108 年國立中央大學電機工程學系碩士班丁：電波組《電磁學》考古題與詳解

Question 1

Consider a parallel-plate capacitor. The area of the parallel-plate capacitor is $1\ \mathrm{mm^2}$ . The distance between the two metal electrodes is $500\ \mathrm{nm}$ . The relative permittivity and the conductivity of the dielectric material between the electrodes are $225$ and $10^{-7}\ \mathrm{S/m}$ , respectively.

Please calculate the resistance of the parallel-plate capacitor.

Accepted Answer

核心觀念 平行板電容器的電容量由下式決定： $$ C=\frac{\varepsilon A}{d} $$ 其中： - $C$：電容量 - $\varepsilon=\varepsilonr\varepsilon0$：介電質的絕對介電率 - $\varepsilonr$：相對介電率 - $\varepsilon0=8.854	imes10^{-12}\ \mathrm{F/m}$：真空介電率 - $A$：電極面積 - $d$：兩電極間距離 題目另給介電質的導電率 $\sigma$，此參數影響漏電流與等效並聯電阻，但不影響理想平行板電容的電容量計算。 解題方法 先將面積與距離換算成 SI 制單位： $$ A=1\ \mathrm{mm^2}=1	imes10^{-6}\ \mathrm{m^2} $$ $$ d=500\ \mathrm{nm}=500	imes10^{-9}\ \mathrm{m} =5	imes10^{-7}\ \mathrm{m} $$ 介電質的絕對介電率為： $$ \varepsilon=\varepsilonr\varepsilon0 =225(8.854	imes10^{-12}) \ \mathrm{F/m} $$ 代入平行板電容公式：

Question 2

Consider a parallel-plate capacitor. The area of the parallel-plate capacitor is $1\ \mathrm{mm^2}$ . The distance between the two metal electrodes is $500\ \mathrm{nm}$ . The relative permittivity and the conductivity of the dielectric material between the electrodes are $225$ and $10^{-7}\ \mathrm{S/m}$ , respectively.

Please calculate the resistance of the parallel-plate capacitor.

Accepted Answer

核心觀念

介電材料具有有限導電率 $\sigma$ 時，兩金屬電極之間存在漏電流，可將介電層視為一個電阻。由導電率與電阻率的關係：

\rho=\frac{1}{\sigma}

均勻介電材料的電阻為：

R=\rho\frac{d}{A} =\frac{d}{\sigma A}

其中：

$d$ ：介電材料厚度
$A$ ：電極面積
$\sigma$ ：介電材料導電率

題目給出的相對介電常數 $\varepsilon_r=225$ 是計算電容量所需的參數，對直流漏電電阻沒有影響。

解題方法

先將物理量換算為 SI 制：

A=1\ \mathrm{mm^2}=1\times10^{-6}\ \mathrm{m^2}

d=500\ \mathrm{nm}=500\times10^{-9}\ \mathrm{m} =5\times10^{-7}\ \mathrm{m}

導電率為：

\sigma=10^{-7}\ \mathrm{S/m}

代入平行板介電層的電阻公式：

R=\frac{d}{\sigma A}

Question 3

Consider two square conducting loops in free space as shown in the figure below. The small square loop is located at the center of the big square loop. The length of the edges of the big loop is $W_1$ . The length of the edges of the small loop is $W_2$ . Please find the mutual inductance between the two conducting loops. Assume $W_1\gg W_2$ .

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查互感的定義，以及正方形電流迴路中心附近的磁場。 互感定義為 $$ M=\frac{\Phi{21}}{I1} $$ 其中 $I1$ 是大線圈中的電流，$\Phi{21}$ 是大線圈產生並穿過小線圈的磁通量。 因為 $W1\gg W2$，小線圈範圍內的磁場可視為均勻，並近似等於大線圈中心的磁場。 解題方法 設大正方形線圈中的電流為 $I1$，邊長為 $W1$。 對大線圈的一條邊而言，中心到該邊的垂直距離為 $$ a=\frac{W1}{2} $$ 由有限長直導線的磁場公式， $$ B{	ext{side}} = \frac{\mu0 I1}{4\pi a} (\sin	heta1+\sin	heta2) $$ 正方形中心對該邊兩端的夾角皆為 $45^\circ$，因此 $$ B{	ext{side}} = \frac{\mu0 I1}{4\pi(W1/2)} \left( \sin45^\circ+\sin45^\circ ight) $$ $$ B{	ext{side}} = \frac{\sqrt{2}\mu0 I1}{2\pi W1} $$ 四條邊的磁場方向相同，故大線圈中心的總磁場為

Question 4

Consider a uniform plane wave impinging normally upon a plane boundary between two lossless dielectric materials as shown in the figure below. Assume that the average power of the incident wave is $9\ \mathrm{W}$ . Please calculate the average power of the reflected wave and that of the transmitted wave.

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查無損介質中平面波正入射時的： - 介質本徵阻抗 - 電場反射係數 - 反射功率與穿透功率比例 - 無損邊界的功率守恆 無損介質的本徵阻抗為 $$ \eta=\eta0\sqrt{\frac{\mur}{\varepsilonr}} $$ 其中 $\eta0$ 為自由空間本徵阻抗。 解題方法 由圖中資料： $$ \varepsilon{r1}=1,\qquad \mu{r1}=1 $$ $$ \varepsilon{r2}=8,\qquad \mu{r2}=2 $$ 因此兩介質的本徵阻抗分別為 $$ \eta1=\eta0\sqrt{\frac{1}{1}}=\eta0 $$ $$ \eta2=\eta0\sqrt{\frac{2}{8}} =\frac{\eta0}{2} $$ 正入射時，電場反射係數為 $$ \Gamma=\frac{\eta2-\eta1}{\eta2+\eta1} $$ 代入阻抗： $$ \Gamma= \frac{\frac{\eta0}{2}-\eta0} {\frac{\eta0}{2}+\eta0} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} =-\frac{1}{3} $$ 反射功率比例為電場反射係數絕對值的平方：

Question 5

Which of the following does NOT support TEM mode?

(A) parallel-plate transmission line

(B) two-wire transmission line

(C) coaxial transmission line

(D) rectangular waveguide

(E) All of the above can support TEM mode.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查傳輸線與波導的 TEM（Transverse Electromagnetic）模態。 TEM 模態的定義是： $$ Ez=0,\qquad Hz=0 $$ 也就是電場與磁場都完全垂直於傳播方向，沒有縱向電場與縱向磁場。 在均勻、無耗的結構中，TEM 模態可視為由橫向靜電場與靜磁場形成，其橫向電場必須由導體間的電位差建立。因此，能支援 TEM 模態的結構必須具備： - 至少兩個彼此分離的導體； - 一個導體作為電流回路的去路，另一個導體作為回路的返回路徑； - 橫截面上的電場可由兩導體間的電位差形成。 單導體中空波導通常只能支援 TE 或 TM 模態，不能支援 TEM 模態。 解題方法 判斷各選項的關鍵，是觀察其橫截面是否具有兩個導體，能否形成完整的電流回路與橫向電位差。 對 TEM 模態而言，電場線必須由一個導體出發，終止於另一個導體；磁場則環繞傳輸電流。若結構只有一個導體，便無法建立非零的兩導體間電位差，也無法形成完整的 TEM 傳輸模式。 矩形波導的截面雖然為矩形，但其金屬壁是彼此連接的單一導體，並不是兩個彼此隔離的導體。因此它不能支援 TEM 模態。 選項分析 (A) parallel-plate transmission line 平行板傳輸線由兩片彼此平行且互相隔離的導體構成。 兩導體之間可以建立均勻的橫向電場，且電流可沿一片導體前進、沿另一片導體返回，因此能形成完整的 TEM 模態。 所以 (A) 正確，並非本題答案。 (B) two-wire transmission line 雙線傳輸線由兩條彼此分離的導線構成。 兩條導線之間存在電位差，電場主要分布於兩導線之間；磁場則環繞導線中的電流。由於具有兩個導體與完整回路，因此可支援 TEM 模態。 所以 (B) 正確，並非本題答案。 (C) coaxial transmission line 同軸傳輸線由中心導體與外部圓筒導體構成，兩者之間以介電質隔開。 中心導體與外導體提供兩個不同電位的導體，電場沿徑向分布，磁場沿圓周方向分布，兩者皆垂直於傳播方向，因此可支援 TEM 模態。 理想同軸線的 TEM 電場與磁場可表示為：

Question 6

There are three air-filled parallel-plate transmission lines. For line 1, the plate width is $5\ \mathrm{mm}$ and dielectric thickness is $1\ \mathrm{mm}$ . For line 2, the plate width is $10\ \mathrm{mm}$ and dielectric thickness is $2\ \mathrm{mm}$ . For line 3, the plate width is $10\ \mathrm{mm}$ and dielectric thickness is $1\ \mathrm{mm}$ . Which of the following is TRUE for the three characteristic impedances?

(A) $Z_1=Z_2=Z_3$

(B) $Z_1=Z_3>Z_2$

(C) $Z_1=Z_2>Z_3$

(D) $Z_1>Z_2>Z_3$

(E) $Z_1>Z_2=Z_3$

Accepted Answer

核心觀念 平行板傳輸線可視為理想 TEM 傳輸線，其特性阻抗為 $$ Z0=\sqrt{\frac{L'}{C'}} $$ 其中，$L'$ 與 $C'$ 分別為單位長度電感與單位長度電容。 對於板寬為 $w$、板間距離為 $d$ 的空氣填充平行板傳輸線： $$ C'=\frac{\varepsilon0 w}{d} $$ $$ L'=\frac{\mu0 d}{w} $$ 因此 $$ Z0 =\sqrt{\frac{\mu0 d/w}{\varepsilon0 w/d}} =\frac{d}{w}\sqrt{\frac{\mu0}{\varepsilon0}} $$ 由於三條傳輸線皆為空氣填充，$\sqrt{\mu0/\varepsilon0}$ 相同，所以只需比較比例 $d/w$。 --- 解題方法 分別計算三條傳輸線的幾何比例： 線 1： $$ \frac{d1}{w1} =\frac{1\ \mathrm{mm}}{5\ \mathrm{mm}} =\frac{1}{5} $$ 線 2： $$ \frac{d2}{w2} =\frac{2\ \mathrm{mm}}{10\ \mathrm{mm}} =\frac{1}{5} $$ 線 3： $$ \frac{d3}{w3} =\frac{1\ \mathrm{mm}}{10\ \mathrm{mm}} =\frac{1}{10} $$ 所以

Question 7

Regarding the essential difference between a transmission line and an ordinary electric network, which of the following is FALSE?

(A) Whereas the physical dimensions of transmission lines are very much smaller than the operating wavelength, electric networks are usually a considerable fraction of a wavelength and may even be many wavelengths long.

(B) The circuit elements in an ordinary electric network can be considered discrete.

(C) A transmission line is a distributed-parameter network.

(D) There are no standing waves existing in an ordinary electric network.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「集總參數電路」與「分佈參數傳輸線」的基本差異。 當電路的幾何尺寸 $d$ 遠小於操作波長 $\lambda$ 時，各點電壓與電流的相位差可忽略，電路可用電阻、電感、電容等離散元件表示，稱為集總參數網路（lumped-parameter network）。 當電路尺寸與波長具有可比性時，電壓與電流會隨位置改變，必須以單位長度參數描述： - $R'$：單位長度電阻 - $L'$：單位長度電感 - $G'$：單位長度電導 - $C'$：單位長度電容 此時稱為分佈參數網路（distributed-parameter network），其電壓與電流滿足傳輸線方程式： $$ \frac{\partial V(z)}{\partial z} = -\left(R'+j\omega L'\right)I(z) $$ $$ \frac{\partial I(z)}{\partial z} = -\left(G'+j\omega C'\right)V(z) $$ 無損傳輸線中，電壓可表示為入射波與反射波的疊加： $$ V(z)=V^+e^{-j\beta z}+V^-e^{j\beta z} $$ 當入射波與反射波同時存在時，便可能形成駐波。 --- 解題方法 逐一檢查各選項是否符合「傳輸線」與「普通電路」的定義： 1. 比較電路尺寸與波長的關係。 2. 判斷元件是離散表示，還是以單位長度參數表示。 3. 判斷是否需要考慮沿線電壓、電流變化與反射波。 4. 找出與基本定義相反的敘述。 --- 選項分析 (A) 錯誤 選項敘述為： Whereas the physical dimensions of transmission lines are very much smaller than the operating wavelength, electric networks are usually a considerable fraction of a wavelength and may even be many wavelengths long. 此敘述將兩者的尺寸關係完全顛倒。 對普通電路而言，必須滿足近似條件： $$ d \ll \lambda $$

Question 8

What is the input impedance of an open-circuited lossless transmission line if the length of the line is $0.75\lambda$? (A) Infinity (B) Zero (C) $50\ \Omega$ (D) $73\ \Omega$ (E) $100+j100\ \Omega$

Accepted Answer

核心觀念 無損耗傳輸線的輸入阻抗為 $$ Z{\mathrm{in}} = Z0 \frac{ZL+jZ0	an(\beta l)} {Z0+jZL	an(\beta l)} $$ 其中： - $Z0$ 為特性阻抗 - $ZL$ 為負載阻抗 - $l$ 為傳輸線長度 - $\beta=\dfrac{2\pi}{\lambda}$ 為相位常數 本題為開路負載，因此 $$ ZLightarrow\infty $$ 開路傳輸線的輸入阻抗可化為 $$ Z{\mathrm{in}}=-jZ0\cot(\beta l) $$ --- 解題方法 傳輸線長度為 $$ l=0.75\lambda=\frac{3\lambda}{4} $$ 因此電氣長度為 $$ \beta l = \frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{3\lambda}{4} = \frac{3\pi}{2} $$ 代入開路傳輸線公式： $$ Z{\mathrm{in}} = -jZ0\cot\left(\frac{3\pi}{2}ight) $$ 由於 $$ \cot\left(\frac{3\pi}{2}ight)=0 $$ 所以 $$ Z{\mathrm{in}}=0 $$ 因此，線長為 $\dfrac{3\lambda}{4}$ 的開路無損傳輸線，在輸入端呈現短路特性。 --- 選項分析

Question 9

A lossless transmission line with length $0.5\lambda$ and characteristic impedance $Z_0=100\ \Omega$ is terminated with a load impedance $Z_L=50+j50\ \Omega$ . What is the input impedance of such loaded transmission line?

(A) $50+j50\ \Omega$

(B) $100+j50\ \Omega$

(C) Zero

(D) Infinity

(E) $25+j25\ \Omega$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查無損傳輸線的輸入阻抗，以及半波長傳輸線的阻抗重複特性。 無損傳輸線長度為 $l$、特性阻抗為 $Z0$、負載阻抗為 $ZL$ 時，輸入阻抗為 $$ Z{	ext{in}} = Z0 \frac{ZL+jZ0	an(\beta l)} {Z0+jZL	an(\beta l)} $$ 其中 $$ \beta=\frac{2\pi}{\lambda} $$ 為相位常數。 當傳輸線長度為半波長時， $$ l=0.5\lambda=\frac{\lambda}{2} $$ 因此 $$ \beta l = \frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{2} = \pi $$ 而 $$ 	an(\pi)=0 $$ 所以半波長無損傳輸線的輸入阻抗會完全等於負載阻抗： $$ Z{	ext{in}}=ZL $$ 解題方法 將 $	an(\beta l)=0$ 代入輸入阻抗公式： $$ Z{	ext{in}} = 100 \frac{(50+j50)+j(100)(0)} {100+j(50+j50)(0)} $$ 整理得 $$ Z{	ext{in}} = 100\frac{50+j50}{100} $$ 因此 $$ Z{	ext{in}}=50+j50\ \Omega $$ 故正確選項為： $$ \boxed{	ext{(A)}\ 50+j50\ \Omega} $$ 選項分析

Question 10

Regarding the characteristic impedance of a transmission line, which of the following is FALSE?

(A) For a lossless transmission line, it can be calculated if the inductance and capacitance per unit length are provided.

(B) For a lossy transmission line, it can be calculated if the inductance and capacitance per unit length are provided.

(C) For a distortionless transmission line, it can be calculated if the inductance and capacitance per unit length are provided.

(D) For a lossless transmission line, it can be calculated if the open-circuit and short-circuit impedances measured at the input terminal are provided.

Accepted Answer

核心觀念 傳輸線的特性阻抗定義為 $$ Z0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}} $$ 其中： - $R$：單位長度電阻 - $L$：單位長度電感 - $G$：單位長度電導 - $C$：單位長度電容 因此，僅知道 $L$ 與 $C$ 是否足以求出 $Z0$，取決於傳輸線的種類。 1. 無耗傳輸線 無耗條件為 $$ R=0,\qquad G=0 $$ 代入特性阻抗公式： $$ Z0 =\sqrt{\frac{j\omega L}{j\omega C}} =\sqrt{\frac{L}{C}} $$ 所以只要知道單位長度電感 $L$ 與單位長度電容 $C$，即可求得特性阻抗。 2. 無失真傳輸線 無失真條件為 Heaviside condition： $$ \frac{R}{L}=\frac{G}{C} $$ 令共同比值為 $k$，則 $$ R=kL,\qquad G=kC $$ 代入特性阻抗： $$ Z0 =\sqrt{\frac{kL+j\omega L}{kC+j\omega C}} =\sqrt{\frac{L(k+j\omega)}{C(k+j\omega)}} =\sqrt{\frac{L}{C}} $$ 所以無失真傳輸線的特性阻抗同樣只由 $L$ 與 $C$ 決定。 --- 解題方法 本題逐一檢查各選項是否符合特性阻抗公式： $$ Z0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}} $$ 判斷重點是： 1. 無耗傳輸線可令 $R=G=0$。 2. 無失真傳輸線滿足 $R/L=G/C$，使 $R$ 與 $G$ 的影響相消。 3. 一般有耗傳輸線仍需要知道 $R$ 與 $G$。 4. 無耗線的開路、短路輸入阻抗乘積等於 $Z0^2$。 --- 選項分析 (A) 正確 對無耗傳輸線， $$ Z0=\sqrt{\frac{L}{C}} $$ 因此提供單位長度電感 $L$ 與單位長度電容 $C$，即可計算特性阻抗。 --- (B) 錯誤

Question 11

For the following network in the figure, which of the following is FALSE?

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(A) The two loads $R_{L1}$ and $R_{L2}$ receive equal power from the generator $V_0$ .

(B) There is no standing wave on line 3.

(C) There is no standing wave on line 1.

(D) Line 2 is a lossless transmission line.

Accepted Answer

核心觀念

本題考查四分之一波長無耗損傳輸線、駐波與阻抗匹配。

對於特性阻抗為 $Z_0$ 、負載阻抗為 $Z_L$ 、長度為 $\lambda/4$ 的無耗損傳輸線，其輸入阻抗為

Z_{\mathrm{in}}=\frac{Z_0^2}{Z_L}

若負載阻抗等於傳輸線特性阻抗，即 $Z_L=Z_0$ ，則線上無反射、沒有駐波。

解題方法

由圖可得：

Line 1： $Z_{01}=80\ \Omega$ ， $Z_{L1}=64\ \Omega$ ，長度為 $\lambda/4$
Line 2： $Z_{02}=50\ \Omega$ ， $Z_{L2}=25\ \Omega$ ，長度為 $\lambda/4$
Line 3：特性阻抗 $Z_{03}=50\ \Omega$

先求兩支路在交會點所呈現的輸入阻抗。

對 Line 1：

Z_{\mathrm{in},1} =\frac{80^2}{64} =100\ \Omega

對 Line 2：

Z_{\mathrm{in},2} =\frac{50^2}{25} =100\ \Omega

因此，交會點看到兩個 $100\ \Omega$ 並聯：

Z_{\mathrm{in,parallel}} =100\parallel100 =50\ \Omega

此阻抗恰好等於 Line 3 的特性阻抗 $Z_{03}=50\ \Omega$ ，所以 Line 3 完全匹配，沒有反射波與駐波。

選項分析

(A) The two loads $R_{L1}$ and $R_{L2}$ receive equal power from the generator $V_0$ .

兩支路在交會點的輸入阻抗均為 $100\ \Omega$ ，因此在相同端電壓下，兩支路取得的功率相同：

P_1=P_2=\frac{|V|^2}{100}

Question 12

Regarding the Smith chart, which of the following is FALSE?

(A) All $r$ -circles pass through the point $\Gamma_r=1$ , $\Gamma_i=0$ .

(B) All $x$ -circles pass through the point $\Gamma_r=1$ , $\Gamma_i=0$ .

(C) The centers of all $r$ -circles lie on the $\Gamma_r$ -axis.

(D) The centers of all $x$ -circles lie on the $\Gamma_i$ -axis.

Accepted Answer

核心觀念 Smith chart 是將負載阻抗先正規化為 $$ z=\frac{ZL}{Z0}=r+jx $$ 再利用反射係數 $$ \Gamma=\Gammar+j\Gammai=\frac{z-1}{z+1} $$ 將阻抗平面映射到反射係數平面。 其中： - $r$：正規化電阻 - $x$：正規化電抗 - 固定 $r$ 所形成的軌跡稱為 $r$-circle - 固定 $x$ 所形成的軌跡稱為 $x$-circle 本題要判斷各選項對於這兩類圓的位置與通過點的敘述是否正確。 --- 解題方法 由 $$ \Gamma=\frac{r+jx-1}{r+jx+1} $$ 將分子、分母同乘以分母的共軛，可得 $$ \Gammar= \frac{r^2+x^2-1}{(r+1)^2+x^2} $$ 以及 $$ \Gammai= \frac{2x}{(r+1)^2+x^2} $$ 一、固定電阻 $r$ 的軌跡 固定 $r$ 後，消去 $x$，可得 $$ \left(\Gammar-\frac{r}{r+1}\right)^2+\Gammai^2 = \left(\frac{1}{r+1}\right)^2 $$ 因此，$r$-circle 的： - 圓心為 $$ \left(\frac{r}{r+1},0\right) $$ - 半徑為 $$ \frac{1}{r+1} $$ 圓心位於 $\Gammai=0$ 的水平軸上，也就是 $\Gammar$-axis。 此外，圓的最右端為 $$ \frac{r}{r+1}+\frac{1}{r+1}=1 $$ 所以所有 $r$-circle 都通過 $$ (\Gammar,\Gammai)=(1,0) $$ 二、固定電抗 $x$ 的軌跡 固定 $x$ 後，消去 $r$，可得 $$ (\Gammar-1)^2+ \left(\Gammai-\frac{1}{x}\right)^2 = \left(\frac{1}{x}\right)^2 $$ 因此，$x$-circle 的： - 圓心為 $$ \left(1,\frac{1}{x}\right) $$ - 半徑為 $$ \frac{1}{|x|} $$ 圓心皆位於直線 $$ \Gammar=1 $$ 上，而不是 $\Gammai$-axis。 將 $(1,0)$ 代入上式：

Question 13

Regarding the Smith chart, which of the following is FALSE?

(A) It can be used for calculating the input impedance of a lossless terminated transmission line.

(B) It can be used for calculating the impedance $Z_L$ of a given admittance $Y_L$ .

(C) The point representing a short-circuit on an impedance Smith chart is the point representing an open-circuit on an admittance Smith chart.

(D) In comparison to using the Smith chart as admittance chart, using the Smith chart as impedance chart is more convenient for solving double-stub matching.

Accepted Answer

核心觀念

本題考查 Smith chart 的基本用途、阻抗圖與導納圖的轉換，以及雙短截線匹配的操作便利性。

令傳輸線特性阻抗為 $Z_0$ ，負載阻抗與導納正規化為

z_L=\frac{Z_L}{Z_0},\qquad y_L=\frac{Y_L}{Y_0}

其中 $Y_0=1/Z_0$ 。因此，在 $Z_0$ 為實數時，

y_L=\frac{1}{z_L}

阻抗 Smith chart 與導納 Smith chart 的反射係數分別可寫成

\Gamma_z=\frac{z-1}{z+1}

以及

\Gamma_y=\frac{y-1}{y+1}

代入 $y=1/z$ ，可得

\Gamma_y =\frac{1/z-1}{1/z+1} =\frac{1-z}{1+z} =-\Gamma_z

因此，導納 Smith chart 相對於阻抗 Smith chart 旋轉 $180^\circ$ 。

對於無損傳輸線，沿傳輸線移動只會改變反射係數的相位，不改變其大小，因此可在同一個等駐波比圓上旋轉，求得輸入阻抗或輸入導納。

解題方法

逐一檢查四個敘述：

Smith chart 是否能求無損傳輸線的輸入阻抗。
已知導納是否能換算阻抗。
阻抗圖與導納圖上的短路、開路位置關係。
雙短截線匹配時，阻抗圖或導納圖何者較方便。

雙短截線通常是以並聯方式接入傳輸線，因此應使用導納表示法，因為並聯導納可以直接相加：

Y_{\text{total}}=Y_{\text{line}}+Y_{\text{stub}}

正規化後為

y_{\text{total}}=y_{\text{line}}+y_{\text{stub}}

短截線所提供的主要是電納中的虛部，也就是 susceptance。因此在導納 Smith chart 上，加入短截線的操作特別直接。

選項分析

(A) 正確

對於無損終端傳輸線，輸入阻抗為

Z_{\text{in}} = Z_0 \frac{Z_L+jZ_0\tan(\beta l)} {Z_0+jZ_L\tan(\beta l)}

正規化後為

z_{\text{in}} = \frac{z_L+j\tan(\beta l)} {1+jz_L\tan(\beta l)}

Smith chart 正是利用反射係數與阻抗之間的關係，將上述傳輸線阻抗轉換以圖形方式表示。

Question 14

For a terminated lossless transmission line, the magnitude of voltage or current standing wave is plotted in the figure. Which of the following is FALSE?

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(A) The terminating impedance is purely resistive.

(B) The terminating impedance is higher than the characteristic impedance of the lossless transmission line if the figure shows current standing wave.

(C) The voltage reflection coefficient is positive at the terminating load if the figure shows voltage standing wave.

(D) If the terminating impedance is changed to be the same with the characteristic impedance of the lossless transmission line, the standing wave curve will become a straight line if the figure shows current standing wave.

Accepted Answer

核心觀念 無耗損傳輸線上的電壓、電流駐波，其相鄰波峰與波谷間距為 $\lambda/4$。負載端若恰為波峰或波谷，表示反射係數為純實數，因此負載阻抗為純電阻。 電壓反射係數為 $$ \GammaV=\frac{ZL-Z0}{ZL+Z0} $$ 電流反射係數則為 $$ \GammaI=-\GammaV $$ 其中 $Z0$ 為特性阻抗，$ZL$ 為負載阻抗。 圖中顯示負載端為駐波最大值，向左移動 $\lambda/4$ 後為最小值。因此： - 若圖表示電壓駐波，負載端為電壓波峰，故 $\GammaV0$。 - 若圖表示電流駐波，負載端為電流波峰，故 $\GammaI0$，因而 $\GammaV<0$。 解題方法 由圖可見，負載端是駐波最大值，且每隔 $\lambda/2$ 重複一次。負載端位於波峰或波谷，代表反射波與入射波在負載端同相或反相，故反射係數為純實數，負載阻抗為純電阻。 若圖為電流駐波，負載端電流最大，表示 $$ \GammaI0 $$ 由 $\GammaI=-\GammaV$ 得 $$ \GammaV<0 $$ 對於純電阻負載，$\GammaV<0$ 代表 $$ ZL<Z0 $$ 因此電流駐波在負載端為最大值時，負載阻抗應低於特性阻抗，而不是高於特性阻抗。 選項分析 (A) 正確。 負載端恰為駐波波峰，表示反射係數沒有相位差，即反射係數為純實數。由

108 年 國立中央大學電機工程學系碩士班丁：電波組《電磁學》

第 1-(1) 題15 分

第 1-(2) 題10 分

核心觀念

解題方法

第 2 題10 分

第 3 題15 分

第 4-(1) 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) parallel-plate transmission line

(B) two-wire transmission line

(C) coaxial transmission line

第 4-(2) 題5 分

第 4-(3) 題5 分

第 4-(4) 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 4-(5) 題5 分

第 4-(6) 題5 分

核心觀念

1. 無耗傳輸線

2. 無失真傳輸線

解題方法

選項分析

(A) 正確

(B) 錯誤

第 4-(7) 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 4-(8) 題5 分

核心觀念

解題方法

一、固定電阻 rrr 的軌跡

二、固定電抗 xxx 的軌跡

第 4-(9) 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) 正確

第 4-(10) 題5 分

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108 年國立中央大學電機工程學系碩士班丁：電波組《電磁學》

一、固定電阻 $r$ 的軌跡

二、固定電抗 $x$ 的軌跡