112 年 國立臺灣大學光電工程學系碩士班《電磁學（C）》

核心觀念

均勻平面波的相位可寫成

$$\omega t-\beta x$$

其中：

• $\omega$：角頻率，單位為 $\mathrm{rad/s}$
• $\beta$：相位常數，單位為 $\mathrm{rad/m}$
• 波的傳播方向由相位形式判定
• 電場方向由單位向量判定
• 自由空間中滿足 $\beta=\omega/c$
• 波長為 $\lambda=2\pi/\beta$
• 波進入介質時，頻率由波源決定，跨越介面後保持不變

題目給定

$$\mathbf{E}=E_0\cos(10\pi\times10^{12}t-\beta x)\hat{\mathbf a}_z$$

因此角頻率為

$$\omega=10\pi\times10^{12} =10^{13}\pi\ \mathrm{rad/s}$$

---

(a) 波的傳播方向

解題方法

固定相位滿足

$$\omega t-\beta x=\text{常數}$$

整理得

$$x=\frac{\omega}{\beta}t-\frac{\text{常數}}{\beta}$$

當時間 $t$ 增加時，$x$ 增加，因此波向 $+x$ 方向傳播。

選項分析

• $+x$：正確。相位為 $\omega t-\beta x$，代表沿 $+x$ 傳播。
• $-x$：錯誤。沿 $-x$ 傳播的形式應為 $\cos(\omega t+\beta x)$。
• $+y$：錯誤。式中空間變數為 $x$，不是 $y$。
• $-y$：錯誤。式中空間變數為 $x$，不是 $y$。
• $+z$：錯誤。$z$ 是電場方向，不是傳播方向。
• $-z$：錯誤。$z$ 軸方向由電場單位向量決定，並非傳播方向。

---

(b) 電場方向

解題方法

電場向量中的單位向量為 $\hat{\mathbf a}_z$，因此電場沿 $z$ 軸方向。

選項分析

• $x$：錯誤。$x$ 是波的傳播方向，不是電場方向。
• $y$：錯誤。電場表示式中沒有 $\hat{\mathbf a}_y$。
• $z$：正確。$\mathbf E$ 包含 $\hat{\mathbf a}_z$，故電場沿 $+z$ 方向；若 $E_0\cos(\cdots)$ 為負，瞬時方向會反向，但其極化軸仍為 $z$ 軸。

---

(c) 求相位常數 $\beta$

解題方法

自由空間中的平面波有

$$\beta=\frac{\omega}{c}$$

代入

$$\omega=10^{13}\pi\ \mathrm{rad/s}, \qquad c=3\times10^8\ \mathrm{m/s}$$

得到

$$\beta = \frac{10^{13}\pi}{3\times10^8} = \frac{\pi}{3}\times10^5\ \mathrm{rad/m}$$

因此

$$\boxed{\beta=\frac{100000\pi}{3}\ \mathrm{rad/m}}$$

數值約為

$$\boxed{\beta\approx1.0472\times10^5\ \mathrm{rad/m}}$$

---

(d) 求波長

解題方法一：由 $\beta$ 求波長

相位常數與波長的關係為

$$\beta=\frac{2\pi}{\lambda}$$

因此

核心觀念

此題考查平行板傳輸線的單位長度電容 $C$、電感 $L$ 與特性阻抗 $Z_0$。

兩種介電質沿著電場方向分層，因此電容等效為「串聯」；而磁場分布在兩層介質中，電感則依各層的磁導率計算。基本公式為

$$C=\frac{w}{\displaystyle\sum_i\frac{d_i}{\epsilon_i}}$$ $$L=\frac{\displaystyle\sum_i \mu_i d_i}{w}$$ $$Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}$$

其中 $w=0.2\ \text{m}$ 為平行板寬度，兩層厚度皆為 $d_1=d_2=0.01\ \text{m}$。

題目給定

$$\epsilon_1=9\epsilon_0,\qquad \mu_1=\mu_0$$ $$\epsilon_2=3\epsilon_0,\qquad \mu_2=3\mu_0$$

且

$$\mu_1\epsilon_1=\mu_2\epsilon_2=9\mu_0\epsilon_0$$

因此兩層介質的波速相同，可維持 TEM 模態傳輸。

解題方法

1. 計算單位長度電容 $C$

兩層介電質沿厚度方向串聯，所以每單位長度的電容為

$$C=\frac{w}{\dfrac{d_1}{\epsilon_1}+\dfrac{d_2}{\epsilon_2}}$$

代入數值：

$$C= \frac{0.2} {\dfrac{0.01}{9\epsilon_0}+\dfrac{0.01}{3\epsilon_0}}$$

整理分母：

$$\frac{0.01}{9\epsilon_0}+\frac{0.01}{3\epsilon_0} = \frac{0.01}{\epsilon_0}\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{3}\right) = \frac{0.01}{\epsilon_0}\cdot\frac{4}{9}$$

因此

$$C = \frac{0.2}{0.01(4/9)/\epsilon_0} = 45\epsilon_0$$

所以

$$\boxed{C=45\epsilon_0\ \text{F/m}}$$

數值約為

$$C\approx 3.98\times 10^{-10}\ \text{F/m}$$

2. 計算單位長度電感 $L$

核心觀念

這題考平行板電容器的電場力。兩板重疊面積為 $ts$、間距為 $g$，忽略邊緣效應時，電容為

$$C=\frac{\epsilon_0 ts}{g}.$$

題目指定電壓 $V$ 固定，因此用電場共能 $W'=\frac12 CV^2$ 求力；某方向的力等於共能對該方向位移的偏導數。

解題方法

先寫出共能：

$$W'=\frac12 CV^2 =\frac{\epsilon_0 t s V^2}{2g}.$$

$x$ 方向垂直於板面，電力會使板間距縮小。以 $g$ 表示間距，力的大小為

$$|F_x|=-\frac{\partial W'}{\partial g} =\frac{\epsilon_0 t s V^2}{2g^2}.$$

核心觀念

介質交界面的反射由兩側的模態波阻抗決定。TEM、TE 與 TM 模態的波阻抗分別為

$$Z_{\mathrm{TEM}}=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}, \qquad Z_{\mathrm{TE}}=\frac{\omega\mu}{\beta}, \qquad Z_{\mathrm{TM}}=\frac{\beta}{\omega\epsilon}$$

其中 $\beta$ 是沿波導方向的傳播常數。電場反射係數與功率反射係數為

$$\Gamma=\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}, \qquad R=|\Gamma|^2$$

TE 與 TM 模態受截止頻率影響，不能直接套用 TEM 的介質本質阻抗。

解題方法

讀圖：兩平行金屬板間距 $d=5\,\mathrm{cm}$，交界面在 $z=0$；左側為 $\epsilon_0,\mu_0$，右側（網點區）標示為 $9\epsilon_0,\mu_0$，即 $\epsilon_r=9$、$\mu_r=1$。

頻率與自由空間波數：

$$f=7.5\times10^9\,\mathrm{Hz}, \qquad k_0=\frac{2\pi f}{c}=50\pi\ \mathrm{rad/m}$$

TE$_{1,0}$ 與 TM$_{1,0}$ 的截止波數相同：

$$k_c=\frac{\pi}{d}=20\pi\ \mathrm{rad/m}$$

截止頻率：左側 $f_{c1}=\dfrac{c}{2d}=3\ \mathrm{GHz}$，右側 $f_{c2}=\dfrac{c}{2d\sqrt{9}}=1\ \mathrm{GHz}$，$7.5\ \mathrm{GHz}$ 在兩側都能傳播。兩側傳播常數：

$$\beta_1=\sqrt{k_0^2-k_c^2}=10\pi\sqrt{21}, \qquad \beta_2=\sqrt{9k_0^2-k_c^2}=10\pi\sqrt{221}$$

（a）TEM 模態

核心觀念

矩形波導填充均勻、無耗介電質時，各模態的截止頻率為

$$f_{c,mn} = \frac{1}{2\sqrt{\mu\epsilon}} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2+\left(\frac{n}{b}\right)^2}.$$

其中：

• TE 模態：$m,n$ 不可同時為 $0$。
• TM 模態：$m\ge 1,\ n\ge 1$。
• 只有 $f>f_c$ 的模態能傳播。
• $f<f_c$ 時為截止狀態，不能傳播。

傳播常數可寫為

$$\gamma_z=\alpha_z+j\beta_z.$$

本題介質為無耗介質，因此

$$\alpha_z=0.$$

題目中的 $A_z$ 按波導常用記號解讀為衰減常數 $\alpha_z$，故所有傳播模態皆有 $A_z=\alpha_z=0$。

---

已知條件

$$a=3.75\text{ cm}=0.0375\text{ m}, \qquad b=1.25\text{ cm}=0.0125\text{ m},$$ $$\epsilon=6.25\epsilon_0, \qquad \mu=\mu_0, \qquad f=5.000\text{ GHz}.$$

介質中的波速為

$$v=\frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}} = \frac{c}{\sqrt{6.25}} = \frac{3\times10^8}{2.5} = 1.2\times10^8\text{ m/s}.$$

截止頻率公式可整理為

$$f_{c,mn} = \frac{c}{2\sqrt{\epsilon_r}} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2+\left(\frac{n}{b}\right)^2}.$$

由於

$$\frac{c}{2\sqrt{\epsilon_r}a} = \frac{3\times10^8}{2(2.5)(0.0375)} = 1.6\text{ GHz},$$ $$\frac{c}{2\sqrt{\epsilon_r}b} = \frac{3\times10^8}{2(2.5)(0.0125)} = 3.2\text{ GHz},$$

因此

$$f_{c,mn} = \sqrt{(1.6m)^2+(3.2n)^2}\text{ GHz}.$$

---

解題方法：找出所有傳播模態

要求

$$f_{c,mn}<5\text{ GHz}.$$

$n=0$

$$f_{c,m0}=1.6m\text{ GHz}.$$

因此：

• $m=1$：$f_c=1.6$ GHz
• $m=2$：$f_c=3.2$ GHz
• $m=3$：$f_c=4.8$ GHz
• $m=4$：$f_c=6.4$ GHz，不傳播

所以得到

$$\mathrm{TE}_{10},\quad \mathrm{TE}_{20},\quad \mathrm{TE}_{30}.$$

$n=1$

$$f_{c,m1} = \sqrt{(1.6m)^2+3.2^2}\text{ GHz}.$$

• $m=0$：

$$f_{c,01}=3.2\text{ GHz}$$

得到 $\mathrm{TE}_{01}$。

• $m=1$：

$$f_{c,11} = \sqrt{1.6^2+3.2^2} = \sqrt{12.8} = 3.578\text{ GHz}$$

得到 $\mathrm{TE}_{11}$ 與 $\mathrm{TM}_{11}$。

• $m=2$：

$$f_{c,21} = \sqrt{3.2^2+3.2^2} = 4.525\text{ GHz}$$

這個模態也滿足 $f_c<5$ GHz，因此 $\mathrm{TE}_{21}$ 也會傳播。

• $m=3$：

$$f_{c,31} = \sqrt{4.8^2+3.2^2} = 5.766\text{ GHz}$$

不傳播。

$n=2$

即使 $m=0$，

$$f_{c,02}=2(3.2)=6.4\text{ GHz}>5\text{ GHz},$$

因此 $n\ge2$ 的模態皆不傳播。

故所有傳播模態為

$$\boxed{ \mathrm{TE}_{10},\ \mathrm{TE}_{20},\ \mathrm{TE}_{30},\ \mathrm{TE}_{01},\ \mathrm{TE}_{11},\ \mathrm{TE}_{21},\ \mathrm{TM}_{11},\ \mathrm{TM}_{21} }$$

---

各模態所需公式

介質中的波數為

$$k=\omega\sqrt{\mu\epsilon} = \frac{2\pi f}{v} = \frac{2\pi(5\times10^9)}{1.2\times10^8} = 261.80\text{ rad/m}.$$

縱向相位常數：

$$\beta_z = \sqrt{k^2-k_c^2} = k\sqrt{1-\left(\frac{f_c}{f}\right)^2}.$$

縱向相速度：