109 年 國立暨南國際大學應用材料及光電工程學系碩士班《普通物理學》

此題考驗對圓周運動的基本概念，包括週期、角速度、線速度與向心加速度的計算。

解題步驟如下：

1. 找出週期 (T)：題目提到 pebble 每秒鐘經過三次，代表完成一次圓周運動的時間是 $T = \frac{1}{3}$ 秒。
2. 計算角速度 ($\omega$)：角速度與週期的關係為 $\omega = \frac{2\pi}{T}$。
   $\omega = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ rad/s。
3. 計算線速度 (v)：線速度與角速度的關係為 $v = \omega r$，其中 $r$ 是圓周運動的半徑。
   輪子的直徑是 60 cm，所以半徑 $r = \frac{60 \text{ cm}}{2} = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$。
   $v = (6\pi \text{ rad/s}) \times (0.3 \text{ m}) = 1.8\pi \text{ m/s}$。

核心觀念

本題考查：

• 面電荷密度的定義：
  $\sigma=\frac{Q}{A}$
• 導體靜電平衡時，電荷分布在表面。
• 導體表面外側的電場大小為：
  $E=\frac{\sigma_{\text{surface}}}{\epsilon_0}$
• 對於極薄且兩面對稱的帶電導體，總電荷會平均分布在上下兩面，因此單一表面的面電荷密度為總面積密度的一半。

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解題方法

正方形導電板邊長為

$L=50\ \text{cm}=0.50\ \text{m}$

因此單面面積為

$A=L^2=(0.50)^2=0.25\ \text{m}^2$

總電荷為

$Q=6\times10^{-8}\ \text{C}$

(a) 電荷密度

若以「整個薄板的總電荷除以單面幾何面積」表示平均面電荷密度，則

$$\sigma_{\text{total}}=\frac{Q}{A} =\frac{6\times10^{-8}}{0.25}$$

所以

$\boxed{\sigma_{\text{total}}=2.4\times10^{-7}\ \text{C/m}^2}$

由於薄板上下兩面對稱，電荷平均分布，因此上表面的實際表面電荷密度為

$$\sigma_{\text{upper}}=\frac{Q}{2A} =\frac{2.4\times10^{-7}}{2} =1.2\times10^{-7}\ \text{C/m}^2$$

下表面亦相同。

(b) 板面正上方的電場

對導體表面取一個高斯柱面。導體內部電場為零，因此電通量只由上表面流出：

$$EA=\frac{Q_{\text{upper}}}{\epsilon_0} =\frac{\sigma_{\text{upper}}A}{\epsilon_0}$$

消去 $A$ 得