108 年 國立暨南國際大學應用材料及光電工程學系碩士班《電磁學》

核心觀念

電偶極是由大小相等、電性相反的兩個電荷所組成，設正電荷為 $+q$、負電荷為 $-q$，兩電荷位置分離向量定義為由負電荷指向正電荷的 $\mathbf d$。

電偶極矩（electric dipole moment）定義為

$$\boxed{\mathbf p=q\mathbf d}$$

其中：

• $\mathbf p$：電偶極矩，為向量
• $q$：任一電荷的電量大小
• $\mathbf d$：由負電荷指向正電荷的位移向量

因此，電偶極矩的方向一律由負電荷指向正電荷，大小為

$$p=qd$$

其 SI 單位為

$$\mathrm{C\cdot m}$$

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解題方法與物理意義

本題要求說明「什麼是電偶極矩」，作答時應完整寫出定義、方向、大小及單位。

若電偶極置於外加均勻電場 $\mathbf E$ 中，正、負電荷分別受到

$$\mathbf F_{+}=q\mathbf E,\qquad \mathbf F_{-}=-q\mathbf E$$

兩力大小相等、方向相反，因此合力為零，但兩力作用線不重合，會形成力矩。電偶極所受力矩為

$$\boldsymbol{\tau}=\mathbf p\times\mathbf E$$

其大小為

$$\tau=pE\sin\theta$$

其中 $\theta$ 是電偶極矩 $\mathbf p$ 與外加電場 $\mathbf E$ 的夾角。這說明電偶極矩不僅描述電荷分離程度，也決定電偶極在電場中轉動的方向與強弱。

電偶極在外電場中的位能為

$$U=-\mathbf p\cdot\mathbf E=-pE\cos\theta$$

當 $\mathbf p$ 與 $\mathbf E$ 同方向時，位能最低，系統最穩定。

核心觀念

本題考查高斯定律（Gauss’s Law），它描述封閉曲面上的電通量與曲面內所包覆總電荷量之間的關係。

電場通過封閉曲面的總電通量定義為

$$\Phi_E=\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}$$

其中：

• $\mathbf{E}$：電場
• $d\mathbf{A}$：封閉曲面上的微小面積向量，方向取曲面外法線方向
• $\oint_S$：沿封閉曲面積分
• $\Phi_E$：通過封閉曲面的總電通量

高斯定律表示為

$$\boxed{\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}}$$

其中 $Q_{\mathrm{enc}}$ 是封閉曲面內所包覆的總電荷，$\varepsilon_0$ 是真空介電常數。

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解題方法

這是一道定義與定理題，作答時應依序說明「電通量」、「封閉曲面」以及「包覆電荷」三者的關係。

1. 從電通量定義切入

對封閉曲面上每一小塊面積，電通量微元為

$$d\Phi_E=\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =E\,dA\cos\theta$$

其中 $\theta$ 為電場方向與面積向量方向的夾角。對整個封閉曲面積分後，得到

$$\Phi_E=\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}$$

2. 套用高斯定律

高斯定律指出，這個封閉曲面的淨電通量只由曲面內的總電荷決定：

$$\boxed{\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}}$$

若曲面內有多個電荷，則

$$Q_{\mathrm{enc}}=\sum_i q_i$$

因此

$$\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\frac{\sum_i q_i}{\varepsilon_0}$$

曲面外的電荷雖然可能在曲面各處產生電場，但其電力線進入曲面的通量與離開曲面的通量互相抵消，因此對封閉曲面的淨電通量沒有貢獻。

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微分形式

利用散度定理，

$$\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \int_V \nabla\cdot\mathbf{E}\,dv$$

而包覆電荷可寫成

$$Q_{\mathrm{enc}}=\int_V \rho\,dv$$

其中 $\rho$ 為電荷密度。因此高斯定律也可寫成微分形式：

$$\boxed{\nabla\cdot\mathbf{E} =\frac{\rho}{\varepsilon_0}}$$

核心觀念

本題考查靜電學中電位 $V$、電場 $\mathbf{E}$ 與電荷密度 $\rho_v$ 之間的關係，核心依據為：

1. 高斯定律的微分形式
   $\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho_v}{\varepsilon}$

2. 靜電場與電位的關係
   $\mathbf{E}=-\nabla V$

其中，$\varepsilon$ 為介電常數，$\rho_v$ 為體積電荷密度。

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解題方法與推導

將 $\mathbf{E}=-\nabla V$ 代入高斯定律：

$$\nabla\cdot\mathbf{E} = \nabla\cdot(-\nabla V) = -\nabla^2V$$

因此，

$$-\nabla^2V=\frac{\rho_v}{\varepsilon}$$

整理得

$$\boxed{\nabla^2V=-\frac{\rho_v}{\varepsilon}}$$

此式即為卜瓦松方程式（Poisson's equation）。

當考察區域內沒有體積電荷，即

$$\rho_v=0$$

卜瓦松方程式便化為

$$\boxed{\nabla^2V=0}$$

此式即為拉普拉斯方程式（Laplace's equation）。

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笛卡兒座標形式

在笛卡兒座標 $(x,y,z)$ 中，拉普拉斯算子為

$$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

因此，卜瓦松方程式為

$$\boxed{ \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = -\frac{\rho_v}{\varepsilon} }$$

拉普拉斯方程式為

$$\boxed{ \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0 }$$

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其他常用座標形式

若題目要求特定座標系，也可寫成下列形式。

圓柱座標 $(\rho,\phi,z)$

卜瓦松方程式：

$$\boxed{ \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho\frac{\partial V}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 V}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = -\frac{\rho_v}{\varepsilon} }$$

核心觀念

本題考查 Maxwell 方程組及其物理意義。Maxwell 方程組以電場 $\mathbf{E}$、磁場 $\mathbf{B}$、電位移 $\mathbf{D}$、磁場強度 $\mathbf{H}$ 描述電磁場的基本規律，包含四條方程：

1. 電場的 Gauss 定律
2. 磁場的 Gauss 定律
3. Faraday 電磁感應定律
4. Ampère–Maxwell 定律

在 SI 制中，常用關係式為

$$\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}, \qquad \mathbf{B}=\mu \mathbf{H},$$

其中 $\varepsilon$ 為介電率，$\mu$ 為磁導率；$\rho_v$ 表示體電荷密度，$\mathbf{J}$ 表示電流密度。

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解題方法

本題要求「寫出 Maxwell 方程式並解釋物理意義」，最完整的作答方式是：

1. 先列出四條方程的微分形式；
2. 再列出對應的積分形式；
3. 說明每一條方程描述的物理現象；
4. 補充各式之間的相互關聯及常見極限情況。

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Maxwell 方程組

1. 電場的 Gauss 定律

微分形式

$$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_v$$

在均勻、線性、等向性介質中，$\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}$，因此

$$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho_v}{\varepsilon}.$$

積分形式

$$\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} = Q_{\mathrm{enc}}$$

或寫成

$$\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon}.$$

其中 $S$ 是任意封閉曲面，$Q_{\mathrm{enc}}$ 是曲面內所包住的總電荷。

物理意義

電荷是電場的源或匯。正電荷產生向外發散的電場線，負電荷產生向內匯聚的電場線。

散度

$$\nabla\cdot\mathbf{D}$$

描述電位移場在某一點是否具有「源」。當 $\rho_v>0$ 時，該處是電場線的源；當 $\rho_v<0$ 時，該處是電場線的匯。

此定律也表示：封閉曲面的電通量只由曲面內的淨電荷決定，曲面外的電荷雖會影響局部電場分布，但對整個封閉曲面的淨電通量貢獻為零。

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2. 磁場的 Gauss 定律

微分形式

$$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$$

積分形式

$$\oint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0.$$

物理意義

目前經典電磁學中不存在孤立的磁單極子，因此磁力線沒有起點與終點，而是形成封閉曲線。

電場線可以由正電荷開始、終止於負電荷；磁力線則必須連續閉合。因此任意封閉曲面的淨磁通量皆為零：

$$\Phi_B=\oint_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0.$$

「$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$」不代表磁場處處為零，而是表示磁場沒有源匯型結構。磁場仍可由電流、變動電場及磁性材料產生。

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3. Faraday 電磁感應定律

微分形式

$$\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$

積分形式

$$\oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.$$

其中 $C$ 是封閉路徑，$S$ 是以 $C$ 為邊界的曲面。

物理意義

隨時間變化的磁場會產生旋渦型電場。此電場不需要由電荷分布直接產生，即使空間中沒有自由電荷，只要磁通量隨時間改變，仍可形成電場。

電磁感應電動勢定義為

$$\mathcal{E} = \oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l},$$

因此 Faraday 定律可寫為

$$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt},$$

其中

$$\Phi_B=\int_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}$$

為穿過曲面的磁通量。

負號代表 Lenz 定律：感應電流所產生的磁場，會抵抗原本磁通量的變化。例如磁通量增加時，感應電流產生反向磁場以抑制增加；磁通量減少時，感應電流產生同向磁場以維持原磁通量。

由於

$$\nabla\times\mathbf{E}\neq 0$$

時電場具有旋渦性，因此一般時變電磁場中的電場不是保守場，不能只用單一純量電位描述。

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4. Ampère–Maxwell 定律

微分形式

$$\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$$

在均勻介質中，若 $\mathbf{B}=\mu\mathbf{H}$、$\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}$，則可寫為

$$\nabla\times\mathbf{B} = \mu\mathbf{J} + \mu\varepsilon \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.$$

積分形式

$$\oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = \int_S\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} + \frac{d}{dt} \int_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}.$$

其中第一項為傳導電流，第二項為位移電流。

定義位移電流密度為

$$\mathbf{J}_d=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}.$$

因此 Ampère–Maxwell 定律也可寫為

$$\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}+\mathbf{J}_d.$$

物理意義

電流會產生環繞電流方向的磁場。Maxwell 進一步指出，隨時間變化的電場同樣能產生磁場，其等效電流密度為位移電流密度：

$$\mathbf{J}_d=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}.$$

因此產生磁場的來源包括：