112 年 國立臺灣大學光電工程學系碩士班《近代物理學（B）》

核心觀念

本題考查 康普頓散射（Compton scattering）。當 X 光子與近似自由、靜止的電子碰撞時，光子將部分能量與動量傳給電子，因此散射後的 X 光波長變長，且波長改變量為

$$\Delta\lambda=\lambda_2-\lambda_1 =\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta),$$

其中：

• $h$：普朗克常數
• $m_e$：電子質量
• $c$：光速
• $\theta$：光子散射角
• $\lambda_1$：入射 X 光波長
• $\lambda_2$：散射後 X 光波長

康普頓波長

$$\lambda_C=\frac{h}{m_ec}=2.426\ \text{pm}.$$

題目附圖與所述題目不相符，以下依標準康普頓散射裝置，將 $\lambda_1$ 視為入射光波長、$\lambda_2$ 視為散射光波長作答。

(a) 現象名稱

不同散射角下，散射 X 光的波長與未散射 X 光不同，且散射波長隨角度改變，此現象稱為：

$$\boxed{\text{康普頓散射（Compton scattering）}}$$

(b) X 光子的能量

光子能量為

$$E=\frac{hc}{\lambda}.$$

已知

$$\lambda=4.5\ \text{pm}=4.5\times10^{-12}\ \text{m}.$$

代入 $h=6.626\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$、$c=3.00\times10^8\ \text{m/s}$：

$$E=\frac{(6.626\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {4.5\times10^{-12}}$$ $$E=4.42\times10^{-14}\ \text{J}.$$

換算成電子伏特：

核心觀念

本題考查高能電子的經典力學與相對論力學差異，以及德布羅意物質波：

• 經典動能：
  $K=\frac{1}{2}mv^2$
• 相對論總能量：
  $E=\gamma mc^2=mc^2+K$
  其中
  $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
• 德布羅意波長：
  $\lambda=\frac{h}{p}$
• 相對論能量與動量關係：
  $E^2=p^2c^2+m^2c^4$

電子的靜止能量為

$$mc^2=(9.11\times10^{-31})(2.998\times10^8)^2 \approx 8.19\times10^{-14}\ \text{J}$$

換算成電子伏特：

$$mc^2\approx 0.511\ \text{MeV}$$

由於電子動能 $2\ \text{MeV}$ 已遠大於其靜止能量 $0.511\ \text{MeV}$，必須使用相對論修正。

解題方法

(a) 經典力學預測的速度

電子動能為

$$K=2\ \text{MeV} =2\times10^6(1.602\times10^{-19}) \approx 3.204\times10^{-13}\ \text{J}$$

代入經典動能公式：

$$v_{\mathrm{cl}} =\sqrt{\frac{2K}{m}}$$

因此

$$v_{\mathrm{cl}} =\sqrt{\frac{2(3.204\times10^{-13})}{9.11\times10^{-31}}}$$ $$v_{\mathrm{cl}} \approx 8.39\times10^8\ \text{m/s}$$

此結果約為

$$v_{\mathrm{cl}}\approx 2.80c$$

超過光速，顯示經典公式在此能量下已失效。這個結果不是電子的實際速度，而是經典力學外推所得的非物理解。

相對論力學的速度

相對論中：

$$K=(\gamma-1)mc^2$$

所以

$$\gamma=1+\frac{K}{mc^2} =1+\frac{2}{0.511} \approx 4.914$$

由

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

可得

$$\frac{v}{c} =\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}$$

代入 $\gamma=4.914$：

$$\frac{v}{c} =\sqrt{1-\frac{1}{(4.914)^2}} \approx 0.979$$

因此電子速度為

核心觀念

雷射作用需要在躍遷的上能階與下能階之間形成粒子數反轉，並以光子誘發受激放射。能階差決定放射光子的能量與波長：

$$\Delta E = E_{\text{上}}-E_{\text{下}}=h\nu=\frac{hc}{\lambda}$$

較長壽命的能階較容易累積粒子；短壽命能階則會較快排空。題目表中 $E_2$ 的壽命為 $10^{-8}\,\text{s}$，$E_1$ 的壽命為 $10^{-3}\,\text{s}$。

解題方法

(a) 沒有幫浦時，原子處於自然平衡，低能階粒子數多於高能階，無法在任一躍遷形成粒子數反轉，因此三種材料都不會自行成為雷射。

(b) 幫浦將 $E_0$ 的原子激發至 $E_2$；由於題目指定不會直接由 $E_2$ 回到 $E_0$，原子會先落至 $E_1$。$E_1$ 的壽命比 $E_2$ 長 $10^5$ 倍，能在 $E_1$ 累積。再比較各材料的 $E_1\to E_0$ 躍遷能量：

• 材料 A：$\Delta E=1.2-0=1.2\,\text{eV}$。
• 材料 B：$\Delta E=0.45-0=0.45\,\text{eV}$。
• 材料 C：$\Delta E=1.95-0=1.95\,\text{eV}$。

紅光的光子能量約為 $1.6$ 至 $2.0\,\text{eV}$，所以材料 C 的 $E_1\to E_0$ 躍遷符合紅光條件。其波長為

核心觀念

本題考查位置算符 $x$ 與動量算符 $p$ 的正則對易關係：

$$[x,p]=i\hbar$$

因此

$$[p,x]=-[x,p]=-i\hbar$$

期望值定義為

$$\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle$$

所以題目中的量可合併為對易子的期望值：

$$\langle px\rangle-\langle xp\rangle = \langle\psi|(px-xp)|\psi\rangle = \langle [p,x]\rangle$$

解題方法

由位置與動量的基本對易關係：

$$[x,p]=i\hbar$$

交換算符順序後，對易子變號：

$$[p,x]=-[x,p]=-i\hbar$$

因此

$$\langle px\rangle-\langle xp\rangle = \langle[p,x]\rangle = \langle-i\hbar\rangle$$

由於 $-i\hbar$ 是常數，其期望值仍為自身：

$$\boxed{\langle px\rangle-\langle xp\rangle=-i\hbar}$$

也可直接使用位置表象驗算。令

$$p=-i\hbar\frac{d}{dx}$$

則對任意波函數 $\psi(x)$，

觀念與推導

考量原子核質量的修正，波耳氫原子模型的發射光譜波長 $\lambda$ 與折合質量（reduced mass）$\mu$ 成反比：
$\lambda \propto \frac{1}{\mu}$

設電子質量為 $m_e$，原始氫原子核（質子）質量為 $M_p$（已知 $\frac{m_e}{M_p} \approx \frac{1}{1836}$）。
氫原子的折合質量 $\mu_H$ 為：
$\mu_H = \frac{m_e M_p}{m_e + M_p} = \frac{m_e}{1 + \frac{m_e}{M_p}}$

新原子的核質量為 $M_{\text{new}} = N M_p$，其折合質量 $\mu_{\text{new}}$ 為：
$\mu_{\text{new}} = \frac{m_e (N M_p)}{m_e + N M_p} = \frac{m_e}{1 + \frac{m_e}{N M_p}}$

兩者波長比值等於折合質量的反比：
$\frac{\lambda_H}{\lambda_{\text{new}}} = \frac{\mu_{\text{new}}}{\mu_H} = \frac{1 + \frac{m_e}{M_p}}{1 + \frac{m_e}{N M_p}}$

核心觀念：單電子原子的量子數約束條件

對氫原子或類氫系統（hydron），電子態的四個量子數 $(n, l, m_l, m_s)$ 必須符合以下物理限制：

1. 主量子數 $n$：必須為正整數，即 $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$。
2. 角量子數 $l$：必須為非負整數，且滿足 $0 \le l \le n - 1$。
3. 磁量子數 $m_l$：必須為整數，且滿足 $-l \le m_l \le +l$。
4. 自旋磁量子數 $m_s$：對單一電子，其值固定為 $m_s = \pm \frac{1}{2}$。

---

各選項分析說明

• (a) $(2, 2, -1, +\frac{1}{2})$：不允許（不合法）
  當 $n = 2$ 時，角量子數 $l$ 的最大允許值為 $n - 1 = 1$。

核心觀念

$3d$ 軌域的角動量量子數為

$$l=2$$

因此磁量子數可取

$$m_l=-2,-1,0,+1,+2$$

每一個 $m_l$ 軌域最多容納兩個電子，且兩電子自旋必須相反：

$$m_s=\pm \frac12$$

這是泡利不相容原理的要求。總軌道磁量子數與總自旋磁量子數分別為

$$M_L=\sum_i m_{l,i},\qquad M_S=\sum_i m_{s,i}$$

---

（a）分別求最大可能的總 $m_l$ 與總 $m_s$

① 最大可能的總 $m_l$

為使 $M_L$ 最大，應優先填入 $m_l$ 最大的軌域，同時遵守每個軌域最多兩個電子的限制。

6 個電子的填法為：

$m_l$	$+2$	$+1$	$0$	$-1$	$-2$
電子數	2	2	2	0	0

因此

$$M_L^{\max} =2(+2)+2(+1)+2(0) =6$$

所以最大可能的總 $m_l$ 為

$$\boxed{M_L^{\max}=6}$$

此時前三個軌域均為成對電子，每一對電子的自旋互相抵消，因此該填法的總自旋為 $M_S=0$。但本小題的 $M_L$ 與 $M_S$ 是分別求其最大值。

---

② 最大可能的總 $m_s$

$3d$ 層共有 5 個不同的 $m_l$ 軌域。依泡利不相容原理，每個軌域最多放入一個自旋向上的電子，因此 6 個電子最多只能有 5 個自旋向上，剩下的第 6 個電子必須與其中一個電子配對，成為自旋向下。

因此

$$M_S^{\max} =5\left(+\frac12\right) +1\left(-\frac12\right)$$ $$M_S^{\max} =\frac52-\frac12=2$$

所以最大可能的總 $m_s$ 為

$$\boxed{M_S^{\max}=2}$$

---

核心觀念

在 Maxwell–Boltzmann 分布下，能量為 $E_i$ 的非簡併能階，其粒子數滿足

$$N_i \propto e^{-E_i/(kT)}。$$

由於三個能階皆為非簡併，簡併度 $g_i=1$，因此不需額外乘上簡併度因子。以基態 $E_0=0$ 的粒子數作為基準：

$$\frac{N_i}{N_0} = e^{-(E_i-E_0)/(kT)} = e^{-E_i/(kT)}。$$

解題方法

已知

$$E_0=0,\qquad E_1=0.045\ \text{eV},\qquad E_2=0.135\ \text{eV},$$ $$T=650\ \text{K},\qquad k=8.617\times10^{-5}\ \text{eV/K}。$$

先計算熱能尺度：

$$kT=(8.617\times10^{-5})(650) =0.0560105\ \text{eV}。$$

以基態粒子數 $N_0$ 為基準，基態比例為

$$\frac{N_0}{N_0}=1。$$

第一激發態的相對粒子數為

$$\frac{N_1}{N_0} = e^{-0.045/0.0560105} \approx e^{-0.8034} \approx 0.448。$$

第二激發態的相對粒子數為

$$\frac{N_2}{N_0} = e^{-0.135/0.0560105} \approx e^{-2.4103} \approx 0.0898。$$

因此三個能階的相對粒子數為

$$\boxed{N_0:N_1:N_2=1:0.448:0.0898}。$$

核心觀念

本題考查三個概念：

1. 半導體能隙與發光波長的關係：
   $E_{\gamma}=\frac{hc}{\lambda}\simeq \frac{1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}}{\lambda(\text{nm})}$

2. 合金能隙的組成估算。題目未提供能隙彎曲參數，因此採用理想線性內插：

$$E_g(\mathrm{In}_x\mathrm{Ga}_{1-x}\mathrm{N}) =xE_g(\mathrm{InN})+(1-x)E_g(\mathrm{GaN})$$

3. 量子井中的能帶躍遷能量包含材料能隙與電子、電洞的量子侷限能：
   $E_{\text{em}}=E_g+E_{e,\text{conf}}+E_{h,\text{conf}}$

---

(a) 產生 550 nm 綠光所需的 In 組成

550 nm 光子的能量為

$$E_{\gamma}=\frac{1240}{550}\ \text{eV} =2.255\ \text{eV}$$

採用線性能隙模型：

$$E_g= x(0.7)+(1-x)(3.4)$$

整理得

$$E_g=3.4-2.7x$$

令其等於 550 nm 光子的能量：

$$3.4-2.7x=2.255$$

因此

$$x=\frac{3.4-2.255}{2.7} \simeq 0.424$$

所以

$$\boxed{x\simeq 0.42}$$

亦即材料約為 $\mathrm{In}_{0.42}\mathrm{Ga}_{0.58}\mathrm{N}$。

---

(b) GaN 障壁量子井的 InGaN 組成

量子井發光時，電子與電洞除了跨越井材料的能隙，還必須支付量子侷限能，因此

$$E_{\text{em}} =E_g(\mathrm{InGaN})+E_{e,\text{conf}}+E_{h,\text{conf}}$$

要維持 550 nm 發光，總躍遷能量仍須為

$$E_{\text{em}}=2.255\ \text{eV}$$

因此量子井材料的本身能隙必須小於 2.255 eV：

$$E_g(\mathrm{InGaN}) =2.255-\left(E_{e,\text{conf}}+E_{h,\text{conf}}\right)$$

對寬度為 $L$ 的簡化無限深量子井，

$$E_{e,\text{conf}}+E_{h,\text{conf}} = \frac{\hbar^2\pi^2}{2L^2} \left(\frac{1}{m_e^*}+\frac{1}{m_h^*}\right)$$

題目未給量子井寬度、電子有效質量、電洞有效質量及實際能帶偏移，因此無法得到唯一的量子井組成。若只做最簡化估算、忽略量子侷限能，則

$$x_{\text{QW}}\simeq x_{\text{bulk}}\simeq 0.42$$

但若考慮量子侷限，則必須有

$$x_{\text{QW}}>0.42$$

因為增加 In 含量會降低材料能隙，以補償量子侷限造成的能量上升。