108 年國立宜蘭大學電子工程學系碩士班《工程數學》考古題與詳解

Question 1

1. ( ) Please identify linear of following differential Equation. (A) $y' + 2y = 4(x^2 + 1)^2$ (B) $y'^2 = -\frac{y}{x}$ (C) $y' + \frac{y^2}{x} = 0$ (D) $(y')^2 – xy' + y = 0$ (E) $y' + \log y = x - 2$

Accepted Answer

核心觀念 一階線性微分方程的標準形式為 $$ y' + P(x)y = Q(x), $$ 其中 $P(x)$ 與 $Q(x)$ 只能是自變數 $x$ 的函數。未知函數 $y$ 及其導數 $y'$ 必須只出現一次方、不可互相相乘，也不可出現在 $\log y$、$\sqrt{y}$ 等非線性函數中。 --- 解題方法 逐一檢查各選項是否能整理成 $$ y' + P(x)y=Q(x) $$ 的形式。 --- 選項分析 (A) $$ y' + 2y = 4(x^2+1)^2 $$ 可直接對照標準形式： $$ P(x)=2,\qquad Q(x)=4(x^2+1)^2. $$ 右側只含 $x$，而 $y$ 與 $y'$ 都只出現一次方，因此為一階線性微分方程。 --- (B) $$ (y')^2=-\frac{y}{x} $$

Question 2

2. ( ) The general solution $y' + y = 1$ is (A) $y = -1 + cx^3$ (B) $y = c(1 - x)$ (C) $y = e^{-x}(\cos x + \sin x)$ (D) $y = 1 - ce^{-x}$ (E) $y = x^2 - 2$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查一階線性微分方程 $$ y'+P(x)y=Q(x) $$ 的通解。其積分因子為 $$ \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}. $$ 本題中 $P(x)=1$、$Q(x)=1$，因此可用積分因子法求解。通解必須包含一個任意常數。 解題方法 原方程為 $$ y'+y=1. $$ 積分因子為 $$ \mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^x. $$ 方程兩邊同乘 $e^x$： $$ e^xy'+e^xy=e^x. $$ 左側正好是乘積微分： $$ \frac{d}{dx}(e^xy)=e^x. $$ 兩邊積分： $$ e^xy=e^x+C. $$ 除以 $e^x$，得到 $$ y=1+Ce^{-x}. $$ 由於 $C$ 是任意常數，也可令 $C=-c$，因此通解可寫成 $$ y=1-ce^{-x}. $$ 選項分析 - (A) $y=-1+cx^3$ $$ y'=3cx^2 $$ 代入原方程： $$ y'+y=3cx^2-1+cx^3, $$ 此式不會對所有 $x$ 恆等於 $1$，故錯誤。 - (B) $y=c(1-x)$ $$ y'=-c $$ 因此 $$ y'+y=-c+c(1-x)=-cx, $$

Question 3

3. ( ) If $L^{-1}\{F(s)\} = f(t)$, the inverse Laplace transform of the given function, $L^{-1} \left\{ \frac{4s+4}{s^2+4} \right\} =$ (A) $4e^{-4t}$ (B) $4e^{-4t} - 4$ (C) $4e^{-4t}(\cos 2t + \sin 2t)$ (D) $4\cos 2t + 2\sin 2t$ (E) $4\cosh 2t + 4\sinh 2t$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查基本反拉普拉斯轉換公式與線性性質： $$ \mathcal{L}\{\cos at\}=\frac{s}{s^2+a^2}, \qquad \mathcal{L}\{\sin at\}=\frac{a}{s^2+a^2}. $$ 此外，拉普拉斯轉換具有線性性質： $$ \mathcal{L}^{-1}\{aF(s)+bG(s)\} =a\,\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} +b\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}. $$ 解題方法 分母可寫成 $$ s^2+4=s^2+2^2, $$ 因此應與 $\cos 2t$、$\sin 2t$ 的拉普拉斯轉換公式配對。將分子拆開： $$ \frac{4s+4}{s^2+4} = \frac{4s}{s^2+2^2} + \frac{4}{s^2+2^2}. $$ 第一項直接對應為 $$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4s}{s^2+2^2}\right\} =4\cos 2t. $$ 第二項利用 $$ \mathcal{L}\{\sin 2t\} =\frac{2}{s^2+2^2}, $$ 可得 $$ \frac{4}{s^2+2^2} = 2\cdot\frac{2}{s^2+2^2}, $$ 所以 $$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4}{s^2+2^2}\right\} =2\sin 2t. $$ 因此 $$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4s+4}{s^2+4}\right\} = 4\cos 2t+2\sin 2t. $$ 選項分析 - (A) $4e^{-4t}$：錯誤。 $4e^{-4t}$ 的拉普拉斯轉換為 $$ \frac{4}{s+4}, $$ 分母應為一次式 $s+4$，與題目的 $s^2+4$ 不符。

Question 4

4. ( ) Please find the value of $\alpha$ such that the system $\begin{cases} x + 2y - 3z = 0 \ 3x + y + z = 5 \ y + \alpha z = -1 \end{cases}$ has no solution (A) $\alpha = -1$ (B) $\alpha = -2$ (C) $\alpha = 1$ (D) $\alpha = 2$ (E) $\alpha = 3$

Accepted Answer

將線性方程組寫成增廣矩陣 $[A \mid \mathbf{b}]$ 並進行高斯消去法列運算：

$[A \mid \mathbf{b}] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & \mid & 0 \\ 3 & 1 & 1 & \mid & 5 \\ 0 & 1 & \alpha & \mid & -1 \end{bmatrix}$

列運算 $R_2 \to R_2 - 3R_1$ ：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & \mid & 0 \\ 0 & -5 & 10 & \mid & 5 \\ 0 & 1 & \alpha & \mid & -1 \end{bmatrix}$

Question 5

5. ( ) Find the inner product $\vec{A} \cdot \vec{B}$ and the angle $	heta$ between two vector $\vec{A} = 4\hat{i} + 3\hat{k}$, $\vec{B} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ (A) $\vec{A} \cdot \vec{B} = 5\sqrt{3}, 	heta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{5\sqrt{3}} ight)$ (B) $\vec{A} \cdot \vec{B} = 1, 	heta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{5\sqrt{3}} ight)$ (C) $\vec{A} \cdot \vec{B} = -1, 	heta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{5\sqrt{3}} ight)$ (D) $\vec{A} \cdot \vec{B} = -1, 	heta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{5\sqrt{3}} ight)$ (E) $\vec{A} \cdot \vec{B} = 1, 	heta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{5\sqrt{3}} ight)$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查三維向量的內積與夾角公式： $$ \vec A\cdot\vec B =|\vec A|\,|\vec B|\cos	heta $$ 其中向量長度為： $$ |\vec A|=\sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2} $$ 單位向量 $\hat i,\hat j,\hat k$ 兩兩互相垂直，因此： $$ \hat i\cdot\hat j=\hat j\cdot\hat k=\hat k\cdot\hat i=0, \qquad \hat i\cdot\hat i=\hat j\cdot\hat j=\hat k\cdot\hat k=1 $$ 解題方法 將兩向量寫成座標形式： $$ \vec A=4\hat i+0\hat j+3\hat k=(4,0,3) $$ $$ \vec B=\hat i+\hat j-\hat k=(1,1,-1) $$ 先求內積： $$ \begin{aligned} \vec A\cdot\vec B &=(4)(1)+(0)(1)+(3)(-1)\ &=4-3\ &=1 \end{aligned} $$ 再求兩向量長度： $$ |\vec A| =\sqrt{4^2+0^2+3^2} =\sqrt{25}=5 $$

Question 6

6. ( ) Evaluation of determinants of $\begin{pmatrix} 2 & 0 & -4 & 9 \ 4 & 5 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 6 & -1 \ -3 & 8 & 9 & 1 \end{pmatrix}$ (A) 1134 (B) 1143 (C) 1153 (D) 1135 (E) 1164

Accepted Answer

核心觀念 求高階方陣之行列式值時，可先利用列運算（Row Operations）創造盡可能多的零元素，再配合降階展開（Laplace Expansion）以簡化計算。 --- 詳細推導過程 設矩陣為 $$ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -4 & 9 \ 4 & 5 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 6 & -1 \ -3 & 8 & 9 & 1 \end{pmatrix} $$ 步驟一：利用列運算化簡第 $4$ 行 將第 $3$ 列分別進行以下列運算： - $R1 \leftarrow R1 + 9R3 = (2, 18, 50, 0)$ - $R4 \leftarrow R4 + R3 = (-3, 10, 15, 0)$ 得行列式為： $$ \det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 18 & 50 & 0 \ 4 & 5 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 6 & -1 \ -3 & 10 & 15 & 0 \end{vmatrix} $$ 步驟二：沿第 $4$ 行實施降階展開 位置 $(3,4)$ 的餘因子符號為 $(-1)^{3+4} = -1$，故：

Question 7

7. ( ) Solve the following D.E. $y' = y + 2y^2$ in general solution by explicit solution form. (A) $2y = c(e^{2x} + 1)^2$ (B) $2y + y^2 = ce^x$ (C) $y + 2y^2 = ce^x$ (D) $y^2 - x + y = c$ (E) $y^2 + \ln y = cx$

Accepted Answer

本題採用變數分離法（Separation of Variables）求解一階微分方程。 解題步驟 1. 分離變數 將微分方程 $y' = y + 2y^2$ 改寫為： $$\frac{dy}{y(1+2y)} = dx$$ 2. 部分分式拆解 $$\left( \frac{1}{y} - \frac{2}{1+2y} \right) dy = dx$$ 3. 兩邊積分 $$\int \left( \frac{1}{y} - \frac{2}{1+2y} \right) dy = \int dx$$

Question 8

8. ( ) Which one of the following is a spanning set of $R^3$? (A) $\{(1,0,-1), (0,1,1)\}$ (B) $\{(4,0,-4), (0,1,1), (2,0,-2)\}$ (C) $\{(1,0,0), (0,1,1), (2,2,2)\}$ (D) $\{(1,3,-4), (0,1,1), (2,1,-1)\}$

Accepted Answer

核心觀念 集合 $S$ 能張成 $\mathbb{R}^3$，表示任意向量 $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ 都可表示為集合中向量的線性組合。 對於 $\mathbb{R}^3$ 而言： - 少於 $3$ 個向量不可能張成 $\mathbb{R}^3$。 - 若恰有 $3$ 個向量，則它們能張成 $\mathbb{R}^3$ 的充要條件是三向量線性獨立。 - 將三向量作為矩陣的欄向量，則 $$ \det A
eq 0 \iff 	ext{三向量線性獨立} \iff 	ext{三向量張成 }\mathbb{R}^3. $$ 解題方法 逐一檢查各選項中的向量數量與線性關係。對含有三個向量的選項，計算其所組成矩陣的行列式。 選項分析 (A) 集合中只有兩個向量： $$ \{(1,0,-1),(0,1,1)\}. $$ 兩個向量所張成的空間至多是二維平面，不可能涵蓋三維空間 $\mathbb{R}^3$，因此不能張成 $\mathbb{R}^3$。 所以 (A) 錯誤。 (B) 三個向量為 $$ (4,0,-4),\qquad (0,1,1),\qquad (2,0,-2). $$ 其中 $$ (4,0,-4)=2(2,0,-2), $$ 因此第一個向量與第三個向量線性相關，三個向量不可能線性獨立。 它們實際上至多只能張成二維空間，因此不能張成 $\mathbb{R}^3$。 所以 (B) 錯誤。 (C) 三個向量為 $$ (1,0,0),\qquad (0,1,1),\qquad (2,2,2). $$

108 年國立宜蘭大學電子工程學系碩士班《工程數學》

第 1 題

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

核心觀念

詳細推導過程

第 7 題

解題步驟

第 8 題

第 II-1 題

第 II-2 題

第 III-1 題

第 III-2 題

第 III-3 題10 分

第 III-4 題

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