111 年 國立成功大學工程科學系碩士班己組《工程數學》

核心觀念

本題為典型的一階微分方程式初始值問題（Initial Value Problem, IVP）。
主要考查以下數學觀念與解題工具：

1. 齊次型微分方程式（Homogeneous Differential Equation）：當微分方程式可表示為 $y' = f\left(\frac{y}{x}\right)$ 的形式時，可透過變數變換令 $u = \frac{y}{x}$（即 $y = ux$），將方程式轉化為可分離變數型。
2. 可分離變數法與部分分式拆解（Separation of Variables & Partial Fractions）：將變數 $u$ 與 $x$ 分離於等號兩側後積分。
3. 代入初始條件求得特定解常數 $C$。

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解題方法

步驟一：判斷型態與變數代換
將原微分方程式整理為 $\frac{y}{x}$ 的組合：
$y' = \frac{y(y-x)}{x^2} = \left(\frac{y}{x}\right)^2 - \frac{y}{x}$
此為一階齊次型微分方程式。

令 $u = \frac{y}{x}$，則 $y = u x$。對 $x$ 微分可得：
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u + x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$

步驟二：代入並分離變數
將 $y$ 與 $y'$ 代入原微分方程式：
$u + x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = u^2 - u$
$x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = u^2 - 2u$

移項進行變數分離：
$\frac{\mathrm{d}u}{u(u-2)} = \frac{\mathrm{d}x}{x}$

步驟三：部分分式拆解與積分
利用部分分式法將左式拆解：
$\frac{1}{u(u-2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{u-2} - \frac{1}{u} \right)$

兩端對各自變數積分：
$\frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{u-2} - \frac{1}{u} \right) \mathrm{d}u = \int \frac{1}{x} \mathrm{d}x$
$\frac{1}{2} \ln \left| \frac{u-2}{u} \right| = \ln |x| + C_1$
$\ln \left| \frac{u-2}{u} \right| = 2 \ln |x| + 2C_1 = \ln (x^2) + 2C_1$

兩邊取指數函數 $\exp(\cdot)$：
$\frac{u-2}{u} = C x^2 \quad (\text{其中 } C = \pm e^{2C_1} \text{ 為實數常數})$

核心觀念

傅立葉正弦轉換只對 $t\ge 0$ 的函數積分。依圖可知

$$f(t)= \begin{cases} 1-t, & 0<t<1,\\ 0, & t\ge 1. \end{cases}$$

採用工程數學常見定義

$$F_s(\omega)=\int_0^\infty f(t)\sin(\omega t)\,dt.$$

題目要求的振幅頻譜是 $|F_s(\omega)|$。

解題方法

由於 $f(t)$ 在 $t\ge 1$ 時為零，積分範圍可縮為 $0$ 到 $1$：

$$F_s(\omega)=\int_0^1(1-t)\sin(\omega t)\,dt.$$

分開積分：

$$F_s(\omega) =\int_0^1\sin(\omega t)\,dt-\int_0^1t\sin(\omega t)\,dt.$$

第一項為

$$\int_0^1\sin(\omega t)\,dt=\frac{1-\cos\omega}{\omega}.$$

第二項分部積分，取 $u=t$、$dv=\sin(\omega t)\,dt$：

$$\int_0^1t\sin(\omega t)\,dt =-\frac{\cos\omega}{\omega}+\frac{\sin\omega}{\omega^2}.$$

因此

$$F_s(\omega) =\frac{1-\cos\omega}{\omega} +\frac{\cos\omega}{\omega} -\frac{\sin\omega}{\omega^2} =\frac{\omega-\sin\omega}{\omega^2},\qquad \omega>0.$$

核心觀念

1. 拉普拉斯轉換（Laplace Transform）求解微分方程式：利用拉氏轉換將時域（Time Domain）的常微分方程式轉化為 $s$ 域（$s$-Domain）的代數方程式，結合初始條件 $y(0)=0$ 與 $y'(0)=0$ 求得系統輸出 $Y(s)$。
2. 系統轉移函數（Transfer Function）與脈衝響應（Impulse Response）：
   • 轉移函數 $H(s) = \frac{Y(s)}{F(s)}$。
   • 單位脈衝響應 $h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}$。
3. 第一位移定理（First Shifting Theorem）：
   $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\omega}{(s+a)^2 + \omega^2}\right\} = e^{-at} \sin(\omega t)$
4. 迴旋積分定理（Convolution Theorem）：
   $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)H(s)\} = (f * h)(t) = \int_{0}^{t} h(t-\tau) f(\tau) \, d\tau$
5. 狄拉克 Delta 函數（Dirac Delta Function）的篩選性質（Sifting Property）：
   $\int_{0}^{t} g(\tau) \delta(\tau - a) \, d\tau = g(a) u(t-a) = \begin{cases} 0, & t < a \\ g(a), & t \ge a \end{cases}$

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解題方法

步驟一：對 ODE 兩邊取拉普拉斯轉換

已知二階微分方程式：
$y'' + 4y' + 5y = f(t), \quad y(0) = 0, \; y'(0) = 0$

對等式兩邊進行拉普拉斯轉換：
$\mathcal{L}\{y''\} + 4\mathcal{L}\{y'\} + 5\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{f(t)\}$

代入微分性質公式：
$[s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)] + 4[s Y(s) - y(0)] + 5 Y(s) = F(s)$

代入初始條件 $y(0) = 0$ 及 $y'(0) = 0$ 簡化可得：
$(s^2 + 4s + 5) Y(s) = F(s)$

因此，$Y(s)$ 可表示為：
$Y(s) = \frac{1}{s^2 + 4s + 5} \cdot F(s)$

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步驟二：求系統轉移函數的逆轉換 $h(t)$

令轉移函數為 $H(s) = \frac{1}{s^2 + 4s + 5}$。將分母進行配方：
$s^2 + 4s + 5 = (s + 2)^2 + 1^2$

故：
$H(s) = \frac{1}{(s + 2)^2 + 1^2}$

利用第一位移定理求逆轉換 $h(t)$：
$h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2)^2 + 1^2}\right\} = e^{-2t} \sin(t)$

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步驟三：(1) 利用迴旋積分定理表示任意 $f(t)$ 的解

核心觀念

本題為**非齊次一維波動方程式（Non-homogeneous 1D Wave Equation）**的初始邊界值問題（IBVP）。主要涵蓋以下核心數學原理與方法：

1. 疊加原理與穩態特解法（Steady-State / Particular Solution Method）：當 PDE 中的非齊次源項（Source Term）僅與空間變數 $x$ 有關，且邊界條件為齊次 Dirichlet 邊界時，可將全解拆解為「空間特解 $w(x)$」與「齊次波動方程的通解 $v(x,t)$」之和，即 $u(x,t) = v(x,t) + w(x)$。
2. 分離變數法（Separation of Variables）：用於求解齊次波動方程式 $v_{tt} - v_{xx} = 0$，將偏微分方程轉化為 Sturm-Liouville 特徵值問題及二階常微分方程（ODE）。
3. 正交性與傅立葉正弦級數（Fourier Sine Series）：利用特徵函數族 $\{\sin(n\pi x)\}_{n=1}^{\infty}$ 在區間 $[0, 1]$ 上的正交性，計算滿足初始條件的展開係數 $A_n$。

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解題方法

步驟一：假設解的形式並求解特解 $w(x)$

假設全解形式為：
$u(x,t) = v(x,t) + w(x)$
其中 $w(x)$ 僅為 $x$ 的函數，用以吸收非齊次源項 $6x$ 及適應邊界條件。

將 $u(x,t) = v(x,t) + w(x)$ 代入原 PDE $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 6x$：
$v_{tt}(x,t) - \left[ v_{xx}(x,t) + w''(x) \right] = 6x \implies v_{tt} - v_{xx} - w''(x) = 6x$

令 $w(x)$ 滿足：
$-w''(x) = 6x \implies w''(x) = -6x$
並配合齊次邊界條件 $w(0) = 0$ 與 $w(1) = 0$。

對 $w''(x) = -6x$ 連續積分兩次：
$w'(x) = -3x^2 + C_1$
$w(x) = -x^3 + C_1 x + C_2$

代入邊界條件求解常數：

• $w(0) = 0 \implies C_2 = 0$
• $w(1) = 0 \implies -1^3 + C_1(1) = 0 \implies C_1 = 1$

故空間特解為：
$w(x) = -x^3 + x = x(1 - x^2)$

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步驟二：建立齊次偏微分方程 $v(x,t)$ 的完整定解問題

將 $u(x,t) = v(x,t) + w(x)$ 代回原問題，得到齊次函數 $v(x,t)$ 須滿足的方程與條件：

1. PDE：$v_{tt} - v_{xx} = 0 \quad (0 < x < 1, \; t > 0)$
2. BC：
   • $v(0,t) = u(0,t) - w(0) = 0 - 0 = 0$
   • $v(1,t) = u(1,t) - w(1) = 0 - 0 = 0$
3. IC：
   • $v(x,0) = u(x,0) - w(x) = x^3 - (x - x^3) = 2x^3 - x$
   • $v_t(x,0) = u_t(x,0) - w_t(x) = 0 - 0 = 0$

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步驟三：使用分離變數法求解 $v(x,t)$

設 $v(x,t) = X(x)T(t)$，代入 $v_{tt} = v_{xx}$：
$X(x)T''(t) = X''(x)T(t) \implies \frac{T''(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda$

1. 空間特徵值問題：
   $X''(x) + \lambda X(x) = 0, \quad X(0) = 0, \; X(1) = 0$
   解得特徵值（Eigenvalues）與特徵函數（Eigenfunctions）：
   $\lambda_n = (n\pi)^2, \quad X_n(x) = \sin(n\pi x), \quad n = 1, 2, 3, \dots$

2. 時間微分方程：
   $T_n''(t) + (n\pi)^2 T_n(t) = 0$
   通解為：
   $T_n(t) = A_n \cos(n\pi t) + B_n \sin(n\pi t)$
   由初始速度條件 $v_t(x,0) = 0 \implies T_n'(0) = 0 \implies B_n = 0$，故：
   $T_n(t) = A_n \cos(n\pi t)$

3. 齊次通解之疊加：
   $v(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n\pi x) \cos(n\pi t)$

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核心觀念

本題考查矩陣函數（Matrix Function）之計算。對於非簡單次方的矩陣函數 $f(A)$（例如本題的 $f(x) = e^{\sin(x)}$），常見求解方式包括矩陣對角化法（Diagonalization）與凱萊-哈密頓定理／Sylvester 內插公式（Sylvester's Interpolation Formula）。

1. 特徵值與特徵多項式：
   對方陣 $A$，求解特徵方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ 得到特徵值 $\lambda_i$。
2. Sylvester 內插公式（餘式定理）：
   若 $n \times n$ 矩陣 $A$ 擁有 $n$ 個相異特徵值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$，則對任意可微純量函數 $f(x)$，矩陣函數 $f(A)$ 可表示為 $A$ 的 $n-1$ 次多項式：
   $f(A) = r(A) = c_{n-1} A^{n-1} + \dots + c_1 A + c_0 I$
   其中的待定係數 $c_i$ 滿足：對所有特徵值 $\lambda_j$，均成立純量等式 $f(\lambda_j) = r(\lambda_j)$。

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解題方法

步驟一：求解矩陣 $A$ 的特徵值

給定矩陣 $A = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$，計算其特徵多項式：
$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 6 - \lambda & -3 \\ 4 & -1 - \lambda \end{vmatrix} = 0$

展開行列式：
$(6 - \lambda)(-1 - \lambda) - (-3)(4) = 0$
$\lambda^2 - 5\lambda - 6 + 12 = 0$
$\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$
$(\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0$

解得特徵值為兩個相異實數：
$\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 3$

步驟二：建立矩陣函數之多項式表示式

欲求矩陣函數 $f(A) = e^{\sin(A)}$，即對應純量函數為 $f(x) = e^{\sin(x)}$。
由於 $A$ 為 $2 \times 2$ 矩陣且具備兩個相異特徵值，根據 Sylvester 內插公式，可設：
$f(A) = c_1 A + c_0 I$

將特徵值 $\lambda_1 = 2$ 與 $\lambda_2 = 3$ 分別代入純量等式 $f(\lambda) = c_1 \lambda + c_0$：
$\begin{cases} f(2) = 2c_1 + c_0 = e^{\sin(2)} \\ f(3) = 3c_1 + c_0 = e^{\sin(3)} \end{cases}$

步驟三：求解待定係數 $c_1$ 與 $c_0$

將兩式相減：
$(3c_1 + c_0) - (2c_1 + c_0) = e^{\sin(3)} - e^{\sin(2)}$
$c_1 = e^{\sin(3)} - e^{\sin(2)}$

代回第一個方程求解 $c_0$：
$c_0 = e^{\sin(2)} - 2c_1 = e^{\sin(2)} - 2\left(e^{\sin(3)} - e^{\sin(2)}\right) = 3e^{\sin(2)} - 2e^{\sin(3)}$

步驟四：代回矩陣計算 $e^{\sin(A)}$

將 $c_1$、$c_0$ 及矩陣 $A, I$ 代入 $f(A) = c_1 A + c_0 I$：

核心觀念

本題考查兩項內容：

1. 向量分析中的叉積散度恆等式：

$$\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) =\mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) -\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})$$

2. 梯度算子連續作用。若
   $\mathbf{T}=(\nabla\nabla)\nabla\phi$
   則 $\mathbf{T}$ 是三階導數張量，其分量為
   $T_{ijk}=\frac{\partial^3\phi}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}.$

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（1）向量恆等式證明

題目原式寫成 $\nabla\cdot(\mathbf{Q}\times\mathbf{Q})$，且右側出現 $(\nabla\cdot\mathbf{Q})\times\mathbf{Q}$。其中 $\nabla\cdot\mathbf{Q}$ 是純量，不能與向量作叉積，因此原式在記號上有誤。

合理採用的標準恆等式為

$$\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) =\mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) -\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B}).$$

令 $\varepsilon_{ijk}$ 表示 Levi-Civita 符號，則

$$(\mathbf{A}\times\mathbf{B})_i =\varepsilon_{ijk}A_jB_k.$$

因此

$$\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) =\frac{\partial}{\partial x_i} \left(\varepsilon_{ijk}A_jB_k\right).$$

利用乘法微分法則：

$$\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = \varepsilon_{ijk} \frac{\partial A_j}{\partial x_i}B_k + \varepsilon_{ijk} A_j\frac{\partial B_k}{\partial x_i}.$$

第一項可改寫為

$$\varepsilon_{ijk} \frac{\partial A_j}{\partial x_i}B_k = B_k\varepsilon_{kij} \frac{\partial A_j}{\partial x_i} = \mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{A}).$$

第二項則為

$$\varepsilon_{ijk} A_j\frac{\partial B_k}{\partial x_i} = -A_j\varepsilon_{jik} \frac{\partial B_k}{\partial x_i} = -\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B}).$$

所以得到

$$\boxed{ \nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = \mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) - \mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B}) }.$$

若兩個向量確實都是 $\mathbf{Q}$，則

$$\mathbf{Q}\times\mathbf{Q}=\mathbf{0},$$

且右側為

$$\mathbf{Q}\cdot(\nabla\times\mathbf{Q}) - \mathbf{Q}\cdot(\nabla\times\mathbf{Q})=0,$$

等式仍成立，但只得到平凡結果 $0=0$。

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（2）求 $(\nabla\nabla)\nabla\phi$

已知

$$\phi=x^2yz^3.$$

先求梯度：