115 年 國立成功大學工程科學系碩士班己組《材料力學》

此題主要在於測試考生對材料力學基本名詞的理解及其物理意義。

(a) 剪力模數 (Shear Modulus)

• 定義： 剪力模數，又稱韌性模數 (Modulus of Rigidity)，通常以 $G$ 表示，是材料抵抗剪切變形能力的度量。它定義為材料在純剪切應力作用下，剪應力與剪應變之比。
  $G = \frac{\tau}{\gamma}$
  其中 $\tau$ 是剪應力 (shear stress)，$\gamma$ 是剪應變 (shear strain)。

• 物理意義： 剪力模數反映了材料內部的原子鍵結抵抗因外力作用而產生相對滑動的能力。$G$ 值越大，表示材料對剪切變形抵抗力越強，越不容易發生扭轉或剪切變形。例如，鋼的剪力模數遠大於鋁，因此鋼在承受扭矩時變形較小。

(b) 楊氏模數 (Young's Modulus)

• 定義： 楊氏模數，通常以 $E$ 表示，是材料在單軸拉伸或壓縮應力作用下，應力與應變之比。它衡量了材料在受拉伸或壓縮時抵抗變形的剛度。
  $E = \frac{\sigma}{\epsilon}$
  其中 $\sigma$ 是正向應力 (normal stress)，$\epsilon$ 是正向應變 (normal strain)。

核心觀念

兩端固定的桿件受到均勻升溫時，熱膨脹受到限制，會產生壓縮應力。其熱應變與軸向機械應變相加後，必須符合桿件兩端的位移限制。

本題採用拉力為正、壓力為負，並以向右為正方向。材料彈性範圍內的軸向應變為

$$\varepsilon=\frac{N}{EA}+\alpha\Delta T$$

其中 $N$ 為桿件內力，拉力取正；$\alpha\Delta T$ 為熱應變。

（a）升溫造成的熱應力

兩端固定，因此桿件總長度變化為零：

$$\frac{\sigma_{th}}{E}+\alpha\Delta T=0$$

解得

$$\sigma_{th}=-E\alpha\Delta T$$

代入 $E=70{,}000\ \text{MPa}$、$\alpha=23\times10^{-6}/^\circ\text{C}$、$\Delta T=50^\circ\text{C}$：

$$\sigma_{th} =-(70{,}000)(23\times10^{-6})(50) =-80.5\ \text{MPa}$$

負號表示壓縮。

（b）以相容條件求左端反力

設中點左、右兩段的軸力分別為 $N_1$、$N_2$，仍以拉力為正。兩段長度皆為 $L/2$。

中點受向右的集中力 $P$。中點節點平衡為

$$-N_1+N_2+P=0$$

因此

$$N_1-N_2=P=10\ \text{kN}$$

兩端固定，桿件總長度變化為零。將兩段的機械變形與整根桿件的熱膨脹相加，得到相容條件：

核心觀念

本題考查彎曲時的截面模數，以及複合梁中材料彈性模數不同所造成的應力差異。

截面模數定義為

$$S=\frac{I}{c}$$

其中 $I$ 為截面對中性軸的慣性矩，$c$ 為中性軸至最外纖維的距離。由彎曲公式

$$\sigma_{\max}=\frac{Mc}{I}=\frac{M}{S}$$

可知，在彎矩 $M$ 相同時，截面模數 $S$ 越大，最大彎曲應力越小。

複合梁的轉換截面法則利用材料間的應變相容性，把其中一種材料等效轉換成另一種材料，再以單一材料截面分析。

(a) 彎曲結構效率

解題方法與推導

對矩形截面，令寬度為 $b$、深度為 $h$，並假設彎曲時深度方向為截面高度。截面面積固定為

$$A=bh$$

矩形對中性軸的慣性矩為

$$I=\frac{bh^3}{12}$$

最外纖維至中性軸的距離為

$$c=\frac{h}{2}$$

因此截面模數為

$$S=\frac{I}{c} =\frac{bh^3/12}{h/2} =\frac{bh^2}{6}$$

利用 $b=A/h$ 代入，可得

$$S=\frac{Ah}{6}$$

在截面面積 $A$ 固定時，$S$ 與深度 $h$ 成正比。因此，深度較大的矩形截面具有較大的截面模數。對相同彎矩 $M$，其最大彎曲應力為

$$\sigma_{\max}=\frac{M}{S} =\frac{6M}{Ah}$$

所以深度 $h$ 越大，最大彎曲應力越小，抵抗彎曲越有效。

解題技巧

固定面積時，可先把 $b=A/h$ 代入慣性矩，再求截面模數。這能直接看出深度對彎曲效率的影響；本題結果為 $S\propto h$，而最大應力為 $\sigma_{\max}\propto 1/h$。

(b) 複合梁的轉換截面法

解題方法與推導

核心觀念

本題考查：

1. 平面剛架的靜不定度。
2. 力法中「冗餘力」的選取。
3. Castigliano 第二定理：
   $\delta_i=\frac{\partial U}{\partial Q_i}$
   其中 $Q_i$ 為外力，$U$ 為構件的彎曲應變能。
4. 題目忽略軸向與剪力變形，因此只考慮彎曲變形：
   $U=\int\frac{M^2}{2EI}\,ds$

由於 $C$ 為鉸支承，鉸支承具有水平與垂直兩個反力分量，因此冗餘力應視為

$\mathbf R_C=(R_{Cx},R_{Cy})$

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(a) 靜不定度

平面結構中：

• 固定端 $A$ 提供 $3$ 個反力：$A_x,A_y,M_A$。
• 鉸支承 $C$ 提供 $2$ 個反力：$R_{Cx},R_{Cy}$。

因此未知反力總數為

$r=3+2=5$

平面靜力平衡方程式只有

$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$

共 $3$ 個，因此靜不定度為

$D_s=r-3=5-3=2$

故此結構為二次靜不定。

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(b) 冗餘力的選取

將 $C$ 的鉸支承移除後，結構成為固定端 $A$ 的懸臂剛架，屬於靜定結構。

為恢復原本 $C$ 點的支承條件，需在 $C$ 點加入兩個冗餘力：

• 水平冗餘力 $R_{Cx}$；
• 垂直冗餘力 $R_{Cy}$。

因此

$\boxed{\mathbf R_C=(R_{Cx},R_{Cy})}$

其中：

• $R_{Cx}>0$ 定義為向右；
• $R_{Cy}>0$ 定義為向上。

由於 $C$ 為鉸支承，兼具水平與垂直位移拘束，故必須滿足

$u_C=0,\qquad v_C=0$

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(c) 利用 Castigliano 第二定理求 $C$ 點反力

1. 幾何與座標

令：

• $AB$ 沿垂直方向，長度為 $H$；
• $BC$ 沿水平方向，長度為 $L$；
• 集中力 $P$ 作用於 $BC$ 中點；
• 在 $BC$ 上以 $x$ 表示距離 $B$ 的位置；
• 在 $AB$ 上以 $y$ 表示距離 $A$ 的位置。

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2. 各力造成的彎矩

$AB$ 構件

在 $AB$ 任意截面，外力 $P$ 對截面的彎矩為

$M_{AB}^{(P)}=-\frac{PL}{2}$

水平反力 $R_{Cx}$ 造成的彎矩為

$M_{AB}^{(x)}=-R_{Cx}(H-y)$

垂直反力 $R_{Cy}$ 造成的彎矩為

$M_{AB}^{(y)}=LR_{Cy}$

因此

$$M_{AB} =-\frac{PL}{2}-R_{Cx}(H-y)+LR_{Cy}$$

$BC$ 構件

令載重作用點為 $x=L/2$。

在 $0\le x\le L/2$：

$$M_{BC} =-P\left(\frac L2-x\right)+R_{Cy}(L-x)$$

在 $L/2\le x\le L$：

$M_{BC}=R_{Cy}(L-x)$

水平反力 $R_{Cx}$ 的作用線與 $BC$ 重合，因此不造成 $BC$ 的彎矩。

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3. 柔度係數

以單位力法計算柔度係數。

水平方向

$R_{Cx}$ 單位力在 $AB$ 上造成的彎矩為

$m_x=-(H-y)$

因此

$$f_{xx} =\int_0^H\frac{(H-y)^2}{EI}\,dy =\frac{H^3}{3EI}$$

垂直方向

$R_{Cy}$ 單位力在 $AB$ 上造成彎矩 $L$，在 $BC$ 上造成彎矩 $L-x$，故

$$f_{yy} =\frac{1}{EI} \left[ \int_0^H L^2\,dy +\int_0^L(L-x)^2\,dx \right]$$ $$f_{yy} =\frac{1}{EI} \left(L^2H+\frac{L^3}{3}\right)$$

交叉柔度係數

只有 $AB$ 對交叉項有貢獻：

$$f_{xy}=f_{yx} =\int_0^H\frac{[-(H-y)]L}{EI}\,dy$$ $$f_{xy} =-\frac{LH^2}{2EI}$$

此題主要考驗考生計算主應力以及繪製三維莫爾圓的能力。

給定應力張量 (Stress Tensor)：
$[\sigma] = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 40 & 20 & 0 \\ 20 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 30 \end{bmatrix} \, \text{MPa}$

(a) 計算主應力 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$

主應力是應力張量在某個座標系下的特徵值 (eigenvalues)。它們是通過求解特徵方程式 (characteristic equation) 來獲得的。
特徵方程式為：
$\det(\sigma - \lambda I) = 0$
其中 $\lambda$ 代表主應力 (通常用 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ 表示)，$I$ 是單位矩陣。

$\sigma - \lambda I = \begin{bmatrix} 40-\lambda & 20 & 0 \\ 20 & 10-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 30-\lambda \end{bmatrix}$

計算行列式：
$\det(\sigma - \lambda I) = (40-\lambda) \det \begin{bmatrix} 10-\lambda & 0 \\ 0 & 30-\lambda \end{bmatrix} - 20 \det \begin{bmatrix} 20 & 0 \\ 0 & 30-\lambda \end{bmatrix} + 0$
$= (40-\lambda) [(10-\lambda)(30-\lambda) - 0] - 20 [20(30-\lambda) - 0]$
$= (40-\lambda)(10-\lambda)(30-\lambda) - 20(20)(30-\lambda)$

令 $\det(\sigma - \lambda I) = 0$：
$(40-\lambda)(10-\lambda)(30-\lambda) - 400(30-\lambda) = 0$
提出公因式 $(30-\lambda)$：
$(30-\lambda) [(40-\lambda)(10-\lambda) - 400] = 0$

其中一個主應力顯然是 $\lambda_1 = 30$ MPa。

現在求解方括號內的二次方程式：
$(40-\lambda)(10-\lambda) - 400 = 0$
$400 - 40\lambda - 10\lambda + \lambda^2 - 400 = 0$
$\lambda^2 - 50\lambda = 0$
$\lambda(\lambda - 50) = 0$
所以，另外兩個主應力是 $\lambda_2 = 0$ MPa 和 $\lambda_3 = 50$ MPa。

將這三個主應力按大小順序排列，通常是 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$。
$\sigma_1 = 50$ MPa
$\sigma_2 = 30$ MPa
$\sigma_3 = 0$ MPa

【答案】
主應力為 $\sigma_1 = 50$ MPa, $\sigma_2 = 30$ MPa, $\sigma_3 = 0$ MPa。

(b) 繪製三維莫爾圓 (3D Mohr's Circle)

三維莫爾圓用於表示三維應力狀態。它由三個圓組成，這些圓位於同一個平面內（莫爾平面），並且它們的圓心和半徑與主應力有關。

• 主應力： $\sigma_1 = 50$ MPa, $\sigma_2 = 30$ MPa, $\sigma_3 = 0$ MPa。
• 莫爾平面： 這是應力張量為純粹剪應力狀態的平面。
• 莫爾圓的圓心：
  • 圓 1 (連接 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$) 的圓心 $C_{12}$：在應力軸上的位置是 $(\sigma_1 + \sigma_2)/2$。
  • 圓 2 (連接 $\sigma_2$ 和 $\sigma_3$) 的圓心 $C_{23}$：在應力軸上的位置是 $(\sigma_2 + \sigma_3)/2$。