108 年 國立臺灣大學光電工程學系碩士班《電磁學（C）》

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第 1 題

  1. (計算題) Consider a finite-width parallel-plate transmission line formed by two perfectly conducting plates of width ww separated by a spacing dd. A perfect dielectric (μr=1\mu_r = 1, ϵr>1\epsilon_r > 1) filled in between them. Assume that the fringing fields can be neglected and the transverse electromagnetic waves propagate along the zz-axis are given by E=V0dcos⁡(8π×109t−50πz)a^yE = \frac{V_0}{d}\cos(8\pi \times 10^9 t - 50\pi z) \hat{a}_y [V/m] and H=I0wcos⁡(8π×109t−50πz)a^xH = \frac{I_0}{w}\cos(8\pi \times 10^9 t - 50\pi z) \hat{a}_x [A/m], where V0V_0, I0I_0, dd, and ww are constants.

(a) (4%) What is the frequency ff of the electromagnetic waves in the parallel-plate transmission line?
(b) (4%) What is the phase velocity vpv_p of the electromagnetic waves in the parallel-plate transmission line?
(c) (4%) According to (b), what is the relative permittivity ϵr\epsilon_r of the dielectric filled in between the two conducting plates?
(d) (4%) Based on (c), what is the capacitance per unit length CC of the parallel-plate transmission line for static fields?
(e) (4%) Based on (d), what is the characteristic impedance Z0Z_0 of the parallel-plate transmission line?
(f) (4%) Based on (e), if one end of the parallel plate transmission line is short-circuited, what is the voltage reflection coefficient Γ\Gamma?
(g) (4%) Based on (e), if the parallel plate transmission line is terminated with a resistive load without reflection, what is the load resistance RLR_L?
(h) (4%) Please find the instantaneous Poynting vector P⃗\vec{P} associated with the electromagnetic waves.
(i) (4%) Please find the time-average Poynting vector ⟨P⃗⟩\langle\vec{P}\rangle associated with the electromagnetic waves.
(j) (4%) Please find the time-average power flow ∫S⟨P⃗⟩⋅ds⃗\int_S \langle\vec{P}\rangle \cdot d\vec{s} along the parallel-plate transmission line.

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核心觀念

本題考查平行板傳輸線的 TEM 波，以及下列基本關係：

  • 角頻率與頻率：

    ω=2πf\omega=2\pi f

  • 相速度：

    vp=ωβv_p=\frac{\omega}{\beta}

  • 無損介質中的相速度：

vp=1μϵ=cμrϵrv_p=\frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}} =\frac{c}{\sqrt{\mu_r\epsilon_r}}

  • 平行板傳輸線的每單位長度電容：

    C=ϵwdC=\frac{\epsilon w}{d}

  • 特性阻抗：

Z0=LC=dwμϵZ_0=\sqrt{\frac{L}{C}} =\frac{d}{w}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}

  • 電壓反射係數：

    ΓL=ZL−Z0ZL+Z0\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}

  • 坡印廷向量：

    P⃗=E⃗×H⃗\vec{P}=\vec{E}\times\vec{H}

令相位函數為

ψ=8π×109t−50πz\psi=8\pi\times10^9t-50\pi z

則

ω=8π×109 rad/s\omega=8\pi\times10^9\ \text{rad/s} β=50π rad/m\beta=50\pi\ \text{rad/m}

(a) 波的頻率

由 ω=2πf\omega=2\pi f：

f=ω2π=8π×1092π=4×109 Hzf=\frac{\omega}{2\pi} =\frac{8\pi\times10^9}{2\pi} =4\times10^9\ \text{Hz}

因此

f=4 GHz\boxed{f=4\ \text{GHz}}

(b) 波的相速度

相速度為

vp=ωβv_p=\frac{\omega}{\beta}

代入題目數值：

vp=8π×10950π=1.6×108 m/sv_p= \frac{8\pi\times10^9}{50\pi} =1.6\times10^8\ \text{m/s}

因此

vp=1.6×108 m/s\boxed{v_p=1.6\times10^8\ \text{m/s}}

(c) 介質的相對介電常數

因為 μr=1\mu_r=1，且

vp=cμrϵr=cϵrv_p=\frac{c}{\sqrt{\mu_r\epsilon_r}} =\frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}}

所以

ϵr=(cvp)2\epsilon_r=\left(\frac{c}{v_p}\right)^2

取 c=3×108 m/sc=3\times10^8\ \text{m/s}：

ϵr=(3×1081.6×108)2=(31.6)2=3.515625\epsilon_r= \left(\frac{3\times10^8}{1.6\times10^8}\right)^2 =\left(\frac{3}{1.6}\right)^2 =3.515625

因此

ϵr≈3.52\boxed{\epsilon_r\approx3.52}

(d) 靜態場的每單位長度電容

平行板的每單位長度電容為

C=ϵwdC=\frac{\epsilon w}{d}

其中

ϵ=ϵ0ϵr\epsilon=\epsilon_0\epsilon_r

因此

C=ϵ0ϵrwdC=\frac{\epsilon_0\epsilon_r w}{d}

代入 ϵr≈3.515625\epsilon_r\approx3.515625：

C=3.515625 ϵ0wd F/m\boxed{ C=\frac{3.515625\,\epsilon_0 w}{d}\ \text{F/m} }

若使用 ϵ0=8.854×10−12 F/m\epsilon_0=8.854\times10^{-12}\ \text{F/m}，則

C≈3.113×10−11wd F/m\boxed{ C\approx\frac{3.113\times10^{-11}w}{d}\ \text{F/m} }

其中 ww 與 dd 必須使用相同長度單位。

(e) 傳輸線的特性阻抗

平行板傳輸線的特性阻抗為

Z0=dwμϵZ_0=\frac{d}{w}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}

因為 μ=μ0\mu=\mu_0、ϵ=ϵ0ϵr\epsilon=\epsilon_0\epsilon_r，所以

Z0=dwμ0ϵ0ϵrZ_0=\frac{d}{w} \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0\epsilon_r}}

利用自由空間波阻抗

η0=μ0ϵ0≈377 Ω\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}\approx377\ \Omega

可得

Z0=377ϵrdwZ_0=\frac{377}{\sqrt{\epsilon_r}}\frac{d}{w}

由 ϵr=1.875\sqrt{\epsilon_r}=1.875：

Z0≈201.1dw ΩZ_0\approx201.1\frac{d}{w}\ \Omega

因此

Z0≈201.1dw Ω\boxed{ Z_0\approx201.1\frac{d}{w}\ \Omega }

也可由場量直接得到：

Z0=V0I0=E0dH0w=dwE0H0Z_0=\frac{V_0}{I_0} =\frac{E_0d}{H_0w} =\frac{d}{w}\frac{E_0}{H_0}

而 TEM 波滿足 E0/H0=μ/ϵE_0/H_0=\sqrt{\mu/\epsilon}，結果相同。

(f) 短路負載的電壓反射係數

短路時

ZL=0Z_L=0

因此

ΓL=ZL−Z0ZL+Z0=0−Z00+Z0=−1\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0} =\frac{0-Z_0}{0+Z_0} =-1

所以

ΓL=−1\boxed{\Gamma_L=-1}

這表示電壓反射波與入射波相位相差 180∘180^\circ，短路端電壓為零；電流反射係數則為 +1+1。

(g) 無反射終端的負載電阻

無反射條件為

ZL=Z0Z_L=Z_0

由於負載為純電阻：

RL=Z0R_L=Z_0
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第 2 題10 分

  1. (推導)(10%) A dielectric material of permittivity ϵ\epsilon sliding freely in a cylindrical capacitor experiences a mechanical force FxF_x of electrical origin in the axial direction a^x\hat{a}_x shown in Fig. P2. Show that Fx=V02π(ϵ−ϵ0)2ln⁡(b/a)a^xF_x = \frac{V_0^2 \pi (\epsilon - \epsilon_0)}{2 \ln(b/a)} \hat{a}_x.
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核心觀念

這題考察定電壓下，電容器的電場如何對介電質產生機械力。介電質插入電容器後，電容值會改變；定電壓 V0V_0 時，沿插入方向的力可由電容的變化率求得：

Fx=12V02dCdxF_x=\frac{1}{2}V_0^2\frac{dC}{dx}

其中 xx 是介電質插入的長度。因為 ϵ>ϵ0\epsilon>\epsilon_0，介電質插入會增加電容，力的方向因此指向插入方向 a^x\hat{a}_x。

解題方法

設圓柱電容器內、外導體半徑分別為 aa、bb，有效長度為 LL。介電質插入長度 xx，其餘長度 L−xL-x 填充真空。兩段沿軸向並聯，總電容為

C(x)=2πϵxln⁡(b/a)+2πϵ0(L−x)ln⁡(b/a)C(x)=\frac{2\pi\epsilon x}{\ln(b/a)} +\frac{2\pi\epsilon_0(L-x)}{\ln(b/a)}

整理後，

C(x)=2πln⁡(b/a)[ϵ0L+(ϵ−ϵ0)x]C(x)=\frac{2\pi}{\ln(b/a)} \left[\epsilon_0L+(\epsilon-\epsilon_0)x\right]

因此

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第 3 題20 分

  1. (計算題)(20%) Fig. P3 shows a parallel-plate waveguide discontinuity. Please find the power reflection coefficients for TE1,0TE_{1,0} and TM1,0TM_{1,0} waves of frequency f=6f= 6 GHz incident on the junction from the free space side.
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核心觀念

介質在接面兩側改變時，入射的波導模態會因模態阻抗不同而反射。平行板間距為 a=5 cm=0.05 ma=5\text{ cm}=0.05\text{ m}，對 TE1,0TE_{1,0} 與 TM1,0TM_{1,0} 模態，截止波數為

kc=πa=20π rad/mk_c=\frac{\pi}{a}=20\pi\ \text{rad/m}

兩側的介電常數分別為 ϵ1=ϵ0\epsilon_1=\epsilon_0、ϵ2=4ϵ0\epsilon_2=4\epsilon_0，磁導率皆為 μ0\mu_0。反射係數由兩側模態阻抗計算：

Γ=Z2−Z1Z2+Z1,R=∣Γ∣2\Gamma=\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}, \qquad \mathcal{R}=|\Gamma|^2

其中 R\mathcal{R} 是功率反射係數。

解題方法

先求兩側的傳播常數，再依模態類型代入波導阻抗。頻率 f=6 GHzf=6\text{ GHz}，自由空間波數為

k0=2πfc=40π rad/mk_0=\frac{2\pi f}{c}=40\pi\ \text{rad/m}

介質 2 的波數為 k2=2k0=80π rad/mk_2=2k_0=80\pi\ \text{rad/m}。因此兩側的縱向傳播常數為

β1=k02−kc2=203π rad/m\beta_1=\sqrt{k_0^2-k_c^2}=20\sqrt{3}\pi\ \text{rad/m} β2=k22−kc2=2015π rad/m\beta_2=\sqrt{k_2^2-k_c^2}=20\sqrt{15}\pi\ \text{rad/m}

兩側的 β\beta 皆為實數，表示這兩個模態在兩側都能傳播。

TE1,0TE_{1,0} 模態

TETE 模態的波阻抗為 ZTE=ωμ/βZ_{\mathrm{TE}}=\omega\mu/\beta。兩側磁導率相同，因此

Z2Z1=β1β2=15\frac{Z_2}{Z_1}=\frac{\beta_1}{\beta_2}=\frac{1}{\sqrt{5}}

故電場振幅反射係數及功率反射係數為

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第 4 題20 分

  1. (a)(推導)(20%) Please derive the transmitted intensity ratio It/IiI_t/I_i of a Fabry-Perot etalon as shown in Fig. P4.
    ItIi=(1−R)2(1−R)2+4Rsin⁡2(δ/2)\frac{I_t}{I_i} = \frac{(1-R)^2}{(1-R)^2 + 4R \sin^2(\delta/2)}
    where R=∣Γ∣2R = |\Gamma|^2, δ=k0nL−2ϕ=4πndλ0−2ϕ\delta = k_0 n L - 2\phi = \frac{4\pi n d}{\lambda_0} - 2\phi, Ii=∣Ei∣2I_i = |E_i|^2, and It=∣Et∣2I_t = |E_t|^2.
    Assume normal incidence. EiE_i and EtE_t are the amplitudes of incident and transmitted electric fields, respectively. nn, Γ\Gamma, dd, and λ0\lambda_0 are the refractive index of the cavity, the amplitude reflected coefficient at the interface, the length of the cavity, and the wavelength in free space, respectively.
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    (b)(計算題) (5%) The maximum transmission of unity occurs for δ=2mπ\delta = 2m\pi, m=1,2,3,…m = 1, 2, 3, \dots. Please find nearest integer mm for d=300d = 300 μ\mum, n=3.5n = 3.5, and λ0=850\lambda_0 = 850 nm.
    (c) (計算題) (5%) The wavelength satisfies such mm is called the resonant wavelength λm\lambda_m. (λm\lambda_m is close to 850 nm.) Please find the wavelength difference between two resonant modes, Δλ=∣λm+1−λm∣\Delta\lambda = |\lambda_{m+1}-\lambda_m|.
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核心觀念

Fabry–Perot etalon 內有多束光因反覆反射而相干疊加。總透射場可寫成等比級數；取其振幅平方，即得透射強度比。單一界面的功率反射率記為 R=∣Γ∣2R=|\Gamma|^2。

解題方法

讀圖可見，Fig. P4 是厚度為 dd、折射率為 nn 的平行平板腔；EiE_i 從左側入射，ErE_r 從左側反射，EtE_t 從右側透射，題目設定正入射。光在腔內每往返一次走過距離 2d2d，因此往返相位差為 δ=2k0nd=4πnd/λ0\delta=2k_0nd=4\pi nd/\lambda_0。

(a) 推導透射強度比

每束透射光相較於前一束，多經歷一次腔內往返，其相對振幅因子為 Re−jδRe^{-j\delta}。入射與出射兩界面的透射振幅係數乘積為 1−R1-R，故總透射場為

EtEi=(1−R)e−jk0nd[1+Re−jδ+(Re−jδ)2+⋯ ]=(1−R)e−jk0nd1−Re−jδ.\frac{E_t}{E_i} =(1-R)e^{-jk_0nd} \left[1+Re^{-j\delta}+(Re^{-j\delta})^2+\cdots\right] =\frac{(1-R)e^{-jk_0nd}}{1-Re^{-j\delta}}.

公共相位因子 e−jk0nde^{-jk_0nd} 的絕對值為 11，因此

ItIi=∣EtEi∣2=(1−R)2∣1−Re−jδ∣2=(1−R)21+R2−2Rcos⁡δ.\frac{I_t}{I_i} =\left|\frac{E_t}{E_i}\right|^2 =\frac{(1-R)^2}{|1-Re^{-j\delta}|^2} =\frac{(1-R)^2}{1+R^2-2R\cos\delta}.

利用 1−cos⁡δ=2sin⁡2(δ/2)1-\cos\delta=2\sin^2(\delta/2)，分母可改寫為

1+R2−2Rcos⁡δ=(1−R)2+4Rsin⁡2(δ/2),1+R^2-2R\cos\delta =(1-R)^2+4R\sin^2(\delta/2),

所以

ItIi=(1−R)2(1−R)2+4Rsin⁡2(δ/2).\boxed{\frac{I_t}{I_i} =\frac{(1-R)^2}{(1-R)^2+4R\sin^2(\delta/2)}}.

當 δ=2mπ\delta=2m\pi 時，sin⁡2(δ/2)=0\sin^2(\delta/2)=0，透射強度比為 11，符合題目所述的最大透射條件。

(b) 求最接近的整數 mm

由 δ=4πnd/λ0=2mπ\delta=4\pi nd/\lambda_0=2m\pi，可得

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