109 年 國立暨南國際大學土木工程學系碩士班結構與應力組《材料力學》

核心觀念

本題考剛接平面架的支承反力與內力圖。先對整個架構列平衡方程求支承反力，再沿構件切割，利用截面平衡求軸力、剪力與彎矩。

以下採用圖示尺寸：$AB=2\,\text{m}$，$BC=2\,\text{m}$；$AB$ 下方 $1\,\text{m}$ 承受向右均布載重 $q=60\,\text{kgf/m}$；$BC$ 中點承受向下集中力 $P=100\,\text{kgf}$。$A$ 為滾輪支承，只提供鉛直反力；$C$ 為鉸支承，提供水平與鉛直反力。

解題方法

令向右、向上及逆時針為正。先將 $AB$ 上的均布載重換成合力：

此合力作用於距 $A$ 向上 $0.5\,\text{m}$ 處。

1. 支承反力

對整個架構列水平力平衡：

因此 $C_x=-60\,\text{kgf}$，即 $C$ 點反力向左 $60\,\text{kgf}$。

對 $A$ 點取矩：

代入 $C_x=-60\,\text{kgf}$，得 $C_y=5\,\text{kgf}$，方向向上。再由鉛直力平衡：

所以 $A_y=95\,\text{kgf}$，方向向上。

2. 構件 $AB$ 的內力

令 $s$ 為自 $A$ 向上量的距離，$0\le s\le2\,\text{m}$。$AB$ 全段沒有鉛直分布載重，因此軸力為拉力 $95\,\text{kgf}$。

剪力由均布載重累積：下方 $1\,\text{m}$ 內隨 $s$ 線性增加，超過載重區後維持常數。彎矩則由截面載重對切面取矩，令 $\ell=\min(s,1)$，其大小為 $q\ell(s-\ell/2)$：

本題考驗樑的截面慣性矩計算以及因彎曲所產生的最大正規應力計算。

核心觀念：

1. 截面慣性矩 (Moment of Inertia, I): 描述截面抵抗彎曲變形的能力，對於平行於彎曲軸的軸線，計算方式為對該軸線積分 $I_x = \int y^2 dA$。對於組合截面，可利用平行軸定理。
2. 彎曲正應力 (Bending Normal Stress, $\sigma$): 由彎曲彎矩 (M) 和截面慣性矩 (I) 引起，其公式為 $\sigma = \frac{My}{I}$，其中 y 為距離中性軸的距離。最大正應力發生在距離中性軸最遠處。

題目數據：
H 型鋼截面（如圖），坐標系原點設於截面中心。
尺寸：

• 總高 (Total height): 40 cm
• 腹板厚度 (Web thickness): 10 mm = 1 cm
• 翼板寬度 (Flange width): 30 cm
• 翼板厚度 (Flange thickness): 20 mm = 2 cm

(a) 計算繞 x 軸的截面慣性矩 $I_x$。
(b) 彎曲彎矩 $M_x = 2362.4$ ton cm，計算最大正規應力 $\sigma_{max}$。

解題步驟：

(a) 計算截面慣性矩 $I_x$

H 型鋼截面可以視為一個大的矩形減去中間的腹板矩形，再加上兩個翼板矩形。
由於坐標系原點在截面中心，x 軸即為水平對稱軸。

截面可以分解為：

1. 頂部翼板：寬 30 cm，厚 2 cm。
2. 底部翼板：寬 30 cm，厚 2 cm。
3. 腹板：寬 1 cm，高 (40 - 2 - 2) cm = 36 cm。

或更簡潔地，將整個 H 型鋼視為一個大的實心矩形，再減去中間腹板的矩形。

• 大矩形：寬 30 cm，高 40 cm。
• 中間腹板矩形：寬 1 cm，高 36 cm。

計算大矩形繞 x 軸的慣性矩：
$I_{big\_rect} = \frac{bh^3}{12}$
其中 b = 30 cm, h = 40 cm。
$I_{big\_rect} = \frac{30 \times (40)^3}{12} = \frac{30 \times 64000}{12} = 30 \times \frac{64000}{12} = 30 \times 5333.33... = 160000 \text{ cm}^4$

計算中間腹板矩形繞其中心軸（即 x 軸）的慣性矩：
$I_{web} = \frac{bh^3}{12}$
其中 b = 1 cm, h = 36 cm。
$I_{web} = \frac{1 \times (36)^3}{12} = \frac{46656}{12} = 3888 \text{ cm}^4$

H 型鋼截面的慣性矩 $I_x$：
$I_x = I_{big\_rect} - I_{web}$
$I_x = 160000 \text{ cm}^4 - 3888 \text{ cm}^4 = 156112 \text{ cm}^4$

單位換算檢查：
尺寸單位為 cm，慣性矩單位為 cm⁴。
彎矩單位為 ton cm。
應力單位為 kgf/cm² (假設 ton = 1000 kgf)。

(b) 計算最大正規應力 $\sigma_{max}$

本題考驗材料力學中的組合結構受軸向拉伸或壓縮時的變形相容與應力分配問題。

核心觀念：

1. 軸向應變相容 (Axial Strain Compatibility): 當兩種或多種材料組成一柱體，並承受相同的軸向載重時，它們的軸向應變必須相等，即 $\epsilon_r = \epsilon_s$ (橡膠應變等於鋼材應變)。
2. 應力-應變關係 (Stress-Strain Relationship): 根據虎克定律，應力 $\sigma$ 等於應變 $\epsilon$ 乘以材料的楊氏模數 E，即 $\sigma = E\epsilon$。
3. 力平衡 (Force Equilibrium): 作用在組合結構上的總外力，等於各組成材料所承受的內力之和，即 $P = P_r + P_s$。
4. 內力與應力的關係: 內力 $P$ 等於應力 $\sigma$ 乘以該材料的截面積 A，即 $P = \sigma A$。

題目數據與定義：

• 組合支撐由橡膠管和鋼棒組成。
• 橡膠管截面為邊長為 $a$ 的正方形空心管。
• 鋼棒截面為邊長為 $b$ 的實心正方形。
• 兩材料楊氏模數分別為 $E_r$ (橡膠) 和 $E_s$ (鋼)。
• 總軸向力為 $P$。
• $P_r$ 為橡膠管承受的力， $P_s$ 為鋼棒承受的力。
• 要求推導 $P_r$ 和 $P_s$ 的數學表達式。

解題步驟：

1. 計算各材料的截面積：

   • 橡膠管的截面積 $A_r$：為邊長 $a$ 的正方形減去內部的空心部分。題目描述為「square hollow rubber tube」，其內部的孔洞尺寸並未直接給出，但鋼棒是「filled inside the tube」，且鋼棒截面邊長為 $b$。通常這種情況是指鋼棒的尺寸決定了橡膠管的內尺寸。如果鋼棒完全填滿管子，則意味著橡膠管的內邊長為 $b$。
     因此，橡膠管的截面積 $A_r = a^2 - b^2$。
   • 鋼棒的截面積 $A_s$：為邊長 $b$ 的實心正方形。
     $A_s = b^2$。

2. 應用應變相容條件：
   由於橡膠管和鋼棒共同承受軸向載重 P，且它們是緊密結合的，它們的軸向變形量必須相同。這意味著它們的軸向應變也必須相同。
   $\epsilon_r = \epsilon_s$

3. 應用應力-應變關係：
   將應變用應力與楊氏模數表示：
   $\frac{\sigma_r}{E_r} = \frac{\sigma_s}{E_s}$

4. 應用內力與應力的關係：
   將應力用內力與截面積表示：
   $\sigma_r = \frac{P_r}{A_r}$
   $\sigma_s = \frac{P_s}{A_s}$

   代入應力-應變關係式：
   $\frac{P_r / A_r}{E_r} = \frac{P_s / A_s}{E_s}$
   $\frac{P_r}{A_r E_r} = \frac{P_s}{A_s E_s}$

5. 應用力平衡條件：
   總力 P 由兩部分承擔：
   $P = P_r + P_s$

6. 求解 $P_r$ 和 $P_s$：
   我們現在有兩個方程式和兩個未知數 ($P_r, P_s$)：
   (1) $\frac{P_r}{A_r E_r} = \frac{P_s}{A_s E_s}$
   (2) $P_r + P_s = P$

   從方程式 (1)，我們可以得到 $P_s$ 與 $P_r$ 的關係：
   $P_s = P_r \left( \frac{A_s E_s}{A_r E_r} \right)$

核心觀念

構件 $BC$ 的兩端 $B、C$ 皆為鉸接，且中間沒有外力，因此 $BC$ 是二力構件，只承受沿構件軸線的軸力，故其軸力為壓力。

構件 $AB$ 可視為固定端懸臂梁，端點 $B$ 受到構件 $BC$ 的向上作用力。由於 $BC$ 具有軸向變形，不能只用靜力平衡求反力，必須配合變形相容條件。

解題方法與推導

設 $BC$ 對 $AB$ 在 $B$ 點施加向上的力 $R$。則 $BC$ 受到兩端相向作用力，故為壓縮：

$N_{BC}=R$

1. $AB$ 端點 $B$ 的垂直位移

均布載重 $q$ 作用於全長 $L$ 的固定端懸臂梁，其自由端向下位移為

$\delta_q=\frac{qL^4}{8EI}$

端點向上力 $R$ 造成的自由端向上位移為

$\delta_R=\frac{RL^3}{3EI}$

因此，$B$ 點向下位移為

2. 構件 $BC$ 的軸向變形

構件 $BC$ 長度為 $L$，截面積為 $A$，承受壓力 $R$，其壓縮量為

$\delta_{BC}=\frac{RL}{AE}$

由於 $C$ 點為鉸支承，位移為零，故 $B$ 點向下位移必須等於 $BC$ 的壓縮量：

整理得