108 年 國立宜蘭大學電子工程學系碩士班《電子學》

核心觀念

本題考查**單時間常數網路（Single Time Constant Network, STC Network）與高通濾波器（High-Pass Filter, HPF）**的頻率響應與相位響應分析。

1. 轉移函數與頻率響應：
   將轉移函數 $T(s)$ 中的拉氏變數（Laplace variable） $s$ 替換為虛數角頻率 $j\omega$，即可得到頻率響應函數 $T(j\omega)$：
   $T(j\omega) = \frac{j\omega}{j\omega + \omega_0}$
   其中 $\omega_0 = 100\text{ rad/s}$ 為此 STC 高通網路的轉折角頻率（Corner Frequency 或 3dB 頻率）。

2. 複數的相位角（Phase Angle）：
   對於複數形式的轉移函數 $T(j\omega) = \frac{N(j\omega)}{D(j\omega)}$，其相位角可表示為分子相位角減去分母相位角：
   $\angle T(j\omega) = \angle N(j\omega) - \angle D(j\omega)$

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解題方法

1. 求出頻率響應函數 $T(j\omega)$：
   已知轉移函數為：
   $T(s) = \frac{s}{s + 100}$
   代入 $s = j\omega$，得：
   $T(j\omega) = \frac{j\omega}{j\omega + 100}$

2. 推導通用相位角公式 $\angle T(j\omega)$：

   • 分子為純虛數 $j\omega$，其相位角為 $+90^\circ$（即 $\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{0}\right) = 90^\circ$）。
   • 分母為複數 $100 + j\omega$，實部為 $100$，虛部為 $\omega$，其相位角為 $\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{100}\right)$。

   因此，總相位角函數為：
   $\angle T(j\omega) = 90^\circ - \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{100}\right)$

3. 代入特定角頻率 $\omega = 100\text{ rad/sec}$：
   將 $\omega = 100$ 代入相位角公式中：
   $\angle T(j100) = 90^\circ - \tan^{-1}\left(\frac{100}{100}\right)$

核心觀念

本題旨在考驗考生對**理想運算放大器（Ideal Operational Amplifier, Ideal Op Amp）**基本特性的熟悉程度。理想運算放大器是一個理想化的電路元件模型，其具備以下五大核心特性：

1. 開迴路電壓增益（Open-loop Voltage Gain, $A_v$）：$A_v \to \infty$
2. 輸入阻抗／電阻（Input Resistance, $R_{in}$）：$R_{in} \to \infty$
3. 輸出阻抗／電阻（Output Resistance, $R_{out}$）：$R_{out} = 0$
4. 頻寬（Bandwidth, $BW$）：$BW \to \infty$
5. 共模拒斥比（Common-Mode Rejection Ratio, $CMRR$）：$CMRR \to \infty$

此外，由於理想運算放大器的輸入電阻 $R_{in} = \infty$，導致其兩個輸入端（反相輸入端與非反相輸入端）流入放大器內部的輸入電流均為零（$I_{in} = 0$）。

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解題方法

對照理想運算放大器的定義與物理特性，將題目給定的四個選項一一進行比對，尋找何者不符合理想運算放大器的特性描述。

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選項分析

• (A) open loop gain: $\infty$ （錯誤選項／說明為正確特性）
  理想 Op Amp 的開迴路增益 $A_v = \infty$。這意味著即使輸入極小的差模電壓信號，也能產生無限大的輸出信號（在未加負回授時輸出會趨於飽和）。此敘述符合理想特性。

核心觀念

本題考查運算放大器（Op-Amp）的**增益頻寬積恆定性（Gain-Bandwidth Product, GBP / GBW）**與閉迴路 3 dB 截止頻率之關係。

1. 增益頻寬積（GBP）：
   對於單極點（Single-pole）響應的運算放大器，其高頻開迴路增益與頻寬的乘積為一常數，等於單位增益頻率（Unity-Gain Bandwidth）$f_t$：
   $\text{GBP} = A_{v0} \times f_H = f_t$
   其中 $A_{v0}$ 為直流開迴路增益，$f_H$ 為開迴路 3 dB 截止頻率。

2. 閉迴路頻寬（3 dB 截止頻率 $f_{3\text{dB}}$）：
   當加入負回授構成閉迴路放大器時，閉迴路增益 $A_{CL}$ 與閉迴路 3 dB 截止頻率 $f_{3\text{dB}}$ 的乘積同樣等於 $f_t$：
   $A_{CL} \times f_{3\text{dB}} = f_t$
   因此，閉迴路 3 dB 頻率可表示為：
   $f_{3\text{dB}} = \frac{f_t}{A_{CL}}$

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解題方法與推導

已知條件：

• 單位增益頻率 $f_t = 1\text{ MHz} = 10^6\text{ Hz}$
• 閉迴路放大器增益 $A_{CL} = 100$

計算步驟：

將已知數值代入閉迴率 3 dB 頻率公式：
$f_{3\text{dB}} = \frac{f_t}{A_{CL}} = \frac{1\text{ MHz}}{100} = \frac{10^6\text{ Hz}}{100} = 10^4\text{ Hz} = 10\text{ kHz}$

核心觀念

本題考查理想二極體的導通判斷與電阻電流計算：

• 理想二極體導通時，正向壓降為 $0\text{ V}$。
• 理想二極體截止時，相當於開路。
• 導通條件為陽極電壓高於陰極電壓。

由圖可知，電阻 $R$ 將節點由 $+5\text{ V}$ 拉高，三個二極體分別連接至 $+1\text{ V}$、$+2\text{ V}$、$+3\text{ V}$。

解題方法

當節點電壓上升時，連接至最低參考電壓的二極體會先導通，使節點電壓受到箝位。

若節點電壓高於 $+1\text{ V}$，則 $+1\text{ V}$ 支路的二極體會導通，節點會被箝在 $1\text{ V}$。此時連接至 $+2\text{ V}$ 與 $+3\text{ V}$ 的二極體均為反向偏壓，因此不會導通。

所以節點電壓為

$$v_o=1\text{ V}$$

電阻電流為

核心觀念

本題考查 PN 接面二極體（PN Junction Diode）之導通電壓與溫度的關係（Temperature Coefficient of Diode Voltage, TC）。

在固定順向偏壓電流 $I_D$ 的條件下，二極體之導通電壓 $V_D$ 隨溫度升高而下降。其溫度係數定義為：
$\text{TC} = \frac{dV_D}{dT}$

在室溫（$T = 300\text{ K}$ 或 $25^\circ\text{C}$）環境下，一般矽（Silicon, Si）二極體導通電壓 $V_D \approx 0.7\text{ V}$，其順向導通電壓對溫度的變異率為：
$\frac{dV_D}{dT} \approx -2\text{ mV/}^\circ\text{C}$

這代表溫度每升高 $1^\circ\text{C}$，二極體的導通電壓大約會下降 $2\text{ mV}$。

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解題方法

1. 物理推導與定理

根據二極體電流方程式：
$I_D = I_S \left( e^{\frac{V_D}{nV_T}} - 1 \right) \approx I_S e^{\frac{V_D}{nV_T}}$

其中：

• $V_T = \frac{k T}{q}$ 為熱電壓（Thermal Voltage）。
• $I_S$ 為逆向飽和電流（Reverse Saturation Current），隨溫度上升呈指數成長（溫度每升高 $10^\circ\text{C}$，$I_S$ 大約翻倍）。

移項可得二極體導通電壓 $V_D$ 之表示式：
$V_D = n V_T \ln\left(\frac{I_D}{I_S}\right)$

2. 溫度變化分析

將 $V_D$ 對溫度 $T$ 作微分：
當溫度升高時，雖然熱電壓 $V_T$ 會隨溫度呈線性增加（約 $+0.086\text{ mV/}^\circ\text{C}$），但逆向飽和電流 $I_S$ 隨溫度變化的增加速度遠快於 $V_T$。

核心觀念

本題考驗雙極性接面電晶體（BJT）放大器中「共集極放大器（Common Collector, CC）」（又稱射極隨耦器, Emitter Follower）的小訊號特性與定義。

在小訊號分析中，共集極放大器的三端小訊號特徵參數如下：

1. 電壓增益 $A_v$：接近 1 但略小於 1（$A_v \approx 1$），無電壓放大能力。
2. 輸入阻抗 $R_{in}$：極高（受射極電阻反射至基極影響，$R_{in} \approx r_{\pi} + (1 + \beta)R_E$）。
3. 輸出阻抗 $R_{out}$：極低（從射極往回看，$R_{out} \approx R_E \parallel \frac{r_{\pi} + R_{sig}}{1 + \beta}$）。
4. 電流增益 $A_i$：高（$A_i \approx 1 + \beta$）。

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解題方法

共集極放大器的主要功能並非提供電壓放大，而是作為阻抗匹配（Impedance Matching）或電壓緩衝器（Buffer）。其電壓增益推導如下：

設 BJT 小訊號模型中，基極與射極間阻抗為 $r_{\pi}$，射極負載電阻為 $R_E$，交流輸入訊號由基極輸入，輸出由射極取出：

$$A_v = \frac{v_o}{v_i} = \frac{(1 + \beta) i_b \cdot R_E}{i_b \cdot [r_{\pi} + (1 + \beta)R_E]} = \frac{(1 + \beta)R_E}{r_{\pi} + (1 + \beta)R_E}$$

由於 $(1 + \beta)R_E \gg r_{\pi}$，因此：

$$A_v \approx 1$$

核心觀念

BJT 在主動區的直流電流增益定義為

$$\beta=\frac{I_C}{I_B}$$

進入飽和區時，基極電流通常是設計者強制提供的，使用「強迫電流增益」表示：

$$\beta_{\text{forced}}=\frac{I_C}{I_B}$$

為了確保 BJT 能可靠進入飽和區，通常會將 $\beta_{\text{forced}}$ 設計得比主動區的實際 $\beta$ 小。

解題方法

主動區中，BJT 滿足

$$I_C=\beta I_B$$

但在飽和區，集極電流受到外部電路與 $V_{CE(\text{sat})}$ 限制，不能直接以主動區的 $\beta$ 來決定。因此設計上提高 $I_B$，使實際採用的比值

$$\beta_{\text{forced}}=\frac{I_C}{I_B}$$

小於元件在主動區的 $\beta$，藉此確保電晶體確實飽和。

選項分析

• (A) $\beta=I_E/I_C$：錯誤。
  $\beta$ 的正確定義為

  $\beta=\frac{I_C}{I_B}$

核心觀念

本題考查**雙極性接面電晶體（BJT）**的小訊號模型 parameters（Small-Signal Parameters）中，射極小訊號電阻 $r_e$ 的基本定義與模型意義。

在 BJT 的 $T$ 型小訊號模型（T Model）中：

1. $r_e$ 代表由射極端（Emitter）看入電晶體的小訊號動態電阻（Dynamic Resistance）。
2. 根據歐姆定律的小訊號形式，電阻等於**基極-射極跨壓小訊號變化量（$v_{be}$）與射極電流小訊號變化量（$i_e$）**之比值：
   $r_e = \frac{v_{be}}{i_e} = \frac{V_T}{I_E}$
   其中 $V_T$ 為熱電壓（Thermal Voltage, 室溫下約 $25\text{ mV} \sim 26\text{ mV}$），$I_E$ 為直流射極偏壓電流。

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解題方法

針對小訊號參數定義題，直接回歸 BJT 端點電壓與電流的小訊號關係：

1. 電壓訊號：作用於基極與射極之間的控制電壓小訊號為 $v_{be}$（即控制二極體 PN 接面的跨壓變化）。
2. 電流訊號：通過射極端的總小訊號電流為 $i_e$。
3. 動態電阻定義：將射極看入的訊號電壓 $v_{be}$ 除以流過射極的訊號電流 $i_e$，即可得射極小訊號電阻：
   $r_e \equiv \frac{v_{be}}{i_e}$

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選項分析

• (A) $\frac{V_{ce}}{i_e}$：錯誤。

核心觀念

本題考查增強型 PMOS（Enhancement-type PMOS FET）之操作區域判斷（Region of Operation）。

PMOS 導通與工作區域的判斷依據為元件的閘極—源極電壓 $V_{GS}$、源極—汲極電壓 $V_{SD}$ 與臨限電壓 $V_{tp}$（通常為負值，即 $V_{tp} < 0$）：

1. 導通條件（Overdrive Voltage / 導通過載電壓）：
   PMOS 要能導通，其閘極電壓必須比源極電壓夠低，即 $V_{GS} \le V_{tp}$（以絕對值表示為 $V_{SG} \ge |V_{tp}|$）。
   其中過載電壓（Overdrive Voltage）定義為 $V_{OV} = V_{GS} - V_{tp}$ 或 $V_{SG} - |V_{tp}|$。

2. 操作區域判斷條件（當 PMOS 已導通 $V_{SG} \ge |V_{tp}|$ 時）：

   • 三極區／線性區（Triode Region）：
     $V_{SD} < V_{SG} - |V_{tp}| \quad (\text{亦即 } V_{D} > V_{G} + |V_{tp}|)$
     此時通道未發生夾止（Pinch-off）。
   • 飽和區（Saturation Region）：
     $V_{SD} \ge V_{SG} - |V_{tp}| \quad (\text{亦即 } V_{D} \le V_{G} + |V_{tp}|)$
     此時汲極端通道發生夾止。

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解題方法

第一步：確定各端點電壓與臨界參數
由題意可知：

• 源極電壓 $V_S = 4.0\text{ V}$
• 閘極電壓 $V_G = 2.0\text{ V}$
• 汲極電壓 $V_D = 3.5\text{ V}$
• 臨限電壓 $V_{tp} = -1.0\text{ V} \implies |V_{tp}| = 1.0\text{ V}$

第二步：檢驗元件是否導通
計算源極—閘極電壓 $V_{SG}$：
$V_{SG} = V_S - V_G = 4.0\text{ V} - 2.0\text{ V} = 2.0\text{ V}$
比較 $V_{SG}$ 與 $|V_{tp}|$：
$V_{SG} = 2.0\text{ V} \ge |V_{tp}| = 1.0\text{ V}$
因此，PMOS 已成功建立通道並處於導通狀態。過載電壓 $V_{OV} = V_{SG} - |V_{tp}| = 2.0\text{ V} - 1.0\text{ V} = 1.0\text{ V}$。

第三步：判斷操作區域
計算源極—汲極電壓 $V_{SD}$：
$V_{SD} = V_S - V_D = 4.0\text{ V} - 3.5\text{ V} = 0.5\text{ V}$

核心觀念

本題探討**摺疊式共源-共柵放大器（Folded Cascode Amplifier）相較於傳統串疊放大器（Telescopic / Standard Cascode Amplifier）**的特性差異，特別是：

1. 輸出阻抗（Output Resistance, $R_{out}$）：不論是傳統串疊還是摺疊式串疊，皆利用共閘級（Common-Gate, CG）具有「阻抗倍增」的效應，使得輸出電阻大幅提高至約 $g_m r_o^2$ 的等級。
2. 輸出直流電壓準位與電壓擺幅（Output DC Level & Voltage Swing）：在傳統 NMOS 串疊放大器中，輸入級為 NMOS，串疊級也是 NMOS，輸出端需疊在多個電晶體之上，導致輸出直流偏壓較高且輸出擺幅受到壓縮；摺疊式串疊改用互補型（例如輸入為 NMOS，摺疊共閘級改用 PMOS），訊號電流轉折「摺疊」往下至接地端（或負電源端），輸出節點的直流電壓得以下降至更接近地的位置（甚至可設定在靠近類比地／共模電壓處），允許更適當的輸出直流電壓設計與更佳的輸入/輸出訊號擺幅範圍。

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解題方法

1. 輸出阻抗特性：

   • 摺疊式串疊電路中，輸入級小訊號電流注入共閘極電晶體的源極。
   • 由輸出端往電路看入，其等效電阻由向上的共閘極主動負載阻抗與向下的電流源/共閘級阻抗並聯決定：
     $R_{out} \approx (g_{m,cas} r_{o,cas} r_{o,in}) \parallel (g_{m,load} r_{o,load} r_{o,cs})$
   • 其電阻值與傳統串疊電路相同，皆包含 $g_m r_o$ 的倍增項，因此依然具備**高輸出阻抗（larger output resistance）**的優勢。

2. 輸出直流電壓準位特性（以 NMOS 輸入、PMOS 摺疊級為典型架構）：

   • 在傳統雙層 NMOS 串疊中，輸出直流電壓必須滿足 $V_{out} \ge V_{OV1} + V_{OV2}$，且直流偏壓往往被定在較高電位。

核心觀念

此電路是標準反相運算放大器：

• 非反相端接地，因此理想運算放大器下，反相端為虛地：$v_- \approx 0$。
• 輸入端電流為零。
• 理想運算放大器的輸出電阻為零。
• 反相放大器增益為

$$\frac{v_O}{v_I}=-\frac{R_2}{R_1}$$

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(a) 閉迴路增益 $G=v_O/v_I$

由虛地觀念，$R_1$ 右端電壓為 $0$，且運算放大器輸入端不取電流，因此流經 $R_1$ 的電流等於流經 $R_2$ 的電流：

$$\frac{v_I}{R_1}=\frac{-v_O}{R_2}$$

所以

$$G=\frac{v_O}{v_I}=-\frac{R_2}{R_1}$$

代入 $R_1=2\text{ k}\Omega$、$R_2=20\text{ k}\Omega$：

$$G=-\frac{20\text{ k}\Omega}{2\text{ k}\Omega}=-10$$

因此輸出電壓大小為輸入電壓的 $10$ 倍，且相位反轉 $180^\circ$。

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(b) 輸入電阻 $R_i$

由於理想運算放大器的輸入電流為零，輸入端看到的電流就是流經 $R_1$ 的電流：

$$i_I=\frac{v_I}{R_1}$$

因此

$$R_i=\frac{v_I}{i_I}=R_1=2\text{ k}\Omega$$

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(c) 輸出電阻 $R_o$

理想運算放大器本身的輸出電阻為零，負回授不會改變此理想結果，因此

$$R_o=0$$

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(d) 有限開迴路增益 $A=10^3$ 時的閉迴路增益

此時不能直接使用虛地，而要使用運算放大器的開迴路關係：

$$v_O=A(v_+-v_-)$$

因為 $v_+=0$，所以

$$v_O=-Av_-$$

核心觀念

本題考查二極體的直流工作點與小訊號模型：

1. 直流分析時，利用電阻與二極體的串聯關係求工作點。
2. 二極體遵守 Shockley 方程式：

$$I_D=I_S e^{V_D/V_T}$$

由題目給定二極體在 $V_D=0.7\text{ V}$ 時有 $I_D=1\text{ mA}$，可改寫為

$$I_D=1\text{ mA}\cdot e^{(V_D-0.7)/V_T}$$

取室溫熱電壓 $V_T\approx25\text{ mV}$。

3. 交流小訊號分析時，二極體以動態電阻取代：

$$r_d=\frac{V_T}{I_D}$$

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解題方法

(a) 求直流電壓 $V_D$ 與電流 $I_D$

由電路的 KVL：

$$V^+=IR+V_D$$

因此

$$I_D=\frac{8-V_D}{1\text{ k}\Omega}$$

若以 mA、k$\Omega$、V 為單位，則可寫成

$$I_D=8-V_D\quad(\text{mA})$$

二極體方程式為

$$V_D=0.7+0.025\ln\left(\frac{I_D}{1\text{ mA}}\right)$$

採用疊代法：

• 初始估計 $V_D^{(0)}=0.7\text{ V}$
• 此時

$$I_D^{(0)}=\frac{8-0.7}{1\text{ k}\Omega}=7.30\text{ mA}$$

• 代回二極體方程式：

$$V_D^{(1)} =0.7+0.025\ln(7.30) \approx0.750\text{ V}$$

• 再由電阻關係更新電流：

$$I_D^{(1)} =\frac{8-0.750}{1\text{ k}\Omega} \approx7.25\text{ mA}$$

再次代回：

核心觀念

此電路為 PNP BJT：

• 基極接地，因此 $V_B=0\text{ V}$。
• PNP 電晶體正常工作時，射極電壓約為
  $V_E=V_B+V_{EB}\approx 0.7\text{ V}$
• 射極電阻 $R_E$ 決定射極電流 $I_E$，再利用電流增益 $\beta$ 求集極電流：
  $I_C=\frac{\beta}{\beta+1}I_E$
• PNP 電晶體維持主動區的臨界條件為集極—基極接面剛好不再反向偏壓，即
  $V_C=V_B=0\text{ V}$

解題方法

(a) 求集極電流 $I_C$

射極電阻兩端電壓為

$$V_{R_E}=V^+-V_E=10-0.7=9.3\text{ V}$$

因此射極電流

$$I_E=\frac{9.3\text{ V}}{5\text{ k}\Omega} =1.86\text{ mA}$$

由 $\beta=100$，

$$I_C=\frac{\beta}{\beta+1}I_E =\frac{100}{101}(1.86\text{ mA})$$ $$I_C\approx 1.84\text{ mA}$$

(b) 求仍可維持主動區時的最大 $R_C$

核心觀念

本題考查 MOSFET 直流偏壓電路分析（DC Bias Analysis），電路為標準的四電阻分壓自給偏壓結構（Four-Resistor Bias Network）。涉及核心公式與觀念如下：

1. 閘極電壓與輸入阻抗：
   因 MOSFET 閘極為絕緣結構，直流閘極電流 $I_G = 0\text{ A}$。閘極端偏壓由 $R_{G1}$ 與 $R_{G2}$ 對電源 $V_{DD}$ 進行分壓取得：

   $$V_G = V_{DD} \times \frac{R_{G2}}{R_{G1} + R_{G2}}$$

2. 源極電壓與閘源極電壓：

   $$V_S = I_D R_S$$ $$V_{GS} = V_G - V_S = V_G - I_D R_S$$

3. 飽和區（Saturation Region）汲極電流方程式：
   忽略通道長度調變效應（$\lambda = 0$），在 $V_{GS} \ge V_t$ 且 $V_{DS} \ge V_{ov} = V_{GS} - V_t$ 時：

   $$I_D = \frac{1}{2} k_n' \left(\frac{W}{L}\right) (V_{GS} - V_t)^2$$

4. 工作區域驗證：
   解出 $I_D$ 後，必須驗證 MOSFET 是否確實工作於飽和區：

   $$V_D = V_{DD} - I_D R_D$$ $$V_{DS} = V_D - V_S \ge V_{GS} - V_t$$

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解題方法

1. 求閘極電壓 $V_G$：
   已知 $V_{DD} = 8\text{ V}$，$R_{G1} = R_{G2} = 2\text{ M}\Omega$：

   $$V_G = 8 \times \frac{2\text{ M}\Omega}{2\text{ M}\Omega + 2\text{ M}\Omega} = 4\text{ V}$$

2. 建立 $V_{GS}$ 與 $I_D$ 的關係式：
   已知 $R_S = 3\text{ k}\Omega$，$I_D$ 單位設為 $\text{mA}$：

   $$V_S = I_D \times 3\text{ k}\Omega = 3 I_D\text{ (V)}$$ $$V_{GS} = V_G - V_S = 4 - 3 I_D$$

3. 代入飽和區電流公式求解 $I_D$：
   假設電晶體操作於飽和區。已知 $V_t = 1\text{ V}$，$k_n'(W/L) = 1\text{ mA/V}^2$：

   $$I_D = \frac{1}{2} \times 1 \times (V_{GS} - 1)^2$$

   將 $V_{GS} = 4 - 3 I_D$ 代入：

   $$I_D = \frac{1}{2} [(4 - 3 I_D) - 1]^2 = \frac{1}{2} (3 - 3 I_D)^2 = \frac{9}{2} (1 - I_D)^2$$

   兩邊同乘 2 並展開整理：

核心觀念

本題考查四顆 MOSFET 組成的雙側 cascode amplifier：

• 下方 $Q_1$、$Q_2$ 為共源級加 cascode 級。
• 上方 $Q_3$、$Q_4$ 為 cascode 電流源負載。
• 所有閘極的偏壓在小訊號分析下視為交流接地。
• $Q_1$ 的輸入小訊號電流為 $g_m v_i$。
• cascode 結構可大幅提高輸出電阻。

MOSFET 小訊號參數為

$$g_m=\frac{2I_D}{V_{OV}}$$ $$r_o=\frac{|V_A|}{I_D}$$

代入 $I_D=0.2\text{ mA}$、$V_{OV}=0.2\text{ V}$、$|V_A|=2\text{ V}$：

$$g_m=\frac{2(0.2\text{ mA})}{0.2\text{ V}} =2\text{ mS}$$ $$r_o=\frac{2\text{ V}}{0.2\text{ mA}} =10\text{ k}\Omega$$

因此

$$g_mr_o=(2\text{ mS})(10\text{ k}\Omega)=20$$

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(a) 輸出電阻 $R_o$

單側兩顆匹配 MOSFET 所形成的 cascode 輸出電阻，精確值為

$$R_{\text{cascode}} =r_o+r_o+g_mr_o^2$$ $$R_{\text{cascode}} =2r_o+g_mr_o^2$$

代入數值：

$$R_{\text{cascode}} =2(10\text{ k}\Omega) +(2\text{ mS})(10\text{ k}\Omega)^2$$ $$R_{\text{cascode}} =20\text{ k}\Omega+200\text{ k}\Omega =220\text{ k}\Omega$$

輸出端同時看到上、下兩個相同的 cascode 電阻，故

$$R_o=220\text{ k}\Omega\parallel220\text{ k}\Omega$$ $$\boxed{R_o=110\text{ k}\Omega}$$

若採用常見的 $g_mr_o\gg1$ 近似，忽略 $2r_o$，則單側

$$R_{\text{cascode}}\simeq g_mr_o^2=200\text{ k}\Omega$$

所以近似結果為

$$R_o\simeq200\text{ k}\Omega\parallel200\text{ k}\Omega =\boxed{100\text{ k}\Omega}$$

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