geq V_{SG}-|V_{tp}|=0.2\ \text{V}

因此

VS−VD≥0.2V_S-V_D\geq 0.2

代入 VD=−1.5 VV_D=-1.5\ \text{V}：

VS≥−1.3 VV_S\geq -1.3\ \text{V}

所以

VCM,min⁡=VS−VSG=−1.3−1.0=−2.3 VV_{CM,\min}=V_S-V_{SG} =-1.3-1.0=-2.3\ \text{V}

因此輸入共模範圍為

−2.3 V≤VCM≤1.1 V\boxed{-2.3\ \text{V}\leq V_{CM}\leq 1.1\ \text{V}}

6-3 單端輸出

跨導為

gm=2IDVOV=2(0.25 mA)0.2 V=2.5 mSg_m=\frac{2I_D}{V_{OV}} =\frac{2(0.25\ \text{mA})}{0.2\ \text{V}} =2.5\ \text{mS}

令差動輸入為

vid=vg1−vg2v_{id}=v_{g1}-v_{g2}

差動激勵下，兩個閘極的小訊號電壓分別為 +vid/2+v_{id}/2 與 −vid/2-v_{id}/2。單端輸出取其中一側，因此：

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第 7 題20 分

計算題(20分)
Figure P7 shows a feedback transconductance amplifier. For the case of gm1=gm2=5 mA/Vg_{m1} = g_{m2} = 5 \, \text{mA/V}, RD=1 kΩR_D = 1 \, \text{k}\Omega, ro2=20 kΩr_{o2} = 20 \, \text{k}\Omega, RF=100 ΩR_F = 100 \, \Omega, and RL=1 kΩR_L = 1 \, \text{k}\Omega. For simplicity, neglect ro1r_{o1} and take ro2r_{o2} into account only when calculating output resistance.
7-1 (10分) Find the value of close-loop gain Af=Iof/VsA_f = I_{of}/V_s.
7-2 (10分) Find the value of output resistance RofR_{of}.

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核心觀念

本題考查回授式跨導放大器的小訊號分析：

  • Q1Q_1 將輸入電壓轉換為小訊號電流。
  • RFR_F 將輸出電壓回授至 Q1Q_1 源極，形成負回授。
  • Q2Q_2 將 Q1Q_1 的汲極電壓再轉換為輸出電流。
  • 求輸出電阻時，須令輸入 Vs=0V_s=0，並在輸出端施加測試電壓。

令 vxv_x 為 Q1Q_1 汲極、Q2Q_2 閘極電壓，令 v1v_1 為 Q1Q_1 源極電壓，輸出電壓為 vov_o。

7-1 閉迴路增益 AfA_f

令

u=Vs−v1u=V_s-v_1

則 Q1Q_1 的小訊號汲極電流為

i1=gm1ui_1=g_{m1}u

由 Q1Q_1 源極節點 KCL：

v1−voRF=gm1u\frac{v_1-v_o}{R_F}=g_{m1}u

因此

v1−vo=RFgm1uv_1-v_o=R_Fg_{m1}u

又因為 Vs=u+v1V_s=u+v_1，可得

Vs−vo=u+RFgm1u=(1+RFgm1)uV_s-v_o = u+R_Fg_{m1}u = (1+R_Fg_{m1})u

所以

u=Vs−vo1+RFgm1u=\frac{V_s-v_o}{1+R_Fg_{m1}}

另一方面，Q1Q_1 汲極端忽略 ro1r_{o1}，故

vxRD+gm1u=0\frac{v_x}{R_D}+g_{m1}u=0

即

vx=−RDgm1uv_x=-R_Dg_{m1}u

Q2Q_2 產生的輸出電流為

gm2RDgm1ug_{m2}R_Dg_{m1}u

而經由 RFR_F 流入輸出端的回授電流為

gm1ug_{m1}u

因此負載電流

Iof=(gm1+gm1gm2RD)uI_{of} = \left(g_{m1}+g_{m1}g_{m2}R_D\right)u

代入數值：

gm1=gm2=5 mA/V=0.005 Sg_{m1}=g_{m2}=5\,\text{mA/V}=0.005\,\text{S} gm1gm2RD=0.005×0.005×1000=0.025 Sg_{m1}g_{m2}R_D = 0.005\times0.005\times1000 = 0.025\,\text{S}

因此

Iof=(0.005+0.025)u=0.03uI_{of} = (0.005+0.025)u = 0.03u

又由 RLR_L：

vo=IofRL=0.03(1000)u=30uv_o=I_{of}R_L=0.03(1000)u=30u

而

Vs=vo+(1+RFgm1)uV_s=v_o+(1+R_Fg_{m1})u

其中

RFgm1=100×0.005=0.5R_Fg_{m1}=100\times0.005=0.5

所以

Vs=(30+1+0.5)u=31.5uV_s=(30+1+0.5)u=31.5u

故閉迴路跨導增益為

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