108 年 國立暨南國際大學土木工程學系碩士班結構與應力組《材料力學》

本題要求計算圖示區域的形心 $\bar{x}$ 及對 x 軸的面積慣性矩 $I_x$。此區域由函數 $y = f(x) = \frac{h}{b^n} x^n$、$x$-軸、$y$-軸以及直線 $x=b$ 所圍成。

1. 計算面積 A

區域的面積 $A$ 可以透過積分計算：
$A = \int_0^b f(x) dx = \int_0^b \frac{h}{b^n} x^n dx$
$A = \frac{h}{b^n} \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^b = \frac{h}{b^n} \left( \frac{b^{n+1}}{n+1} - 0 \right)$
$A = \frac{h b}{n+1}$

2. 計算形心 $\bar{x}$

形心 $\bar{x}$ 的定義為：
$\bar{x} = \frac{1}{A} \int_0^b x f(x) dx$
將 $f(x)$ 代入：
$\bar{x} = \frac{1}{A} \int_0^b x \left( \frac{h}{b^n} x^n \right) dx = \frac{1}{A} \int_0^b \frac{h}{b^n} x^{n+1} dx$
$\bar{x} = \frac{1}{A} \frac{h}{b^n} \left[ \frac{x^{n+2}}{n+2} \right]_0^b = \frac{1}{A} \frac{h}{b^n} \left( \frac{b^{n+2}}{n+2} \right)$

本題為一固定端梁 (fixed-end beam) 在整個跨度上承受均勻分布載重 $q$。要求計算支承反力，包括垂直反力 $R_A, R_B$ 以及支承彎矩 $M_A, M_B$。這是一個靜不定問題，需要使用材料力學或結構力學的方法來求解。由於題目只要求反力，通常採用虛功原理或力法來求解。這裡我們採用虛功原理（或稱虛位移法）來求解。

核心觀念：
固定端梁是二階靜不定結構，其反力數目超過靜力平衡方程式的數量。求解此類問題，需要引入材料力學或結構力學的變形協調條件。虛功原理提供了一個系統性的方法來求解靜不定結構的反力。

解題步驟：

1. 建立靜定基準結構： 將原固定端梁結構解除兩個約束，使其成為靜定結構。在此選擇解除左端固定支承的彎矩 $M_A$ 和右端固定支承的彎矩 $M_B$ 的約束，將梁變為簡支梁，並額外施加 $M_A$ 和 $M_B$ 作為虛擬荷載。或者，更常見的做法是解除其中一個約束，例如解除左端彎矩 $M_A$ 的約束，使其成為一端固定一端為滾支承（或鉸支承）加上一個彎矩 $M_A$ 的結構。然而，由於題目圖示顯示兩端都是固定端，且有 $M_A, M_B$ 符號，我們將原結構視為一個具有額外反力 $M_A$ 和 $M_B$ 的結構，並將其解除兩個約束，例如解除左右兩端的彎矩約束，使其成為簡支梁，然後加上外力 $q$ 造成的變形以及虛擬力 $M_A, M_B$ 造成的變形。

   然而，題目圖示的符號 $M_A$ 和 $M_B$ 實際上是指固定端所產生的支承彎矩。因此，我們應將原結構視為一個具有四個反力 ($R_A, M_A, R_B, M_B$) 的結構。由於梁是剛性桿件（通常材料力學假設），且只承受垂直載重，垂直反力 $R_A$ 和 $R_B$ 可以由靜力平衡求出。問題的關鍵在於求解彎矩 $M_A$ 和 $M_B$。

   另一種更直接的方法是考慮變形協調。固定端梁在兩端承受彎矩 $M_A$ 和 $M_B$ 時，其相對轉角為零。

   我們將原結構視為一個靜定基準結構（例如，將兩端彎矩約束解除，變成簡支梁），並引入兩個超靜定變數 $M_A$ 和 $M_B$。

2. 解除約束並引入超靜定變數： 假設我們解除兩端的彎矩約束，將梁變為簡支梁，並施加外力 $q$。此時，梁的兩端將產生轉角 $\theta_A$ 和 $\theta_B$。然後，我們再施加虛擬的彎矩 $M_A$ 和 $M_B$ 在 A 和 B 點，以抵銷原來的轉角，使最終的總轉角為零。

   對於承受均勻分布載重 $q$ 作用在整個跨度 $L$ 的簡支梁，其兩端轉角為零（因對稱性），但這裡梁是固定端，所以兩端轉角必須為零。

   使用虛功原理或直接查表公式：
   對於一個固定端梁，承受均勻分布載重 $q$ 作用在整個跨度 $L$ 上，其支承反力為：
   $R_A = R_B = \frac{qL}{2}$
   $M_A = M_B = \frac{qL^2}{12}$
   這些是標準的固定端梁公式。

   驗證：

   • 垂直力平衡： $\sum F_y = R_A + R_B - qL = 0$
     $\frac{qL}{2} + \frac{qL}{2} - qL = qL - qL = 0$ (平衡)

   • 彎矩平衡 (以 A 點為參考)： $\sum M_A = M_A + R_B \cdot L - qL \cdot \frac{L}{2} - M_B = 0$
     $\frac{qL^2}{12} + \frac{qL}{2} \cdot L - \frac{qL^2}{2} - \frac{qL^2}{12} = 0$

核心觀念

依圖中標示，取

$AC=c,\qquad AD=d,\qquad AB=L$

且 $C$、$D$ 兩根鋼線長度分別為 $h$、$2h$。鋼線截面積皆為 $S$，彈性模數皆為 $E$。

剛桿 $AB$ 以 $A$ 為鉸點發生小角度轉動，因此各點的下沉量與距離 $A$ 的長度成正比：

$$\frac{\delta_C}{c} = \frac{\delta_D}{d} = \frac{\delta_B}{L} = \theta$$

鋼線的軸向變形公式為

$$\delta=\frac{T\ell}{ES}$$

其中 $T$ 為鋼線拉力、$\ell$ 為鋼線原長。

解題方法

設兩根鋼線的拉力分別為 $T_C$、$T_D$。

1. 變形相容條件

$C$ 點與 $D$ 點的下沉量分別為

$$\delta_C=\frac{T_C h}{ES}$$ $$\delta_D=\frac{T_D(2h)}{ES}$$

由剛桿轉動的幾何相容條件，

$$\frac{\delta_C}{c}=\frac{\delta_D}{d}$$

代入上式：

$$\frac{T_C h}{ESc} = \frac{2T_Dh}{ESd}$$

因此

$$\frac{T_C}{c}=\frac{2T_D}{d}$$

即

$$T_C=\frac{2c}{d}T_D$$

2. 對 $A$ 點取力矩平衡

鉸點 $A$ 的反力對 $A$ 點力矩為零，因此

$$T_Cc+T_Dd=PL$$

代入 $T_C=\dfrac{2c}{d}T_D$：

$$\frac{2c^2}{d}T_D+dT_D=PL$$

整理得

$$T_D=\frac{PLd}{d^2+2c^2}$$

以及

本題要求繪製一根簡支梁的剪力圖 (Shear Force Diagram, SFD) 和彎矩圖 (Bending Moment Diagram, BMD)。梁在 A 點為鉸支承，B 點為滾支承。梁的總長度為 $2.0$ m。在梁的跨中（距離 A 點 $1.0$ m 處）有一個集中載重 $P = 350$ N 向下。從跨中到 B 點（長度 $1.0$ m）有一個均勻分布載重 $q_0 = 1750$ N/m 向下。

核心觀念：
繪製剪力圖和彎矩圖的基本步驟是：

1. 計算支承反力。
2. 在梁上任意位置 $x$ 處，定義剪力 $V(x)$ 和彎矩 $M(x)$。
3. 利用靜力平衡方程式，建立 $V(x)$ 和 $M(x)$ 與外力的關係。
4. 根據 $V(x)$ 和 $M(x)$ 的數學表達式，繪製圖形。
   • 剪力圖：通常是分段函數，表示梁在各段承受的剪力大小。
   • 彎矩圖：表示梁在各點承受的彎矩大小。
   • 關鍵關係：$dV/dx = -w(x)$ (w(x) 為分布載重密度)，$dM/dx = V(x)$。

解題步驟：

1. 計算支承反力

梁的總長度 $L = 2.0$ m。
點 A 為鉸支承，點 B 為滾支承。
集中載重 $P = 350$ N 作用在 $x = 1.0$ m 處。
均勻分布載重 $q_0 = 1750$ N/m 作用在 $1.0$ m $\le x \le 2.0$ m 範圍內。

設 $R_A$ 為 A 點的垂直反力，$R_B$ 為 B 點的垂直反力。

總垂直力平衡：
$\sum F_y = R_A + R_B - P - q_0 \cdot (1.0 \text{ m}) = 0$
$R_A + R_B - 350 \text{ N} - 1750 \text{ N/m} \cdot 1.0 \text{ m} = 0$
$R_A + R_B - 350 - 1750 = 0$
$R_A + R_B = 2100 \text{ N}$ (方程式 1)

對 A 點取彎矩平衡：
$\sum M_A = 0$
$P \cdot (1.0 \text{ m}) + (q_0 \cdot 1.0 \text{ m}) \cdot (1.0 \text{ m} + 0.5 \text{ m}) - R_B \cdot (2.0 \text{ m}) = 0$
$350 \text{ N} \cdot (1.0 \text{ m}) + (1750 \text{ N/m} \cdot 1.0 \text{ m}) \cdot (1.5 \text{ m}) - R_B \cdot (2.0 \text{ m}) = 0$
$350 \text{ Nm} + 1750 \text{ N} \cdot (1.5 \text{ m}) - 2.0 R_B \text{ m} = 0$
$350 \text{ Nm} + 2625 \text{ Nm} - 2.0 R_B \text{ m} = 0$
$2975 \text{ Nm} = 2.0 R_B \text{ m}$
$R_B = \frac{2975}{2.0} \text{ N} = 1487.5 \text{ N}$

將 $R_B$ 代入方程式 1：
$R_A + 1487.5 \text{ N} = 2100 \text{ N}$
$R_A = 2100 - 1487.5 \text{ N} = 612.5 \text{ N}$

支承反力：
$R_A = 612.5$ N
$R_B = 1487.5$ N

2. 繪製剪力圖 (SFD)

梁分為兩段：
段 1：$0 \le x < 1.0$ m (A 點到跨中)
在此區間，只有 A 點的反力 $R_A$ 和集中載重 P。
$V(x) = R_A = 612.5$ N。
在 $x=1.0$ m 處，有一個向下 350 N 的集中載重。
所以，在 $x=1.0^-$ 處，$V(1.0^-) = 612.5$ N。
在 $x=1.0^+$ 處，$V(1.0^+) = V(1.0^-) - P = 612.5 - 350 = 262.5$ N。

段 2：$1.0 < x \le 2.0$ m (跨中到 B 點)
在此區間，有跨中點的剪力 $V(1.0^+)$ 以及均勻分布載重 $q_0$。
$V(x) = V(1.0^+) - q_0 \cdot (x - 1.0)$
$V(x) = 262.5 - 1750 \cdot (x - 1.0)$

在 $x=1.0^+$ 處，$V(1.0^+) = 262.5 - 1750 \cdot (1.0 - 1.0) = 262.5$ N。 (與上面計算一致)
在 $x=2.0$ m (B 點) 處：
$V(2.0) = 262.5 - 1750 \cdot (2.0 - 1.0) = 262.5 - 1750 \cdot 1.0 = 262.5 - 1750 = -1487.5$ N。
這與 B 點的反力 $R_B = 1487.5$ N (向上) 相符，因為在支點處剪力應等於反力的大小，符號相反。

剪力圖草圖：

• 從 $x=0$ 到 $x=1.0$，剪力為常數 $612.5$ N。
• 在 $x=1.0$ 處，剪力從 $612.5$ N 驟降到 $262.5$ N。
• 從 $x=1.0$ 到 $x=2.0$，剪力隨 $x$ 線性下降。
• 在 $x=2.0$ 處，剪力為 $-1487.5$ N。
• 剪力圖在 $x=1.0$ 和 $x=2.0$ 之間會通過零點。我們可以計算零點位置：
  $262.5 - 1750 \cdot (x - 1.0) = 0$
  $1750 \cdot (x - 1.0) = 262.5$
  $x - 1.0 = \frac{262.5}{1750} = 0.15$
  $x = 1.0 + 0.15 = 1.15$ m。
  所以，剪力在 $x=1.15$ m 處為零。

3. 繪製彎矩圖 (BMD)

彎矩 $M(x)$ 是剪力 $V(x)$ 的積分。
段 1：$0 \le x \le 1.0$ m
$V(x) = 612.5$ N。