111 年 國立臺灣大學綠色永續材料與精密元件博士學位學程丙組《流體力學（F）》

此題考驗學生對流體基本性質的掌握，特別是單位重量（unit weight）的定義及其單位轉換。

解題步驟：

1. 定義單位重量 (Unit Weight)：單位重量 $\gamma$ 定義為單位體積的重量，即 $\gamma = \rho g$，其中 $\rho$ 是密度，$g$ 是重力加速度。
2. 水在 4°C 的密度：在 4°C 時，水的密度 $\rho$ 達到最大值，約為 $1000 \, \text{kg/m}^3$。
3. 標準重力加速度：標準重力加速度 $g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2$。
4. 計算 N/m³：
   $\gamma = \rho g = (1000 \, \text{kg/m}^3) \times (9.81 \, \text{m/s}^2) = 9810 \, \text{N/m}^3$。
5. 單位轉換 (N/m³ to dyn/cm³)：
   • 首先，將 $N$ 轉換為 $dyn$。$1 \, \text{N} = 1 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}^2$。

此題考驗學生應用曼寧公式 (Manning's Formula) 來計算明渠流 (open channel flow) 的管徑。題目給定流速、坡度、粗糙係數以及流量條件（半滿管流），要求計算管徑。

解題步驟：

1. 曼寧公式：曼寧公式用於計算明渠流的流速 $V$：
   $V = \frac{1}{n} R_h^{2/3} S^{1/2}$
   其中：

   • $V$ 是平均流速 (ft/sec)。
   • $n$ 是曼寧粗糙係數 (dimensionless)。
   • $R_h$ 是水力半徑 (hydraulic radius)，定義為斷面積 $A$ 與濕周 $P$ 的比值，$R_h = A/P$ (ft)。
   • $S$ 是坡度 (dimensionless)。

2. 已知條件：

   • $V = 2 \, \text{ft/sec}$
   • $S = 0.04$
   • $n = 0.013$
   • 流量條件：半滿管流 (half full sewer flow)。

3. 半滿管流的幾何關係：
   假設管徑為 $D$，則半徑為 $R = D/2$。

   • 斷面積 (Area, A)：對於半滿圓管，斷面積為圓面積的一半：$A = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi (\frac{D}{2})^2 = \frac{\pi D^2}{8}$。
   • 濕周 (Wetted Perimeter, P)：對於半滿圓管，濕周是圓周的一半：$P = \frac{1}{2} \pi D$。
   • 水力半徑 (Hydraulic Radius, Rh)：

此題分為兩部分：第一部分考驗學生對於管網系統分析中連續性與能量守恆基本原理的理解；第二部分則要求解釋著名的 Hardy Cross 方法。

第一部分：管網分析的基本關係

分析複雜的管網系統（例如供水管網、排水管網）時，需要基於兩個基本守恆定律：

1. 連續性原理 (Continuity Principle)：
   此原理是質量守恆的應用。對於管網中的任何節點（junction）或閉合環路（loop），流入該節點的總流量必須等於流出該節點的總流量。換句話說，在每個節點處，質量（或體積，假設不可壓縮流體）必須守恆。
   數學表達式：對於任一節點 $j$， $\sum_{i} Q_{ij} = 0$，其中 $Q_{ij}$ 是流經管段 $i$ 流入節點 $j$ 的流量（若流出則為負）。

2. 能量守恆原理 (Energy Conservation Principle)：
   此原理通常以柏努利方程 (Bernoulli's Equation) 或其擴展形式來表達，考慮到能量損失（如摩擦損失 $h_f$ 和局部損失 $h_m$）。對於管網中的任何閉合環路，環路中所有管段的總水頭損失之和必須為零。
   數學表達式：對於任一閉合環路， $\sum_{k} \Delta h_k = 0$，其中 $\Delta h_k$ 是流經管段 $k$ 的總水頭變化。在管網分析中，通常將水頭損失視為從高處流向低處的「損失」，因此在環路分析中，我們關注的是環路中各管段水頭損失的代數和為零。例如，如果我們假設環路中各管段的流量 $Q_k$ 方向，則總水頭損失為 $\sum_{k} h_{f,k} = 0$，其中 $h_{f,k}$ 是管段 $k$ 的水頭損失（如果流量方向與假設相反，則為負損失）。

第二部分：Hardy Cross 方法解釋

Hardy Cross 方法是一種迭代（或稱逐步逼近）的方法，用於求解具有複雜拓撲結構的管網系統中的流量和水頭損失。它主要有兩種應用方式：一種是基於節點的水頭法 (Head-based method)，另一種是基於環路的流量法 (Flow-based method)。最常見的是基於環路的流量法。

Hardy Cross 方法（環路流量法）的步驟：

1. 假設初始流量：首先，為管網中的每個環路分配一個初始流量。這些初始流量可以任意假設，但必須滿足每個節點的連續性方程（即流入等於流出）。通常，可以假設一個方向的流量（例如順時針為正），然後調整各管段流量以滿足連續性。

此題要求計算一個底部帶有孔口（orifice）的圓柱形容器完全排空的過程所需的時間。這是一個典型的非定常（unsteady）流體力學問題，需要利用流速與水位高度的關係來積分求解。

解題步驟：

1. 核心原理：容器排空的時間是通過將容器的總體積除以平均流量來估算的，但由於流速隨水位下降而變化，這是一個非定常過程。更精確的方法是建立一個微分方程來描述水位隨時間的變化。

2. 流量關係：

   • 容器內的水位高度為 $h$。
   • 圓柱形容器的橫截面積為 $A_c$。
   • 孔口（orifice）的面積為 $A_o$。
   • 根據托里切利定律 (Torricelli's Law)，通過孔口流出的瞬時流速 $v_o$ 為：
     $v_o = C_d \sqrt{2gh}$
     其中 $C_d$ 是流量係數（discharge coefficient），用於考慮實際流動中的能量損失和收縮效應。題目中未給出 $C_d$，通常在沒有明確說明時，可以假設 $C_d = 1$ (理想情況) 或取一個典型值，如 $0.6 \sim 0.8$。在此，我們暫且保留 $C_d$。
   • 通過孔口流出的瞬時流量 $Q_o$ 為：
     $Q_o = A_o v_o = A_o C_d \sqrt{2gh}$

3. 質量守恆（體積變化率）：
   容器內的水體積隨時間的變化率等於流出的流量。

   • 容器內水體積 $V = A_c h$。
   • 體積隨時間的變化率：$\frac{dV}{dt} = A_c \frac{dh}{dt}$。
   • 由於水體積在減少，所以 $\frac{dV}{dt} = -Q_o$。
   • 因此，我們得到微分方程：
     $A_c \frac{dh}{dt} = -A_o C_d \sqrt{2gh}$

4. 分離變數並積分：
   將上式整理，分離變數 $h$ 和 $t$：
   $\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{A_o C_d \sqrt{2g}}{A_c} dt$
   對上式從初始狀態（時間 $t=0$，水位 $h=H$）積分到最終狀態（時間 $t=T_{drain}$，水位 $h=0$）：
   $\int_{H}^{0} h^{-1/2} dh = -\frac{A_o C_d \sqrt{2g}}{A_c} \int_{0}^{T_{drain}} dt$
   計算積分：
   $[2h^{1/2}]_{H}^{0} = -\frac{A_o C_d \sqrt{2g}}{A_c} [t]_{0}^{T_{drain}}$
   $2(0^{1/2}) - 2(H^{1/2}) = -\frac{A_o C_d \sqrt{2g}}{A_c} (T_{drain} - 0)$

核心觀念

本題主要考查：

1. 流線方程
   $\frac{dy}{dx}=\frac{v_y}{v_x}$

2. 二維流函數的定義

   常用定義為

$$v_x=\frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v_y=-\frac{\partial \psi}{\partial x}$$

此定義必須滿足不可壓縮連續方程：

$$\frac{\partial v_x}{\partial x}+ \frac{\partial v_y}{\partial y}=0$$

3. 連續方程

$$\nabla\cdot\boldsymbol{v} =\frac{\partial v_x}{\partial x} +\frac{\partial v_y}{\partial y}=0$$

4. 渦度與無旋流

$$\omega_z= \frac{\partial v_y}{\partial x} -\frac{\partial v_x}{\partial y}$$

5. 速度大小與流場變形

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解題方法

已知速度場為

$v_x=2x,\qquad v_y=4x$

速度向量可寫成

$\boldsymbol{v}=(2x,4x)=2x(1,2)$

因此在同一個 $x$ 位置，所有流體微粒的速度方向相同，但速度大小隨 $|x|$ 增加而增加。

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一、流線方程與流動方向

流線滿足

$\frac{dy}{dx}=\frac{v_y}{v_x}$

代入速度分量：

$\frac{dy}{dx}=\frac{4x}{2x}=2,\qquad x\neq 0$

積分得

$y=2x+C$

因此流線是一族彼此平行、斜率為 $2$ 的直線。

可取數條代表性流線：

$y=2x-2,\qquad y=2x,\qquad y=2x+2$

速度大小為

$$|\boldsymbol{v}| =\sqrt{v_x^2+v_y^2} =\sqrt{(2x)^2+(4x)^2} =2\sqrt{5}\,|x|$$

流動方向由 $x$ 的正負決定：

• 當 $x>0$：
  $\boldsymbol{v}=(2x,4x)$
  方向為向右上方。
• 當 $x<0$：
  $\boldsymbol{v}=(2x,4x)$
  方向為向左下方。
• 當 $x=0$：
  $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$
  為停滯區域。

示意圖如下：

                         y
                         ↑
             ↗          │          ↗
          ／             │       ／
       ／                │    ／
──────●──────────────────┼────────────→ x
    ↙                   x=0
  ／                       │
／                         │
↙                          │

各條流線皆為

$y=2x+C$

在 $y$ 軸左側，箭頭指向左下；在 $y$ 軸右側，箭頭指向右上。$x=0$ 上的流體速度為零。

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二、流函數是否存在？

若存在二維流函數 $\psi$，依照定義必須有

$v_x=\frac{\partial\psi}{\partial y}=2x$

對 $y$ 積分：

$\psi=2xy+f(x)$

其中 $f(x)$ 為只與 $x$ 有關的函數。

再由另一個流函數定義：

$v_y=-\frac{\partial\psi}{\partial x}$

可得

$v_y=-\left(2y+f'(x)\right)$

但題目給定

$v_y=4x$

因此必須滿足

$-\left(2y+f'(x)\right)=4x$

左側含有 $y$ 項，而右側不含 $y$，不可能對所有 $x,y$ 同時成立。

所以，此速度場不存在符合標準定義的二維流函數。

也可以直接由流函數存在的必要條件判斷：

$$\frac{\partial v_x}{\partial x} +\frac{\partial v_y}{\partial y} =2+0=2\neq 0$$

因此不能建立單一的 $\psi(x,y)$ 使其等值線代表全部流線。

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三、連續方程是否滿足？

計算速度散度：

$$\nabla\cdot\boldsymbol{v} =\frac{\partial v_x}{\partial x} +\frac{\partial v_y}{\partial y}$$ $$\frac{\partial v_x}{\partial x}=2,\qquad \frac{\partial v_y}{\partial y}=0$$

所以

$\nabla\cdot\boldsymbol{v}=2\neq 0$

因此，在一般研究所流體力學所採用的定常、不可壓縮流體假設下，連續方程不滿足。

其物理意義是：流體微小元素具有正的體積膨脹率，

$\frac{1}{dV}\frac{DdV}{Dt}=2$

表示流體微元素會隨時間膨脹。故此流場不是不可壓縮流場。

若考慮可壓縮流體，速度場本身並非充分資訊；還必須配合密度場 $\rho(x,y,t)$，使一般連續方程

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{v})=0$$

成立。

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四、速度較小與較大的區域

速度大小為

核心觀念

本題利用風洞中的空氣模型，模擬水中全尺寸載具的阻力特性。要使模型與原型具有相同的流動狀態，必須滿足：

1. 幾何相似：模型與原型形狀相同。
2. 雷諾數相等：黏性力與慣性力的相對比例相同。

雷諾數定義為

$$Re=\frac{VL}{\nu} =\frac{\rho VL}{\mu}$$

其中 $V$ 為速度、$L$ 為特徵長度、$\rho$ 為密度、$\mu$ 為動力黏度、$\nu$ 為運動黏度。

當模型與原型的雷諾數相等時，可視為具有相同的阻力係數 $C_D$：

$$C_D=\frac{D}{\frac12\rho V^2 A}$$

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解題方法

1. 幾何尺寸關係

模型為全尺寸的 $25\%$，且模型長度為 $3\ \text{m}$，因此全尺寸載具長度為

$$L_p=\frac{L_m}{0.25} =\frac{3}{0.25} =12\ \text{m}$$

故

$$\frac{L_p}{L_m}=4$$

設下標 $m$ 表示模型，下標 $p$ 表示全尺寸載具。

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2. 由雷諾數相等求模型風速

模型在壓力 $6\ \text{atm}$ 的空氣中測試，全尺寸載具則在水中以

$$V_p=16\ \text{m/s}$$

航行。

雷諾數相等：

$$\frac{V_mL_m}{\nu_a} = \frac{V_pL_p}{\nu_w}$$

因此

$$V_m = V_p\frac{L_p}{L_m}\frac{\nu_a}{\nu_w}$$

取常用物性：

• 水：$\nu_w\approx 1.0\times10^{-6}\ \text{m}^2/\text{s}$
• 常溫空氣在 $1\ \text{atm}$：$\rho_{a,1}\approx1.2\ \text{kg/m}^3$
• 空氣動力黏度：$\mu_a\approx1.8\times10^{-5}\ \text{Pa}\cdot\text{s}$

在相同溫度下，空氣壓力提高至 $6\ \text{atm}$ 時，密度約提高為 6 倍：

$$\rho_a\approx6(1.2)=7.2\ \text{kg/m}^3$$

所以空氣的運動黏度為

$$\nu_a=\frac{\mu_a}{\rho_a} = \frac{1.8\times10^{-5}}{7.2} = 2.5\times10^{-6}\ \text{m}^2/\text{s}$$

代入雷諾數關係：

核心觀念

本題使用四階多項式近似邊界層內速度分布，並配合：

1. 固壁無滑移條件。
2. 邊界層外緣速度與速度梯度條件。
3. 邊界層動量方程在壁面上的條件。
4. 動量積分法求出邊界層厚度參數，進而計算壁面剪應力。

令

$$\eta=\frac{y}{\delta},\qquad f(\eta)=\frac{U_x}{U_\infty} =a\eta+b\eta^2+c\eta^3+d\eta^4$$

且外部速度為

$$U_\infty=Gx,\qquad \frac{dU_\infty}{dx}=G$$

其中 $G$ 為外部流場的速度梯度。

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邊界條件與係數推導

1. 壁面無滑移條件

在 $y=0$，流體速度為零：

$$f(0)=0$$

此條件已由多項式沒有常數項自動滿足。

2. 邊界層外緣條件

在 $y=\delta$，速度應恢復為外部速度：

$$f(1)=1$$

因此

$$a+b+c+d=1$$

邊界層外緣速度梯度趨近於零：

$$f'(1)=0$$

即

$$a+2b+3c+4d=0$$

通常亦取外緣速度曲率為零：

$$f''(1)=0$$

因此

$$2b+6c+12d=0$$

3. 壁面上的邊界層方程條件

平板邊界層方程為

$$U_x\frac{\partial U_x}{\partial x} +U_y\frac{\partial U_x}{\partial y} = U_\infty\frac{dU_\infty}{dx} +\nu\frac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}$$

在壁面 $y=0$，由於 $U_x=U_y=0$，可得

$$\nu\left.\frac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}\right|_{y=0} = U_\infty\frac{dU_\infty}{dx} =G U_\infty$$

又因為

$$\frac{\partial^2 U_x}{\partial y^2} = \frac{U_\infty}{\delta^2}f''(\eta)$$

故

$$f''(0)=\frac{G\delta^2}{\nu}$$

定義無因次壓力梯度參數

$$\lambda=\frac{G\delta^2}{\nu}$$

由 $f''(0)=2b$ 得

$$2b=\lambda \quad\Longrightarrow\quad b=\frac{\lambda}{2}$$

將此結果與其餘三個條件聯立：

$$a+b+c+d=1$$ $$a+2b+3c+4d=0$$ $$2b+6c+12d=0$$

解得

$$\boxed{a=2-\frac{\lambda}{6}}$$ $$\boxed{b=\frac{\lambda}{2}}$$ $$\boxed{c=-2-\frac{\lambda}{2}}$$ $$\boxed{d=1+\frac{\lambda}{6}}$$

因此速度分布為

$$\boxed{ \frac{U_x}{U_\infty} = \left(2-\frac{\lambda}{6}\right)\eta +\frac{\lambda}{2}\eta^2 -\left(2+\frac{\lambda}{2}\right)\eta^3 +\left(1+\frac{\lambda}{6}\right)\eta^4 }$$

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壁面剪應力

牛頓流體的壁面剪應力為

$$\tau_w = \mu\left.\frac{\partial U_x}{\partial y}\right|_{y=0}$$

由

$$\frac{\partial U_x}{\partial y} = \frac{U_\infty}{\delta}f'(\eta)$$

以及

$$f'(0)=a=2-\frac{\lambda}{6}$$

可得

$$\tau_w = \frac{\mu U_\infty}{\delta} \left(2-\frac{\lambda}{6}\right)$$

目前仍含有 $\delta$，必須利用動量積分方程求出 $\lambda$。

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以動量積分法求 $\lambda$

定義位移厚度與動量厚度：