111 年 國立成功大學工程科學系碩士班己組《材料力學》

本題主要在考察材料力學基礎概念的理解。

(a) 脆性材料 (Brittle Materials) 的性質：
脆性材料在承受拉伸載荷時，其應力-應變曲線通常在屈服點之前就會斷裂，斷裂前幾乎沒有明顯的塑性變形。其斷裂模式通常是突然的、沒有預警的。典型例子包括鑄鐵、陶瓷、玻璃等。
【答案】脆性材料在斷裂前幾乎沒有塑性變形，其斷裂通常是突然且無預警的。

(b) 延性材料 (Ductile Materials) 的性質：
延性材料在承受拉伸載荷時，在屈服點之後會發生顯著的塑性變形，直到達到極限強度後才斷裂。這種塑性變形能力使得材料在斷裂前有明顯的頸縮現象。典型例子包括大多數金屬，如鋼、鋁、銅等。
【答案】延性材料在斷裂前能承受顯著的塑性變形，並有明顯的頸縮現象。

(c) 蒲松比 (Poisson's Ratio) 的完整定義：
蒲松比，通常用希臘字母 $\nu$ (nu) 表示，定義為材料在單軸拉伸或壓縮時，橫向應變 (lateral strain) 與軸向應變 (axial strain) 的負值比。
$\nu = -\frac{\epsilon_{lateral}}{\epsilon_{axial}}$
其中，$\epsilon_{lateral}$ 是垂直於載荷方向的應變，$\epsilon_{axial}$ 是沿載荷方向的應變。
對於各向同性材料，蒲松比是一個常數。一般而言，大多數材料的蒲松比介於 0 到 0.5 之間。
【答案】蒲松比 $\nu$ 定義為材料在單軸應力作用下，橫向應變與軸向應變的負值比，即 $\nu = -\frac{\epsilon_{lateral}}{\epsilon_{axial}}$。

本題主要在考察圓軸扭轉下，表面上不同方向元素的應力分析。

首先，我們需要理解圓軸扭轉時，表面上的應力狀態。當一個圓軸受到扭矩 $T$ 時，其內部的剪應力 $\tau$ 隨半徑 $r$ 的增加而線性增加，最大剪應力發生在外表面 (半徑為 $R = d/2$)。
$\tau_{max} = \frac{T R}{J}$
其中 $J$ 是極慣性矩，對於圓截面 $J = \frac{\pi d^4}{32}$。
扭矩產生的剪應力方向沿著圓周方向。

對於位於圓軸表面上的某一點，我們可以定義兩個互相垂直的座標系：一個是沿軸向的座標系 (x, y)，另一個是隨角度 $\theta$ 變化的座標系。
在圓軸扭轉下，表面上的應力狀態是純剪應力狀態。也就是說，在沿軸向和圓周方向的座標系下，只有剪應力 $\tau$ 存在，而沒有正向應力。

元素 A 位於軸線上，方向角為 0°，表示其一邊平行於軸線，另一邊垂直於軸線。
元素 B 位於軸線上，方向角為 30°，表示其邊與軸線夾角為 30°。

我們需要分析這兩個元素上的應力。
對於元素 A，其邊是沿軸向和圓周方向的。
在圓軸扭轉下，圓軸表面的應力是純剪應力。
因此，在元素 A 的邊上，存在剪應力 $\tau$。
$\tau_A = \tau_{max} = \frac{T (d/2)}{J} = \frac{T (d/2)}{\frac{\pi d^4}{32}} = \frac{16T}{\pi d^3}$
在元素 A 的邊上，應力是剪應力 $\tau_A$。
Sketch of stresses on element A:
🖼️【此處應繪製一個正方形，其兩條邊分別標示 $\tau_A$ 和 $\tau_A$ (方向相反)，表示純剪應力狀態。】

對於元素 B，其邊與軸線夾角為 30°。
我們需要將純剪應力轉換到這個傾斜的座標系上。
假設原始座標系為 x (軸向) 和 y (圓周方向)，在此座標系下的應力張量為：

$$\sigma_{xy} = \begin{bmatrix} 0 & \tau_A \\ \tau_A & 0 \end{bmatrix}$$

我們需要將這個應力張量轉換到一個旋轉了 $\theta = 30^\circ$ 的座標系上。
旋轉座標系的應力轉換公式為：

$$\sigma_{x'} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\theta) + \tau_{xy} \sin(2\theta)$$ $$\sigma_{y'} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\theta) - \tau_{xy} \sin(2\theta)$$ $$\tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin(2\theta) + \tau_{xy} \cos(2\theta)$$

在這裡，$\sigma_x = 0, \sigma_y = 0, \tau_{xy} = \tau_A$。

核心觀念

剛性桿 $AB$ 在 $A$ 點鉸接，因此受力後只會繞 $A$ 點旋轉。採小變形假設，桿上各點的垂直位移與距離 $A$ 點的距離成正比。

兩條鋼線皆為線彈性軸向構件，其勁度為

$$k=\frac{EA_w}{\ell},\qquad A_w=\frac{\pi d^2}{4}$$

其中 $A_w$ 為鋼線截面積。

由圖得：

• 第一條鋼線位於 $x=L$，長度 $\ell_1=\dfrac{5L}{6}$
• 第二條鋼線位於 $x=2L$，長度 $$\ell_2=\frac{5L}{6}+\frac{2L}{3}=\frac{3L}{2}$$
• 載重 $P$ 作用於 $B$ 點，且 $AB=3L$

解題方法

設剛性桿繞 $A$ 點順時針轉動角度 $\theta$，則各點向下位移為

$$\delta_1=L\theta,\qquad \delta_2=2L\theta,\qquad \delta_B=3L\theta$$

兩條鋼線的拉力分別為

$$T_1=\frac{EA_w}{\ell_1}\delta_1 =\frac{EA_w}{5L/6}(L\theta) =\frac{6}{5}EA_w\theta$$

核心觀念

本題考查：

• 支承反力的平衡方程式
• 剪力圖與彎矩圖的基本關係
• 集中力造成剪力瞬間跳躍
• 均布載重造成剪力線性變化、彎矩呈拋物線變化

取 $A$ 為原點，向右為 $x$ 軸。支承位置為：

• $A：x=0$
• 集中力 $8\ \text{kN}：x=1\ \text{m}$
• $C：x=2\ \text{m}$
• $B：x=3.5\ \text{m}$

均布載重 $2\ \text{kN/m}$ 作用於 $CB$，總載重為：

$$W=2(1.5)=3\ \text{kN}$$

其作用位置在 $CB$ 中點，即距離 $A$：

$$x=2+\frac{1.5}{2}=2.75\ \text{m}$$

解題方法：求支承反力

設 $A$ 點垂直反力為 $A_y$，$C$ 點垂直反力為 $C_y$。

由垂直力平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$A_y+C_y-8-3=0$$ $$A_y+C_y=11$$

以 $A$ 點取力矩：

$$\sum M_A=0$$ $$2C_y-8(1)-3(2.75)=0$$ $$2C_y=16.25$$ $$C_y=8.125\ \text{kN}$$

因此：

$$A_y=11-8.125=2.875\ \text{kN}$$

剪力圖

由左向右計算剪力：

$A$ 至集中力位置

在 $A$ 右側：

$$V=+A_y=+2.875\ \text{kN}$$

因此剪力圖由 $A$ 點跳升至 $+2.875\ \text{kN}$，並維持水平至 $x=1\ \text{m}$。

通過 $8\ \text{kN}$ 集中力

剪力瞬間下降 $8\ \text{kN}$：

$$V=2.875-8=-5.125\ \text{kN}$$

所以 $x=1$ 至 $x=2$ 間：

$$V=-5.125\ \text{kN}$$

通過支承點 $C$

在 $C$ 點受到向上的反力 $8.125\ \text{kN}$，剪力跳升：

$$V=-5.125+8.125=+3.000\ \text{kN}$$

$C$ 至 $B$

均布載重為 $2\ \text{kN/m}$，因此剪力隨距離線性下降。令 $s=x-2$，其中 $0\leq s\leq1.5$：

$$V(s)=3-2s$$

在 $B$ 點：

$$V_B=3-2(1.5)=0$$

故剪力圖關鍵值為：

$$V_A=+2.875\ \text{kN}$$ $$V_{x=1^+}=-5.125\ \text{kN}$$ $$V_{C^+}=+3.000\ \text{kN}$$ $$V_B=0$$

剪力圖形狀為：$A$ 至 $x=1$ 水平、於集中力處垂直下降、至 $C$ 水平、於 $C$ 點垂直上升，最後由 $C$ 至 $B$ 線性下降至零。

彎矩圖

$A$ 至 $x=1\ \text{m}$

核心觀念

本題考查矩形截面在斜向彎矩作用下的非對稱彎曲。截面上任一點的正應力為

$$\sigma_x=-\frac{M_z y}{I_z}+\frac{M_y z}{I_y}$$

其中：

• $M_y=M\cos\theta$
• $M_z=M\sin\theta$
• $I_y$、$I_z$ 為截面對 $y$ 軸、$z$ 軸的慣性矩
• $y,z$ 為該點相對於截面形心的座標

取圖示 $z$ 軸向左為正，因此 $B,D$ 兩點皆位於 $z=-3a$。

截面性質與座標

矩形截面的高度為 $2a$、寬度為 $6a$，故

$$I_z=\frac{(6a)(2a)^3}{12}=4a^4$$ $$I_y=\frac{(2a)(6a)^3}{12}=36a^4$$

兩點座標為

$$B:(y,z)=(a,-3a)$$ $$D:(y,z)=(-a,-3a)$$

求 B 點應力

代入斜向彎曲公式：

$$\sigma_B =-\frac{(M\sin\theta)(a)}{4a^4} +\frac{(M\cos\theta)(-3a)}{36a^4}$$

因此

$$\boxed{ \sigma_B =-\frac{M}{12a^3} \left(3\sin\theta+\cos\theta\right) }$$