114 年 國立嘉義大學電機工程學系碩士班《工程數學》

核心觀念

1. 子空間的生成基底（Basis of a Subspace）：
   若子空間 $W$ 中的向量具有特定形式，可將自由變數分離以求出其生成基底與維度。
2. 正交補空間與正交投影（Orthogonal Complement and Projection）：
   在歐幾里得空間 $\mathbb{R}^n$ 中，任意向量 $x$ 可唯一分解為：
   $x = \hat{x} + z$
   其中 $\hat{x} = \text{proj}_W(x) \in W$ 為 $x$ 在 $W$ 上的正交投影，而 $z = \text{proj}_{W^\perp}(x) \in W^\perp$ 垂直於 $W$。
3. 點到子空間的距離（Distance to a Subspace）：
   點（向量）$x$ 到子空間 $W$ 的最短距離定義為：
   $\text{dist}(x, W) = \|x - \hat{x}\| = \|z\| = \|\text{proj}_{W^\perp}(x)\|$
   當 $\dim(W^\perp) = 1$（即 $W$ 為超平面）時，投影至 $W^\perp$ 的計算通常比投影至 $W$ 更為精簡。

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解題方法

步驟一：求出子空間 $W$ 的基底與法向量

子空間 $W$ 中的任意向量形式為 $(a, -2a, b)$，將自由變數 $a, b$ 提出：
$(a, -2a, b) = a(1, -2, 0) + b(0, 0, 1), \quad \forall a, b \in \mathbb{R}$
因此，$W = \text{span}\{v_1, v_2\}$，其中：
$v_1 = (1, -2, 0), \quad v_2 = (0, 0, 1)$
此兩向量線性獨立，故 $\dim(W) = 2$。

求 $W$ 的法向量 $n \in W^\perp$（即與 $v_1, v_2$ 皆正交之非零向量），可使用外積（Cross Product）：
$n = v_1 \times v_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (-2, -1, 0)$
取與其同方向之簡化法向量 $n = (2, 1, 0)$，則 $W^\perp = \text{span}\{n\}$。

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步驟二：計算 $x$ 在正交補空間 $W^\perp$ 上的正交投影

已知 $x = (2, 4, -1)$，且 $W^\perp$ 是一維子空間，由正交投影公式：
$z = \text{proj}_{W^\perp}(x) = \frac{x \cdot n}{\|n\|^2} n$

計算內積與範數平方：
$x \cdot n = (2)(2) + (4)(1) + (-1)(0) = 4 + 4 + 0 = 8$

題幹記號說明

第二式中的 $-3x_1$ 應為轉錄錯誤，原題應為

$$2x_1-3x_2+2x_3-x_4=4.$$

理由是第三式恰好等於前兩式相加：

$$(1)+(2):\quad 3x_1-5x_2+5x_3=5.$$

以下依此正確形式詳解。

核心觀念

將方程組寫成

$$A\mathbf{x}=\mathbf{b},$$

其中

$$A= \begin{bmatrix} 1&-2&3&1\\ 2&-3&2&-1\\ 3&-5&5&0\\ 1&-1&0&-2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x}= \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}, \quad \mathbf{b}= \begin{bmatrix}1\\4\\5\\3\end{bmatrix}.$$

核空間定義為

$$\ker(A)=\{\mathbf{u}\in\mathbb{R}^4:A\mathbf{u}=\mathbf{0}\}.$$

若 $\mathbf{x}_p$ 是 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的一組特解，則所有解為

$$\mathbf{x}=\mathbf{x}_p+\mathbf{u}, \qquad \mathbf{u}\in\ker(A).$$

此外，秩－零度定理給出

$$\dim(\ker A)+\operatorname{rank}(A)=4.$$

解題方法與計算

考慮增廣矩陣：

$$\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1&-2&3&1&1\\ 2&-3&2&-1&4\\ 3&-5&5&0&5\\ 1&-1&0&-2&3 \end{array} \right].$$

進行列運算：

$$R_2\leftarrow R_2-2R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-3R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4-R_1,$$

再消去重複列，可得最簡列梯形形：

$$\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1&0&0&-5&5\\ 0&1&0&-3&2\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{array} \right].$$

因此

$$x_1-5x_4=5,\qquad x_2-3x_4=2,\qquad x_3=0.$$

令自由變數 $x_4=t$，則

$$x_1=5+5t,\qquad x_2=2+3t,\qquad x_3=0,\qquad x_4=t.$$

所以解集合為

$$\mathbf{x} = \begin{bmatrix}5\\2\\0\\0\end{bmatrix} +t \begin{bmatrix}5\\3\\0\\1\end{bmatrix}, \qquad t\in\mathbb{R}.$$

核心觀念

一階線性常微分方程的一般形式為

$$a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x),$$

其中 $a_1(x),a_0(x),g(x)$ 只依賴 $x$，且 $y$ 與 $y'$ 皆為一次方。題目中的

$$y'\sin x+(\cos x)y=1$$

符合此形式。特別要注意，係數含有 $\sin x$、$\cos x$ 並不會破壞線性；線性是針對未知函數 $y$ 而言。

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(a) 線性判定與選項分析

• 「ODE F 是線性常微分方程」：正確。可辨認出

  $$a_1(x)=\sin x,\qquad a_0(x)=\cos x,\qquad g(x)=1.$$

• 「ODE F 不是線性常微分方程」：錯誤。方程中沒有 $y^2$、$yy'$、$\sin y$ 等非線性項；$\sin x$ 與 $\cos x$ 只是 $x$ 的係數。

因此，ODE F 是一階線性常微分方程。

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(b) 解題方法

題目左側為

$$y'\sin x+(\cos x)y.$$

根據乘積微分法則

$$(uv)'=u'v+uv',$$

令 $u=y$、$v=\sin x$，可得

$$\frac{d}{dx}(y\sin x) =y'\sin x+y\cos x.$$

因此原方程可直接改寫為

$$\frac{d}{dx}(y\sin x)=1.$$

兩側對 $x$ 積分：

$$y\sin x=x+C,$$

其中 $C$ 為任意常數。當 $\sin x\neq 0$ 時，解為

$$\boxed{y(x)=\frac{x+C}{\sin x}}.$$

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用積分因子觀點理解

若先除以 $\sin x$，在 $\sin x\neq 0$ 的區間上有

$$y'+\cot x\,y=\csc x.$$

其積分因子為

$$\mu(x)=e^{\int\cot x\,dx} =e^{\ln|\sin x|}.$$

核心觀念

本題為二階常係數線性非齊次微分方程，左側算子可寫成

$$y''-2y'+y=(D-1)^2y,$$

其中 $D=\dfrac{d}{dx}$。

齊次方程的特徵方程為

$$r^2-2r+1=(r-1)^2=0,$$

具有二重根 $r=1$，因此齊次解為

$$y_h=(C_1+C_2x)e^x.$$

由於三小題的右側皆含有 $e^x$，可令

$$y=e^xu(x).$$

此代換可大幅簡化計算：

$$y'=e^x(u'+u),$$ $$y''=e^x(u''+2u'+u).$$

代回左側：

$$y''-2y'+y =e^x(u''+2u'+u)-2e^x(u'+u)+e^xu =e^xu''.$$

因此原方程統一化為

$$e^xu''=g(x),$$

也就是

$$u''=e^{-x}g(x).$$

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解題方法與計算

a. 解 ODE $y''-2y'+y=0$

特徵方程為

$$r^2-2r+1=0,$$

整理得

$$(r-1)^2=0.$$

因為 $r=1$ 是二重根，二階常係數齊次方程的通解為

$$y=(C_1+C_2x)e^{x}.$$

因此

$$\boxed{y=(C_1+C_2x)e^x}.$$

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b. 解 ODE $y''-2y'+y=6xe^x$

令

$$y=e^xu(x).$$

由前述結果，

$$y''-2y'+y=e^xu''.$$

代入原方程：

$$e^xu''=6xe^x.$$

約去 $e^x$：

$$u''=6x.$$

積分兩次：

$$u'=3x^2+C_2,$$ $$u=x^3+C_2x+C_1.$$

因此

$$y=e^x(x^3+C_2x+C_1).$$

將任意常數重新記為 $C_1,C_2$，得到

$$\boxed{y=(C_1+C_2x+x^3)e^x}.$$

其中：

• 齊次解為 $(C_1+C_2x)e^x$；
• 特解可取為 $$y_p=x^3e^x.$$

驗算特解

取 $y_p=x^3e^x$，則

$$y_p'=e^x(x^3+3x^2),$$ $$y_p''=e^x(x^3+6x^2+6x).$$

因此