113 年 國立臺灣大學光電工程學系碩士班《近代物理學（B）》

核心觀念

本題考查狹義相對論中的「相對速度」與「相對論速度合成公式」。

當兩物體沿同一直線、同方向運動時，若在參考系 $S'$ 中物體速度為 $u'$，而 $S'$ 相對地球參考系 $S$ 以速度 $v$ 運動，則物體相對地球的速度為

$$u=\frac{u'+v}{1+\dfrac{u'v}{c^2}},$$

其中 $c$ 為真空中的光速。

本題中：

• 第一艘太空船相對地球速度：$v=0.9c$
• 第二艘太空船相對第一艘太空船速度：$u'=0.3c$
• 兩艘太空船同方向運動

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解題方法

第一艘太空船不是地球參考系，因此不能直接將 $0.9c$ 與 $0.3c$ 以牛頓力學的方式相加。必須使用狹義相對論的速度合成公式。

若直接使用古典力學：

$$0.9c+0.3c=1.2c,$$

會得到超過光速的結果，這正是相對論速度合成公式所要修正的情況。

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（a）第二艘太空船能否超過光速？

不能。

根據狹義相對論，任何具有靜止質量的物體，其相對任何慣性參考系的速度都不能達到或超過真空光速 $c$。

本題中第二艘太空船相對第一艘太空船的速度只有 $0.3c$，其相對地球的速度需使用相對論速度合成公式計算，結果仍會小於 $c$。

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（b）第二艘太空船相對地球的速度

代入速度合成公式：

$$u=\frac{0.3c+0.9c}{1+\dfrac{(0.3c)(0.9c)}{c^2}}.$$

分子為：

$$0.3c+0.9c=1.2c.$$

分母為：

$$1+\frac{0.27c^2}{c^2}=1+0.27=1.27.$$

因此：

$$u=\frac{1.2c}{1.27}$$

核心觀念

本題考查光電效應中的兩個基本概念：

1. 可見光波長範圍：約為 $380\sim750\ \text{nm}$。
2. 光子能量與光電流關係：

$$E_{\gamma}=\frac{hc}{\lambda}$$

其中 $E_{\gamma}$ 為單一光子能量。若每秒入射光子數為 $N_{\gamma}$，且其中 $1\%$ 能產生光電子，則每秒放出的光電子數為

$$N_e=0.01N_{\gamma}.$$

解題方法與計算

（a）是否為可見光？

題目給定波長

$$\lambda=350\ \text{nm}.$$

可見光波長約為 $380\sim750\ \text{nm}$，而

$$350\ \text{nm}<380\ \text{nm}.$$

因此此光屬於紫外光，不是可見光。

也可利用光子能量判斷其量級：

$$E_{\gamma}=\frac{hc}{\lambda} =\frac{1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}}{350\ \text{nm}} \approx3.54\ \text{eV}.$$

此能量大於鉀的功函數 $2.2\ \text{eV}$，因此能引發光電效應，但「能否產生光電子」與「是否為可見光」是兩個不同判斷。

（b）每秒放出的光電子數

第一步：計算照射在鉀表面的總功率

光強度為

$$I=1\ \text{W/m}^2.$$

鉀表面積為

$$A=1\ \text{cm}^2=1.0\times10^{-4}\ \text{m}^2.$$

因此入射光功率為

$$P=IA =(1\ \text{W/m}^2)(1.0\times10^{-4}\ \text{m}^2) =1.0\times10^{-4}\ \text{W}.$$

這表示每秒入射的光能量為

$$1.0\times10^{-4}\ \text{J}.$$

第二步：計算單一光子的能量

使用

$$E_{\gamma}=\frac{hc}{\lambda},$$

其中

核心觀念

本題考查：

1. 德布羅意波長與動量的關係
   $\lambda=\frac{h}{p}$

2. 相對論性能量—動量關係
   $E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2$

3. 動能與總能量的關係
   $K=E-m_0c^2$

4. 物質波的群速度
   $v_g=\frac{d\omega}{dk}=\frac{dE}{dp}$

電子的德布羅意波長為 $2\times10^{-12}\ \text{m}$，已經短於電子康普頓波長量級，電子動量不可用非相對論近似處理，必須使用相對論公式。

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解題方法

已知條件

$$\lambda=2\times10^{-12}\ \text{m}$$ $$m_0c^2=511\ \text{keV}$$

使用常數：

$$hc=1.23984\ \text{keV}\cdot\text{nm}$$

由於

$$2\times10^{-12}\ \text{m}=2\times10^{-3}\ \text{nm}=0.002\ \text{nm}$$

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（a）電子的動能

第一步：由德布羅意波長求動量

由

$$p=\frac{h}{\lambda}$$

可得

$$pc=\frac{hc}{\lambda}$$

因此

$$pc=\frac{1.23984\ \text{keV}\cdot\text{nm}}{0.002\ \text{nm}} =619.92\ \text{keV}$$

第二步：求電子總能量

相對論性能量—動量關係為

$$E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2$$

代入數值：

$$E=\sqrt{(619.92\ \text{keV})^2+(511\ \text{keV})^2}$$ $$E\approx 803.4\ \text{keV}$$

第三步：求動能

總能量由靜止能量與動能組成：

$$E=K+m_0c^2$$

所以

$$K=E-m_0c^2$$ $$K=803.4-511$$ $$\boxed{K\approx292\ \text{keV}}$$

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（b）電子的群速度

群速度公式

物質波的群速度定義為

$$v_g=\frac{d\omega}{dk}$$

由

$$E=\hbar\omega,\qquad p=\hbar k$$

可得

核心觀念

本題考查雷射的定義、光子產生機制，以及雷射光與一般熱光源的差異。雷射名稱 LASER 是 Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation 的縮寫，中文為「受激輻射放大光」。

雷射的核心物理過程是受激放射。考生需掌握三項關鍵：

1. 受激放射的光子特性。
2. 如何建立粒子數反轉。
3. 如何利用光學共振腔使光產生持續放大與輸出。

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一、雷射光的主要特性

1. 高單色性

若原子或分子由高能階 $E_2$ 跃遷至低能階 $E_1$，所放出的光子頻率為

$$\nu_0=\frac{E_2-E_1}{h},$$

其中 $h$ 為普朗克常數。

雷射主要由特定能階間的受激放射產生，因此頻率集中在很窄的範圍內，具有高單色性。實際雷射仍會受到自然線寬、碰撞展寬、都卜勒展寬及共振腔模態等因素影響，但相較於白熾燈或日光燈，頻譜寬度非常小。

2. 高同調性

雷射光中的光子由受激放射產生。入射光子會誘發另一個相同能量差的放射光子，因此新光子與原光子具有：

• 相同頻率；
• 相同相位；
• 相同偏振方向；
• 相同傳播方向。

因此雷射具有高度的時間同調性與空間同調性，能夠產生清楚、穩定的干涉現象。

3. 高方向性

一般光源會向各個方向發散，雷射則主要沿著共振腔軸向輸出。光學共振腔中的光在兩面鏡子之間往返，只有接近腔軸且符合共振條件的光能有效放大，因此雷射光束的發散角很小。

理想高斯光束的遠場發散角約為

$$\theta \simeq \frac{\lambda}{\pi w_0},$$

其中 $\lambda$ 是波長，$w_0$ 是光束腰半徑。光束腰越大，發散角越小。

4. 高亮度與高功率密度

雷射能量集中在狹窄的頻率範圍、方向與光束截面內，因此即使總功率不一定很大，仍可具有很高的亮度與功率密度。經聚焦後，雷射可在極小區域產生高溫，應用於切割、焊接、手術與精密加工。

5. 偏振性良好

許多雷射具有明確的線偏振，原因包括增益介質的能階選擇定則、共振腔內的偏振選擇，以及布魯斯特窗等光學元件。偏振方向並非所有雷射都完全相同，但通常比一般非偏振光源更容易得到良好偏振。

6. 高同調亮度並非等同於高總能量

雷射的特色是光子具有高度規則性與集中性，而不是所有雷射都必然具有極高總功率。低功率半導體雷射也具有雷射特性，只是輸出功率低於工業用高功率雷射。

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二、受激放射與其他輻射過程

考慮二能階系統：

• 基態能量為 $E_1$；
• 激發態能量為 $E_2$；
• 能階差為 $E_2-E_1=h\nu$。

原子與光場的交互作用包含三種基本過程。

1. 吸收

基態原子吸收頻率為 $\nu$ 的光子，由 $E_1$ 跃遷至 $E_2$：

$$E_1+h\nu \rightarrow E_2.$$

吸收會減少光場中的光子數。

2. 自發放射

激發態原子自行回到低能階，並放出光子：

$$E_2\rightarrow E_1+h\nu.$$

自發放射產生的光子，其相位、方向與偏振通常是隨機的，因此一般熱光源的同調性很低。

3. 受激放射

當一個能量為 $h\nu$ 的光子通過激發態原子時，會誘發該原子回到基態，並放出第二個光子。這兩個光子具有相同的頻率、相位、方向與偏振：

$$E_2+h\nu\rightarrow E_1+2h\nu.$$

這是雷射光能夠被放大的根本原因。每一次受激放射都使光子數增加，並保留原有光子的相干特性。

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三、產生雷射的必要條件

1. 建立粒子數反轉

在熱平衡下，低能階的粒子數多於高能階。若以 $N_1$ 與 $N_2$ 分別表示兩能階的粒子數，正常狀態通常滿足

$$N_1>N_2.$$

此時吸收作用大於受激放射，光線通過介質時會被吸收，無法形成光放大。

要使受激放射勝過吸收，必須建立

$$N_2>N_1,$$

稱為粒子數反轉。

更一般地，若考慮能階簡併度 $g_1$ 與 $g_2$，粒子數反轉條件為

$$\frac{N_2}{g_2}>\frac{N_1}{g_1}.$$

粒子數反轉屬於非熱平衡狀態，不能單靠提高溫度自然形成，必須使用外部能量進行激發。

2. 使用泵浦建立反轉

將能量輸入增益介質的過程稱為泵浦。常見方法包括：

• 光泵浦：以閃光燈或另一支雷射照射；
• 電流注入：半導體雷射使用電流注入電子與電洞；
• 電子碰撞：氣體雷射以放電電流激發原子或分子；
• 化學反應：以化學反應提供激發能量。

理想的雷射介質通常採用三能階或四能階系統，因為能有效建立粒子數反轉。

核心觀念

Balmer 系列是氫原子電子由高能階躍遷至 $n=2$ 所產生的譜線。第二條 Balmer 譜線對應於

$$n_i=4\longrightarrow n_f=2$$

依 Bohr 模型，氫原子能階為

$$E_n=-\frac{13.6\ \text{eV}}{n^2}$$

放出光子的能量等於兩能階能量差：

$$E_\gamma=E_4-E_2$$

解題方法

亦可直接使用 Rydberg 公式：

$$\frac{1}{\lambda} =R_H\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right)$$

代入 $n_f=2$、$n_i=4$：

$$\frac{1}{\lambda} =R_H\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{4^2}\right) =R_H\left(\frac14-\frac1{16}\right) =\frac{3R_H}{16}$$

因此

$$\lambda=\frac{16}{3R_H}$$

取 $R_H=1.097\times10^7\ \text{m}^{-1}$：

$$\lambda =\frac{16}{3(1.097\times10^7)} \approx 4.861\times10^{-7}\ \text{m}$$

核心觀念

這題考查正常 Zeeman effect：原子置於外加磁場中，磁量子數不同的能階發生分裂，使原本波長為 $\lambda$ 的光譜線分裂成多條彼此等間隔的成分。

對正常 Zeeman effect，能階位移為

$$\Delta E=m_l\mu_B B,$$

其中

$$\mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e}$$

為波耳磁子。相鄰 Zeeman 成分的頻率間隔為

$$\Delta \nu=\frac{\mu_B B}{h}.$$

題目未指定元素及能階的 Landé $g$ 因子，因此採用正常 Zeeman effect 的 $g=1$。若考慮一般異常 Zeeman effect，則需額外知道 $g$ 因子。

解題方法

已知

$$B=0.3\ \mathrm{T},\qquad \lambda=450\ \mathrm{nm}.$$

相鄰光譜成分的頻率間隔為

$$\Delta \nu =\frac{\mu_B B}{h}.$$

代入

$$\mu_B=9.274\times10^{-24}\ \mathrm{J/T}, \qquad h=6.626\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s},$$

得

$$\Delta \nu =\frac{(9.274\times10^{-24})(0.3)} {6.626\times10^{-34}} \approx 4.20\times10^9\ \mathrm{Hz}.$$

接著由

$$\nu=\frac{c}{\lambda}$$

微分可得小位移近似下

$$|\Delta\lambda| =\frac{\lambda^2}{c}|\Delta\nu|.$$

因此

$$|\Delta\lambda| = \frac{(450\times10^{-9})^2}{2.998\times10^8} (4.20\times10^9).$$

計算得

核心觀念

在 LS coupling（Russell–Saunders coupling）中，先將兩電子的軌道角動量合成總軌道角動量 $L$，再將兩電子自旋合成總自旋角動量 $S$，最後合成總角動量 $J$。

角動量合成規則為：

$$|j_1-j_2|\leq j\leq j_1+j_2$$

其中兩電子的軌道量子數為

$$l_1=1,\qquad l_2=2$$

每個電子的自旋皆為

$$s_1=s_2=\frac12$$

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解題方法

1. 合成總軌道角動量 $L$

由 $l_1$ 與 $l_2$ 合成：

$$L=|l_1-l_2|,\ |l_1-l_2|+1,\ldots,l_1+l_2$$

代入數值：

$$L=|1-2|,\ldots,1+2$$

因此

$$L=1,2,3$$

這三個值分別對應原子光譜項中的 $P$、$D$、$F$。

2. 合成總自旋角動量 $S$

由兩個自旋 $\frac12$ 合成：

$$S=|s_1-s_2|,\ldots,s_1+s_2$$

因此

$$S=0,1$$

其中：

• $S=0$：單重態（singlet）
• $S=1$：三重態（triplet）

3. 合成總角動量 $J$

對固定的 $L$ 與 $S$，有

$$J=|L-S|,\ |L-S|+1,\ldots,L+S$$

當 $S=0$

$$J=L$$

所以：

核心觀念

本題考查兩個互相關聯的超導現象：

1. Josephson junction（約瑟夫森接面）：兩塊超導體中間隔著極薄的絕緣層，庫柏對可穿隧通過絕緣層，產生無電壓超導電流。
2. SQUID：將兩個 Josephson junction 接成超導環，利用磁通量造成的相位差與量子干涉，測量極微小的磁通量或磁場。

超導序參量可寫成

$$\Psi=|\Psi|e^{i\theta},$$

其中 $\theta$ 是超導波函數的相位。Josephson 效應的核心，是接面兩側超導體相位差

$$\phi=\theta_2-\theta_1$$

所造成的超導電流。

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一、Josephson junction 的結構與操作原理

1. 結構示意圖

典型 Josephson junction 為兩塊超導體中間夾一層極薄絕緣層：

        超導體 S1          絕緣層 I          超導體 S2
     ┌───────────┐      ┌──────┐      ┌───────────┐
     │           │      │      │      │           │
     │  Ψ₁=|Ψ₁|eⁱθ₁ │ ⇢  │  I   │  ⇢ │ Ψ₂=|Ψ₂|eⁱθ₂ │
     │           │      │      │      │           │
     └───────────┘      └──────┘      └───────────┘
             ←────── 庫柏對穿隧 ──────→

             相位差：φ = θ₂ − θ₁

絕緣層厚度必須非常薄，使庫柏對能以量子穿隧方式通過。常見結構記為 $S-I-S$。

2. 第一道 Josephson 關係式：電流與相位差

接面中的超導電流為

$$I_s=I_c\sin\phi,$$

其中：

• $I_s$：超導電流；
• $I_c$：臨界電流；
• $\phi$：兩側超導體的相位差。

因此，即使接面兩端沒有電壓，仍可存在超導電流：

$$V=0,\qquad I_s=I_c\sin\phi.$$

這稱為 DC Josephson effect（直流約瑟夫森效應）。

其物理意義是：庫柏對穿隧不需要克服一般電子傳輸中的耗散，因此可在零電壓下通過接面。

3. 第二道 Josephson 關係式：相位與電壓

相位差的時間演化滿足

$$\frac{d\phi}{dt}=\frac{2e}{\hbar}V,$$

其中 $e$ 是基本電荷量，$\hbar$ 是約化普朗克常數。

若接面兩端施加固定電壓 $V$，則

$$\phi(t)=\phi_0+\frac{2eV}{\hbar}t.$$

代入電流公式：

$$I_s(t) =I_c\sin\left(\phi_0+\frac{2eV}{\hbar}t\right).$$

因此電流會隨時間振盪，角頻率為

$$\omega_J=\frac{2eV}{\hbar},$$

頻率為

$$f_J=\frac{2e}{h}V.$$

這稱為 AC Josephson effect（交流約瑟夫森效應）。

由於通過接面的電荷為庫柏對，電荷量是 $2e$，因此 Josephson 頻率與 $2e$ 有關。

4. 實際接面的等效模型

實際 Josephson junction 常以 RCSJ 模型描述，包含臨界電流、電阻與電容：

                 I_c sinφ
              ┌───────────┐
              │           │
        ──────┤           ├──────
              │     R     │
              ├────/\/\/──┤
              │           │
              │     C     │
              ├─────||────┤
              │           │
              └───────────┘

其總電流可表示為

$$I=I_c\sin\phi+\frac{V}{R}+C\frac{dV}{dt}.$$

其中第一項為超導電流，第二項為正常電子造成的電阻電流，第三項為位移電流。考題要求說明基本原理時，最重要的是兩條 Josephson 關係式：

$$I_s=I_c\sin\phi, \qquad \frac{d\phi}{dt}=\frac{2e}{\hbar}V.$$

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二、SQUID 的全名與結構

SQUID 的全名為：

$$\boxed{\text{Superconducting Quantum Interference Device}}$$

中文通常譯為超導量子干涉裝置。

1. DC SQUID 結構

最常見的 DC SQUID 由兩個 Josephson junction 平行接在同一個超導環中：

                         I
                         ↓
                    ┌────┴────┐
                    │         │
                    │         │
                JJ₁ │         │ JJ₂
                    │         │
                    └────┬────┘
                         ↑
                    磁通量 Φ_ext
                    穿過超導環

更明確地表示為：

                         輸入電流 I
                              ↓
                     ┌────────┴────────┐
                     │                 │
                     │      Φ_ext      │
                     │       ⊙          │
                     │                 │
                 JJ₁ ║                 ║ JJ₂
                     │                 │
                     └────────┬────────┘
                              ↑
                         輸出電壓 V

兩條支路各包含一個 Josephson junction，電流分別為 $I_1$ 與 $I_2$。

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三、SQUID 的操作原理

1. 超導環的磁通量子化

超導體內部的波函數必須是單值函數，因此繞超導環一周後，相位變化必須是 $2\pi$ 的整數倍。此條件導致磁通量受到量子化限制，磁通量量子為

核心觀念

本題考查離子化合物 NaF 的能量循環：

• 鈉原子失去電子需吸收「電離能」：
  $\mathrm{Na}\rightarrow \mathrm{Na^+}+e^- \qquad \Delta E=5.14\ \mathrm{eV}$
• 氟原子得到電子會釋放「電子親和力」：
  $\mathrm{F}+e^-\rightarrow \mathrm{F^-} \qquad \Delta E=-3.40\ \mathrm{eV}$
• Na$^+$ 與 F$^-$ 靠近時，存在庫倫吸引能與短距離排斥能。
• 解離能 $D=4.99\ \mathrm{eV}$ 表示 NaF 分解成分離的中性 Na 與 F 原子所需的能量。

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解題方法

先將中性原子形成離子，再將離子組合成 NaF。整個形成過程的能量變化必須等於 $-D$：

$$\mathrm{Na+F}\rightarrow \mathrm{Na^++F^-} \rightarrow \mathrm{NaF}$$

若令離子間的庫倫吸引能大小為 $E_{\text{att}}$，排斥能為 $E_{\text{rep}}$，則

$$-D = \left(I_{\mathrm{Na}}-EA_{\mathrm F}\right) -E_{\text{att}}+E_{\text{rep}}$$

其中：

• $I_{\mathrm{Na}}-EA_{\mathrm F}$ 是形成離子的能量代價；
• $-E_{\text{att}}$ 表示異號離子間的吸引；
• $+E_{\text{rep}}$ 表示電子雲重疊造成的排斥。

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(a) 形成 Na$^+$ 與 F$^-$ 所需能量

鈉失去電子需 $5.14\ \mathrm{eV}$，氟得到電子釋放 $3.40\ \mathrm{eV}$，因此淨能量為

$$E_{\text{ion}} = 5.14-3.40 = 1.74\ \mathrm{eV}$$

所以，從中性 Na 與 F 原子形成 Na$^+$ 與 F$^-$，需要吸收

$$\boxed{1.74\ \mathrm{eV}}$$

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(b) 平衡距離處的離子排斥能

首先計算 Na$^+$ 與 F$^-$ 之間的庫倫吸引能大小：

$$E_{\text{att}} = \frac{k e^2}{r}$$

代入