109 年 國立暨南國際大學應用材料及光電工程學系碩士班《電磁學》

核心觀念

題目中的 $\mathbf a_x,\mathbf a_y,\mathbf a_z$ 分別表示直角座標系的單位向量，因此

$$\mathbf A=\mathbf a_x+\mathbf a_y+\mathbf a_z$$

其在直角座標下的分量為

$$A_x=1,\qquad A_y=1,\qquad A_z=1.$$

轉換座標系時，向量本身不變，但單位向量會隨座標系改變，因此必須使用不同座標系單位向量之間的關係式。

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一、轉換為圓柱座標

圓柱座標的單位向量為 $\mathbf a_\rho,\mathbf a_\phi,\mathbf a_z$，其中 $\phi$ 是方位角。直角座標單位向量可表示為

$$\mathbf a_x=\cos\phi\,\mathbf a_\rho-\sin\phi\,\mathbf a_\phi$$ $$\mathbf a_y=\sin\phi\,\mathbf a_\rho+\cos\phi\,\mathbf a_\phi$$ $$\mathbf a_z=\mathbf a_z.$$

代入原向量：

$$\begin{aligned} \mathbf A &=\mathbf a_x+\mathbf a_y+\mathbf a_z\\ &=(\cos\phi\,\mathbf a_\rho-\sin\phi\,\mathbf a_\phi) +(\sin\phi\,\mathbf a_\rho+\cos\phi\,\mathbf a_\phi) +\mathbf a_z. \end{aligned}$$

分別整理各方向分量：

$$\mathbf A =(\cos\phi+\sin\phi)\mathbf a_\rho +(\cos\phi-\sin\phi)\mathbf a_\phi +\mathbf a_z.$$

因此，圓柱座標表示為

$$\boxed{ \mathbf A =(\cos\phi+\sin\phi)\mathbf a_\rho +(\cos\phi-\sin\phi)\mathbf a_\phi +\mathbf a_z }$$

其圓柱座標分量為

$$\boxed{ A_\rho=\cos\phi+\sin\phi,\qquad A_\phi=\cos\phi-\sin\phi,\qquad A_z=1 }$$

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二、轉換為球座標

球座標的單位向量為 $\mathbf a_r,\mathbf a_\theta,\mathbf a_\phi$，其中：

• $r$：徑向距離；
• $\theta$：由 $+z$ 軸量起的極角；
• $\phi$：在 $xy$ 平面中的方位角。

直角座標單位向量與球座標單位向量的關係為

$$\mathbf a_x =\sin\theta\cos\phi\,\mathbf a_r +\cos\theta\cos\phi\,\mathbf a_\theta -\sin\phi\,\mathbf a_\phi$$ $$\mathbf a_y =\sin\theta\sin\phi\,\mathbf a_r +\cos\theta\sin\phi\,\mathbf a_\theta +\cos\phi\,\mathbf a_\phi$$ $$\mathbf a_z =\cos\theta\,\mathbf a_r-\sin\theta\,\mathbf a_\theta.$$

代入 $\mathbf A=\mathbf a_x+\mathbf a_y+\mathbf a_z$：

核心觀念

本題考查電通量密度 $\mathbf{D}$ 與包覆電荷的高斯定律：

$$\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q_{\text{enc}}$$

其中：

• $\mathbf{D}$：電通量密度，單位為 $\mathrm{C/m^2}$
• $d\mathbf{S}$：封閉曲面的向外面積向量
• $Q_{\text{enc}}$：封閉曲面內所包覆的總電荷

題目給定

$$\mathbf{D}=\frac{q}{4\pi r^2}\mathbf{a}_r$$

表示電通量密度沿徑向向外，且大小只與距離 $r$ 有關，具有球對稱性。因此選取半徑為 $a$ 的球面作為高斯面最直接。

解題方法

半徑為 $a$ 的球面上，徑向單位向量為 $\mathbf{a}_r$，而球面的面積向量為

$$d\mathbf{S}=a^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi\,\mathbf{a}_r$$

在球面 $r=a$ 上，

$$\mathbf{D}\big|_{r=a} = \frac{q}{4\pi a^2}\mathbf{a}_r$$

因此電通量為

$$\begin{aligned} Q_{\text{enc}} &=\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}\\ &=\oint_S \frac{q}{4\pi a^2}\mathbf{a}_r \cdot \left(a^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi\,\mathbf{a}_r\right) \end{aligned}$$

核心觀念

本題考查庫侖定律與電場的疊加原理。

單一點電荷 $q$ 在距離 $r$ 處產生的電場為

$$\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{\mathbf{r}},$$

其中 $\varepsilon_0$ 為自由空間介電常數。多個點電荷造成的總電場，等於各點電荷電場的向量和。

三個電荷均位於 $x$ 軸上，因此觀測點 $x=2d$ 的電場只有 $x$ 方向分量。

解題方法

三個點電荷的位置分別為

$$x_1=-d,\qquad x_2=0,\qquad x_3=d.$$

觀測點為 $x=2d$。

假設 $d>0$，且 $q>0$，三個電荷產生的電場均指向 $+x$ 方向。

來自 $x=-d$ 的電場

距離為

$$r_1=2d-(-d)=3d.$$

因此

$$\mathbf{E}_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{(3d)^2}\hat{\mathbf{x}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{9d^2}\hat{\mathbf{x}}.$$

來自 $x=0$ 的電場

距離為

$$r_2=2d-0=2d.$$

因此

$$\mathbf{E}_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{(2d)^2}\hat{\mathbf{x}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{4d^2}\hat{\mathbf{x}}.$$

來自 $x=d$ 的電場

距離為

$$r_3=2d-d=d.$$

因此

核心觀念

本題考查 Maxwell 四大方程，要求同時寫出：

1. 積分形式：描述有限區域中電場、磁場與源的整體關係。
2. 微分形式：利用散度與旋度描述空間中每一點的局部關係。

所用的主要定理為：

• 高斯定理
• Stokes 定理

以下先以真空形式表示，基本場量與源為：

• $\mathbf{E}$：電場
• $\mathbf{B}$：磁通密度
• $\rho$：電荷密度
• $\mathbf{J}$：電流密度
• $\varepsilon_0$：真空介電常數
• $\mu_0$：真空導磁率

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解題方法

判斷 Maxwell 方程的最快方式，是依序記憶四個物理命題：

1. 電荷是電場的源。
2. 磁單極不存在。
3. 時變磁場會產生電場。
4. 電流與時變電場會產生磁場。

其中前兩式使用散度，後兩式使用旋度。

1. 高斯電場定律

電荷是電場的源，因此穿過任意封閉曲面的電通量，等於曲面內總電荷除以 $\varepsilon_0$。

積分形式為：

$$\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}$$

其中 $S$ 為封閉曲面，$d\mathbf{a}$ 為向外的面積向量，$Q_{\mathrm{enc}}$ 為曲面所包圍的總電荷。

由高斯定理：

$$\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = \int_V \left(\nabla\cdot\mathbf{E}\right)\,dv$$

且：

$$Q_{\mathrm{enc}}=\int_V \rho\,dv$$

因此可得微分形式：

$$\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

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2. 高斯磁定律

自然界中沒有已被確認的孤立磁單極，因此磁力線必須形成封閉迴路，穿過任意封閉曲面的總磁通量為零。

積分形式為：

$$\oint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{a} = 0$$

利用高斯定理：

$$\oint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{a} = \int_V \left(\nabla\cdot\mathbf{B}\right)\,dv$$

由於任意體積 $V$ 均成立，因此微分形式為：

$$\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$$

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3. 法拉第電磁感應定律

時變磁通量會產生環流電場，感應電動勢的方向由負號所代表的楞次定律決定。

積分形式為：

$$\oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt}\int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{a}$$

其中 $C$ 為封閉路徑，$S$ 為以 $C$ 為邊界的曲面。假設積分路徑與曲面固定不動，則由 Stokes 定理：

$$\oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = \int_S \left(\nabla\times\mathbf{E}\right)\cdot d\mathbf{a}$$

將右側時間微分移入面積積分，可得：

$$\int_S \left[ \nabla\times\mathbf{E} + \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \right] \cdot d\mathbf{a} = 0$$

因任意曲面均成立，所以微分形式為：

$$\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$

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4. 安培－馬克士威定律

原始安培定律指出，電流會產生磁場。馬克士威補上位移電流項後，時變電場也能產生磁場，因此完整形式為安培－馬克士威定律。

積分形式為：

$$\oint_C \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\mathrm{enc}} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}$$

其中：

$$I_{\mathrm{enc}} = \int_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{a}$$

因此可改寫為：

$$\oint_C \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 \int_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{a} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}$$

由 Stokes 定理：

$$\oint_C \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \int_S \left(\nabla\times\mathbf{B}\right)\cdot d\mathbf{a}$$

可得微分形式：

$$\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$$

其中第二項

$$\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$$

稱為位移電流密度。若遺漏此項，方程式無法正確描述電容器充電等時變電磁現象。

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真空中的 Maxwell 四方程總整理

物理定律	積分形式	微分形式