109 年 國立政治大學資訊科學系碩士班《計算機數學》

核心觀念

本題考有限自動機所接受的語言。對任一輸入字串，從起始狀態 $s_0$ 出發，依序按照每個位元的轉移箭頭前進；若讀完字串後停在終態 $s_0,s_1,s_5$，則該字串被接受。

由圖可整理出主要轉移：

• $s_0$ 讀 $0$ 留在 $s_0$，讀 $1$ 到 $s_1$
• $s_1$ 讀 $0$ 到 $s_3$，讀 $1$ 到 $s_2$
• $s_2$ 讀 $0$ 到非終態 $s_4$，讀 $1$ 到 $s_3$
• $s_3$ 讀 $0$ 到終態 $s_5$，讀 $1$ 到非終態 $s_4$
• $s_4$ 讀 $0,1$ 都留在 $s_4$
• $s_5$ 讀 $0$ 到 $s_4$，讀 $1$ 留在 $s_5$

其中 $s_4$ 是陷阱狀態，一旦進入便不可能再被接受。

解題方法

先依照輸入字串的結構追蹤可接受路徑。

1. 停留在 $s_0$

由 $s_0$ 讀取任意個 $0$ 都留在 $s_0$，因此：

$$\{0\}^*$$

包含空字串 $\varepsilon$。

2. 停留在 $s_1$

先讀取任意個 $0$ 到達 $s_0$，再讀一個 $1$ 到達終態 $s_1$：

$$\{0\}^*\{1\}$$

3. 到達 $s_5$

到達 $s_5$ 的方式有兩種：

此題考查切比雪夫不等式 (Chebyshev's inequality) 的應用，用於估計隨機變數偏離其期望值的機率上界。

題目給定一個有偏差的硬幣，投擲 n 次。

• 伯努利試驗的成功機率 (這裡以出現正面為成功)：$p = P(\text{Heads}) = 0.6$。
• 伯努利試驗的失敗機率 (這裡以出現反面為失敗)：$q = P(\text{Tails}) = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$。
• 總共投擲 n 次，這是一個二項分佈 $B(n, p)$。

令 X 為 n 次投擲中出現反面的次數。
則 X 服從二項分佈 $B(n, q)$，其中 $q = 0.4$。

對於二項分佈 $B(n, q)$：

• 期望值 (Mean)：$E[X] = nq = n(0.4) = 0.4n$。
• 變異數 (Variance)：$Var(X) = nq(1-q) = n(0.4)(1-0.4) = n(0.4)(0.6) = 0.24n$。
• 標準差 (Standard Deviation)：$\sigma_X = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.24n}$。

題目要求找出「出現反面的次數」偏離「平均值」超過 $\sqrt{n}$ 的機率的上界。
也就是說，我們要求 $P(|X - E[X]| > \sqrt{n})$ 的上界。

切比雪夫不等式指出，對於任意隨機變數 Y，其期望值 $E[Y]$ 和變異數 $Var(Y)$，對於任意 $k > 0$，有：
$P(|Y - E[Y]| \ge k) \le \frac{Var(Y)}{k^2}$

在這個問題中：

• $Y = X$ (出現反面的次數)
• $E[Y] = E[X] = 0.4n$
• $Var(Y) = Var(X) = 0.24n$
• $k = \sqrt{n}$

此題考查機率估計與貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用，常見於垃圾郵件過濾的場景。

前提：

• 在一段時間內，觀察到 s 封垃圾郵件 (Spam, S)。
• 在同一時間內，觀察到 h 封非垃圾郵件 (Not Spam, $\bar{S}$)。
• 總郵件數為 $N = s + h$。

(a) 估計 $p(S)$ 和 $p(\bar{S})$

我們使用觀察到的頻率作為機率的估計。

• $p(S)$：一個隨機進入的訊息是垃圾郵件的機率。
  根據觀察到的資料，垃圾郵件的比例為 $\frac{s}{s+h}$。
  所以，估計值為 $p(S) = \frac{s}{s+h}$。

• $p(\bar{S})$：一個隨機進入的訊息不是垃圾郵件的機率。
  根據觀察到的資料，非垃圾郵件的比例為 $\frac{h}{s+h}$。
  所以，估計值為 $p(\bar{S}) = \frac{h}{s+h}$。

注意，$p(S) + p(\bar{S}) = \frac{s}{s+h} + \frac{h}{s+h} = \frac{s+h}{s+h} = 1$，符合機率的性質。

答案 (a)：
$p(S) = \frac{s}{s+h}$
$p(\bar{S}) = \frac{h}{s+h}$

(b) 使用貝氏定理估計 $p(S|W)$

題目定義：

• W：事件「一個訊息包含單字 w」。
• $p(W|S)$：在一個訊息是垃圾郵件的條件下，該訊息包含單字 w 的機率 (題目中給為 $p(w)$)。
• $p(W|\bar{S})$：在一個訊息不是垃圾郵件的條件下，該訊息包含單字 w 的機率 (題目中給為 $q(w)$)。

我們要求估計 $p(S|W)$，即一個包含單字 w 的訊息是垃圾郵件的機率。

根據貝氏定理：
$p(S|W) = \frac{p(W|S) p(S)}{p(W)}$

此題考查等價關係 (Equivalence Relation) 的定義及其在圖論中的應用。

核心觀念：
等價關係是集合上的一種二元關係，它具有遞移性、對稱性與反身性。

(a) 等價關係的三個性質

一個集合 A 上的二元關係 R 被稱為等價關係，如果它滿足以下三個性質：

1. 反身性 (Reflexivity)： 對於集合 A 中的每一個元素 a，a 必須與自身相關。
   形式化表示：$\forall a \in A, (a, a) \in R$。

2. 對稱性 (Symmetry)： 如果元素 a 與元素 b 相關，則元素 b 也必須與元素 a 相關。
   形式化表示：$\forall a, b \in A, \text{if } (a, b) \in R, \text{ then } (b, a) \in R$。

3. 遞移性 (Transitivity)： 如果元素 a 與元素 b 相關，且元素 b 與元素 c 相關，則元素 a 也必須與元素 c 相關。
   形式化表示：$\forall a, b, c \in A, \text{if } (a, b) \in R \text{ and } (b, c) \in R, \text{ then } (a, c) \in R$。

答案 (a)：
等價關係的三個性質是：反身性 (Reflexivity)、對稱性 (Symmetry) 和遞移性 (Transitivity)。

(b) 證明圖的同構 (Isomorphism) 是一種等價關係

我們需要證明「圖的同構」關係滿足反身性、對稱性和遞移性。
這裡討論的是「簡單圖」(simple graphs)，即無重邊、無自環的圖。

設 G1 和 G2 是兩個簡單圖。我們定義關係 R 為「G1 R G2」，表示圖 G1 與圖 G2 同構。
同構的定義是：存在一個頂點的雙射 (bijection) $f: V(G1) \to V(G2)$，使得對於 G1 中的任意兩個頂點 u, v，邊 $(u, v)$ 存在於 G1 當且僅當邊 $(f(u), f(v))$ 存在於 G2。

我們需要證明這個關係 R 滿足等價關係的三個性質：

1. 反身性 (Reflexivity)：
   證明：對於任意簡單圖 G1，它是否與自身同構？
   我們可以選擇恆等映射 $f: V(G1) \to V(G1)$，即 $f(v) = v$ 對於所有 $v \in V(G1)$。
   恆等映射顯然是一個雙射。
   又因為對於 G1 中的任意兩個頂點 u, v，邊 $(u, v)$ 存在於 G1 當且僅當邊 $(f(u), f(v)) = (u, v)$ 存在於 G1。
   所以，恆等映射滿足同構的條件。
   因此，G1 與 G1 同構。
   關係 R 滿足反身性。

2. 對稱性 (Symmetry)：
   證明：如果 G1 與 G2 同構，那麼 G2 是否與 G1 同構？
   假設 G1 與 G2 同構。這意味著存在一個雙射 $f: V(G1) \to V(G2)$，使得 $(u, v) \in E(G1) \iff (f(u), f(v)) \in E(G2)$。

此題考查線性齊次遞迴關係 (Linear Homogeneous Recurrence Relation) 的求解，包含找特徵根與求遞迴關係的通解。

核心觀念：
對於線性齊次遞迴關係 $a_n = c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2} + \dots + c_k a_{n-k}$，其解的形式由特徵方程式的根決定。

(a) 求特徵根 (Characteristic Roots)

給定的遞迴關係是 $a_n = 9a_{n-1} - 26a_{n-2} + 24a_{n-3}$。
其對應的特徵方程式 (Characteristic Equation) 為：
$r^k - c_1 r^{k-1} - c_2 r^{k-2} - \dots - c_k = 0$
在這個例子中，$k=3$，且 $c_1=9, c_2=-26, c_3=24$。
所以特徵方程式是：
$r^3 - 9r^2 - (-26)r - 24 = 0$
$r^3 - 9r^2 + 26r - 24 = 0$

我們需要找到這個三次方程式的根。
可以嘗試代入整數因子，例如 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$。

嘗試 $r=1$: $1^3 - 9(1)^2 + 26(1) - 24 = 1 - 9 + 26 - 24 = -6 \ne 0$
嘗試 $r=2$: $2^3 - 9(2)^2 + 26(2) - 24 = 8 - 9(4) + 52 - 24 = 8 - 36 + 52 - 24 = 60 - 60 = 0$
所以，$r=2$ 是一個根。這意味著 $(r-2)$ 是方程式的一個因子。

我們可以進行多項式長除法或綜合除法，將 $(r^3 - 9r^2 + 26r - 24)$ 除以 $(r-2)$。
使用綜合除法：

2 | 1  -9   26  -24
  |    2  -14   24
  ------------------
    1  -7   12    0

得到的商是 $r^2 - 7r + 12$。
所以，特徵方程式可以寫成：$(r-2)(r^2 - 7r + 12) = 0$。

現在解二次方程式 $r^2 - 7r + 12 = 0$。
可以因式分解為 $(r-3)(r-4) = 0$。
所以，另外兩個根是 $r=3$ 和 $r=4$。

特徵根是 $r_1 = 2$, $r_2 = 3$, $r_3 = 4$。
這些根是互異的實數。

答案 (a)：
特徵根是 2, 3, 4。

(b) 求遞迴關係的通解

由於特徵根是互異的實數 $r_1, r_2, r_3$，遞迴關係的通解 (General Solution) 的形式為：
$a_n = c_1 r_1^n + c_2 r_2^n + c_3 r_3^n$
其中 $c_1, c_2, c_3$ 是常數，由初始條件決定。

代入特徵根 $r_1=2, r_2=3, r_3=4$：
$a_n = c_1 (2^n) + c_2 (3^n) + c_3 (4^n)$

現在我們使用給定的初始條件來求解 $c_1, c_2, c_3$：
$a_0 = 4$
$a_1 = 15$
$a_2 = 61$

將 $n=0, 1, 2$ 代入通解公式：

當 $n=0$:
$a_0 = c_1 (2^0) + c_2 (3^0) + c_3 (4^0)$
$4 = c_1 (1) + c_2 (1) + c_3 (1)$
$c_1 + c_2 + c_3 = 4$ (方程式 1)

此題考查數論中的模運算與擴展歐幾里得演算法。

(a) 求 $28^{200} \pmod{19}$ 的最小正整數值

我們需要計算 $28^{200} \pmod{19}$。
首先，簡化底數 $28 \pmod{19}$：
$28 = 1 \times 19 + 9$
所以，$28 \equiv 9 \pmod{19}$。
問題變為計算 $9^{200} \pmod{19}$。

我們可以使用費馬小定理 (Fermat's Little Theorem)。
費馬小定理指出，如果 p 是質數，且 a 不是 p 的倍數，則 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$。
在這裡，$p=19$ (質數)，$a=9$ (不是 19 的倍數)。
所以，$9^{19-1} \equiv 9^{18} \equiv 1 \pmod{19}$。

現在我們需要將指數 200 除以 18：
$200 \div 18$
$200 = 18 \times q + r$
$200 = 18 \times 11 + 2$
所以，$200 \equiv 2 \pmod{18}$。

因此，$9^{200} = 9^{18 \times 11 + 2} = (9^{18})^{11} \cdot 9^2$。
模 19 計算：
$9^{200} \equiv (9^{18})^{11} \cdot 9^2 \pmod{19}$
$9^{200} \equiv (1)^{11} \cdot 9^2 \pmod{19}$
$9^{200} \equiv 1 \cdot 81 \pmod{19}$
$9^{200} \equiv 81 \pmod{19}$

現在計算 $81 \pmod{19}$：
$81 = 4 \times 19 + 5$
$81 = 76 + 5$
所以，$81 \equiv 5 \pmod{19}$。

因此，$28^{200} \equiv 5 \pmod{19}$。
最小正整數值是 5。

答案 (a)：
5

(b) 使用擴展歐幾里得演算法求 $13x \equiv 1 \pmod{2436}$ 的最小正整數解 x

我們需要解這個線性同餘方程。這等價於找到整數 x 和 k，使得 $13x - 1 = 2436k$，或寫成 $13x - 2436k = 1$。
我們可以使用擴展歐幾里得演算法 (Extended Euclidean Algorithm) 來找到 $13$ 和 $2436$ 的最大公因數 (GCD)，並同時找到滿足 $13x + 2436y = \text{gcd}(13, 2436)$ 的整數 x 和 y。

首先，計算 $\text{gcd}(13, 2436)$：
$2436 = 13 \times q + r$
$2436 \div 13$
$2436 = 13 \times 187 + 5$
所以，$2436 = 13 \times 187 + 5$。

此題考查線性規劃 (Linear Programming) 的問題，目標是最大化一個線性函數，同時滿足一組線性不等式約束。

核心觀念：
線性規劃問題的最適解（若存在）必然出現在可行域 (feasible region) 的頂點 (vertices) 上。因此，我們需要找出可行域，並計算其所有頂點的目標函數值，然後選出最大值。

步驟：

1. 繪製可行域：
   我們需要將每個不等式轉換為直線，並確定其在約束條件下的區域。
   約束條件：
   (1) $2y - x \le 5 \implies x - 2y \ge -5$
   直線：$x - 2y = -5$
   測試點 (0,0): $0 - 0 \ge -5$ (True)。所以區域包含 (0,0)。
   或寫成 $y \ge \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$。區域在直線 $y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$ 的上方。

   (2) $y + 4x \le 25$
   直線：$y + 4x = 25 \implies y = -4x + 25$
   測試點 (0,0): $0 + 0 \le 25$ (True)。所以區域包含 (0,0)。
   區域在直線 $y = -4x + 25$ 的下方。

   (3) $y + x \ge 7 \implies y \ge -x + 7$
   直線：$y + x = 7 \implies y = -x + 7$
   測試點 (0,0): $0 + 0 \ge 7$ (False)。所以區域不包含 (0,0)。
   區域在直線 $y = -x + 7$ 的上方。

   (4) $x \ge 0$ (y 軸右側)
   (5) $y \ge 0$ (x 軸上方)

   我們需要找到這些區域的交集。

2. 找出可行域的頂點 (Corner Points)：
   頂點是直線的交點，且位於可行域內。我們需要找出以下直線的交點，並檢查是否滿足所有約束：

   • $L_1: x - 2y = -5$
   • $L_2: y + 4x = 25$
   • $L_3: y + x = 7$
   • $x=0$ (y-軸)
   • $y=0$ (x-軸)

   可能的交點：
   a) $L_1$ 和 $L_3$ 的交點：
   $x - 2y = -5$
   $x + y = 7 \implies x = 7 - y$
   代入第一個式子：$(7-y) - 2y = -5 \implies 7 - 3y = -5 \implies 3y = 12 \implies y = 4$。
   $x = 7 - 4 = 3$。
   點：(3, 4)。
   檢查約束：
   (1) $3 - 2(4) = 3 - 8 = -5 \le 5$ (True)
   (2) $4 + 4(3) = 4 + 12 = 16 \le 25$ (True)
   (3) $4 + 3 = 7 \ge 7$ (True)
   (4) $x=3 \ge 0$ (True)
   (5) $y=4 \ge 0$ (True)
   所以，(3, 4) 是可行域的一個頂點。

   b) $L_2$ 和 $L_3$ 的交點：
   $y + 4x = 25$
   $y + x = 7 \implies y = 7 - x$
   代入第一個式子：$(7-x) + 4x = 25 \implies 7 + 3x = 25 \implies 3x = 18 \implies x = 6$。
   $y = 7 - 6 = 1$。
   點：(6, 1)。
   檢查約束：
   (1) $6 - 2(1) = 6 - 2 = 4 \le 5$ (True)
   (2) $1 + 4(6) = 1 + 24 = 25 \le 25$ (True)
   (3) $1 + 6 = 7 \ge 7$ (True)
   (4) $x=6 \ge 0$ (True)

核心觀念

穩態向量（steady state vector）是經矩陣作用後保持不變的向量。若以欄向量表示，需滿足

$$M\mathbf{x}=\mathbf{x},$$

且機率向量通常還需滿足

$$x_1+x_2+x_3=1,\qquad x_i\ge 0.$$

解題方法

依原卷圖片辨識，矩陣為

$$M= \begin{pmatrix} 0 & 0.5 & 0\\ 0.5 & 0 & 1\\ 0.5 & 0.5 & 0 \end{pmatrix}.$$

令穩態向量為

$$\mathbf{x}= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}.$$

由 $M\mathbf{x}=\mathbf{x}$ 得

$$\begin{cases} 0.5x_2=x_1,\\ 0.5x_1+x_3=x_2,\\ 0.5x_1+0.5x_2=x_3. \end{cases}$$

由第一式，

$$x_1=0.5x_2.$$

代入第三式：

$$x_3=0.5(0.5x_2)+0.5x_2 =0.75x_2.$$

此題考查二次型 (Quadratic Form) 的矩陣表示、特徵值、特徵向量與對角化，以及主軸定理 (Principal Axes Theorem) 的應用。

核心觀念：
一個二次型可以表示為 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ 的形式，其中 A 是對稱矩陣。通過矩陣的特徵值和特徵向量，可以將二次型轉換為一個不含交叉項 (cross-product terms) 的新坐標系下的形式。

題目中的二次型：
$x_1^2 + x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 = 2$

(a) 將二次型表示為矩陣形式 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 2$

二次型 $Q(\mathbf{x}) = c_1 x_1^2 + c_2 x_2^2 + \dots + c_n x_n^2 + \sum_{i<j} d_{ij} x_i x_j$
可以表示為 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 A 是對稱矩陣。
矩陣 A 的對角元素 $A_{ii}$ 等於二次型中 $x_i^2$ 項的係數。
矩陣 A 的非對角元素 $A_{ij}$ ($i \ne j$) 等於二次型中 $x_i x_j$ 項係數的一半。

在我們的例子中，二次型是 $x_1^2 + x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2$。
這裡有三個變數 $x_1, x_2, x_3$。

• $x_1^2$ 的係數是 1。所以 $A_{11} = 1$。
• $x_2^2$ 的係數是 1。所以 $A_{22} = 1$。
• $x_3^2$ 的係數是 2。所以 $A_{33} = 2$。
• $x_1x_2$ 的係數是 2。所以 $A_{12} = A_{21} = 2/2 = 1$。
• $x_1x_3$ 的係數是 0。所以 $A_{13} = A_{31} = 0/2 = 0$。
• $x_2x_3$ 的係數是 0。所以 $A_{23} = A_{32} = 0/2 = 0$。

所以，對稱矩陣 A 是：

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

向量 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$。
則二次型的矩陣表示為 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 2$。

答案 (a)：

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

(b) 求矩陣 A 的特徵值 (Eigenvalues)

特徵值 $\lambda$ 滿足 $\det(A - \lambda I) = 0$。

$$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix}$$

計算行列式：
$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda) \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & 1-\lambda \end{pmatrix} - 0 + 0$
$= (2-\lambda) [(1-\lambda)(1-\lambda) - 1 \cdot 1]$
$= (2-\lambda) [(1-\lambda)^2 - 1]$
$= (2-\lambda) [1 - 2\lambda + \lambda^2 - 1]$
$= (2-\lambda) [\lambda^2 - 2\lambda]$
$= (2-\lambda) [\lambda(\lambda - 2)]$
$= \lambda (\lambda - 2)^2$

令行列式等於 0：$\lambda (\lambda - 2)^2 = 0$。
所以，特徵值是 $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = 2$。
注意，特徵值 2 是重根 (multiplicity 2)。

答案 (b)：
特徵值是 0, 2, 2。

(c) 求正交矩陣 C，它對角化 A

我們需要找到對應於每個特徵值的特徵向量，然後將它們正規化並組成一個正交矩陣。

情況 1：$\lambda_1 = 0$
解 $(A - 0I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$，即 $A\mathbf{v} = \mathbf{0}$。

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

從第一行：$v_1 + v_2 = 0 \implies v_2 = -v_1$。
從第三行：$2v_3 = 0 \implies v_3 = 0$。
所以，特徵向量的形式是 $\begin{pmatrix} v_1 \\ -v_1 \\ 0 \end{pmatrix}$。
取 $v_1 = 1$，得到一個特徵向量 $\mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$。
正規化：$|\mathbf{u}_1| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$。
正規化後的特徵向量 $\mathbf{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$。

情況 2：$\lambda_2 = 2$ (重根)
解 $(A - 2I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$。

$$A - 2I = \begin{pmatrix} 1-2 & 1 & 0 \\ 1 & 1-2 & 0 \\ 0 & 0 & 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

解方程組：
$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
從第一行：$-v_1 + v_2 = 0 \implies v_1 = v_2$。
第三行 $0=0$ 沒有提供資訊。
所以，特徵向量的形式是 $\begin{pmatrix} v_1 \\ v_1 \\ v_3 \end{pmatrix}$。

我們需要找到兩個線性獨立的特徵向量，因為特徵值 2 的代數重數是 2。
我們可以選擇 $v_3$ 的任意值。

選擇一個特徵向量，令 $v_1 = 1, v_2 = 1$。我們可以選擇 $v_3 = 0$。
得到一個特徵向量 $\mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。
正規化：$|\mathbf{u}_2| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$。
正規化後的特徵向量 $\mathbf{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。

由於特徵值 2 是重根，我們需要找到另一個與 $\mathbf{v}_2$ 線性獨立且屬於特徵值 2 的特徵向量。
我們知道特徵向量的形式是 $\begin{pmatrix} v_1 \\ v_1 \\ v_3 \end{pmatrix}$。
我們已經找到一個例子是 $v_3=0$。
現在，我們需要找到另一個線性獨立的向量。
我們可以讓 $v_1=0, v_2=0$，然後 $v_3$ 可以是任意非零值，例如 $v_3=1$。
得到一個特徵向量 $\mathbf{u}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。