113 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班乙組《材料力學》

核心觀念

此題考察「偏心軸向載重」造成的壓應力與彎曲應力疊加。

軸力 $P$ 的作用線偏離截面形心 $e_y$，因此產生彎矩

$$M_x=P e_y$$

圖中矩形截面在 $y$ 方向的尺寸為 $h$，在 $x$ 方向的尺寸為 $b$，故

$$A=bh,\qquad I_x=\frac{bh^3}{12}$$

為避免截面任何位置出現拉應力，載重作用線必須落在截面的核心（kern）內；對矩形截面而言，即為 $y$ 方向的中間三分之一範圍。

解題方法

取拉應力為正，軸向壓力 $P$ 所造成的應力為

$$-\frac{P}{A}$$

偏心力所造成的彎曲應力為

$$\frac{M_x y}{I_x}$$

因此截面上任意位置 $y$ 的正應力可寫成

$$\sigma_z(y) = -\frac{P}{bh} + \frac{P e_y}{I_x}y$$

矩形截面的最外側纖維位於

$$y=\pm \frac{h}{2}$$

其中較可能產生拉應力的一側，其最大正應力為

$$\sigma_{\max} = -\frac{P}{bh} + \frac{P|e_y|}{I_x}\frac{h}{2}$$

不產生拉應力的條件為

核心觀念

本題考查：

1. 靜定與靜不定判斷
2. 力法／相容條件
3. 懸臂梁撓度公式
4. 彈簧力與位移關係
5. $k\to\infty$ 時的支承極限行為

假設梁遵守 Euler–Bernoulli 梁理論，彈簧為線性垂直彈簧，且無預壓縮。均佈載重強度為 $w$，梁長為 $L$，彎曲剛度為 $EI$。

取向下為撓度正方向，端點 $B$ 的彈簧反力以向上為正，記為 $R_B$。

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(a) 靜定性分析

支承反力包括：

• 固定端 $A$ 的水平反力 $A_x$
• 固定端 $A$ 的垂直反力 $A_y$
• 固定端 $A$ 的反力矩 $M_A$
• 彈簧支承 $B$ 的垂直反力 $R_B$

平面問題只有三個獨立平衡方程式：

$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$$

但未知反力共有四個，因此：

$$4-3=1$$

所以本系統為一次靜不定系統。

其中多出的未知量為彈簧反力 $R_B$，必須再利用變形相容條件：

$$R_B=k\delta_B$$

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(b) 求端點 $B$ 的撓度

先將彈簧反力 $R_B$ 視為未知外力，利用疊加原理分析懸臂梁。

均佈載重造成的端點撓度

長度為 $L$ 的懸臂梁承受全跨均佈載重 $w$，端點撓度為：

$$\delta_w=\frac{wL^4}{8EI}$$

方向向下。

端點彈簧反力造成的端點撓度

端點向上的集中力 $R_B$ 造成向上的端點撓度：

$$\delta_R=\frac{R_B L^3}{3EI}$$

因此端點實際向下撓度為：

$$\delta_B = \frac{wL^4}{8EI} - \frac{R_B L^3}{3EI}$$

又由彈簧力與位移關係：

$$R_B=k\delta_B$$

代入得：

$$\delta_B = \frac{wL^4}{8EI} - \frac{k\delta_B L^3}{3EI}$$

整理：

$$\delta_B\left(1+\frac{kL^3}{3EI}\right) = \frac{wL^4}{8EI}$$

因此：

$$\boxed{ \delta_B = \frac{wL^4}{8EI\left(1+\dfrac{kL^3}{3EI}\right)} }$$

等價寫法為：

$$\boxed{ \delta_B = \frac{3wL^4}{8\left(3EI+kL^3\right)} }$$

彈簧反力為：

$$R_B=k\delta_B$$

所以：

$$\boxed{ R_B = \frac{3kwL^4}{8\left(3EI+kL^3\right)} }$$

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(c) 當 $k\to\infty$ 時的所有支承反力

當彈簧勁度趨近無限大時，端點 $B$ 的撓度被限制為零：

$$\delta_B\to 0$$

由上式求彈簧反力：

$$R_B = \frac{3kwL^4}{8\left(3EI+kL^3\right)}$$

取極限：

$$R_B = \lim_{k\to\infty} \frac{3kwL^4}{8\left(3EI+kL^3\right)} = \frac{3wL}{8}$$

方向向上。

由垂直力平衡：

$$A_y+R_B-wL=0$$

因此：

此題考驗梁的彎曲應力與剪應力分析，包含靜不定梁的支反力計算、彎矩圖和剪力圖的繪製，以及最大彎曲應力和剪應力的求解。

核心觀念：
梁的支反力計算、剪力圖 (SFD) 和彎矩圖 (BMD) 的繪製、最大彎曲應力 $\sigma_{max} = \frac{M_{max} y}{I}$、最大剪應力 $\tau_{max} = \frac{V Q}{I t}$ (對於矩形截面 $\tau_{max} = \frac{3}{2} \frac{V}{A}$)。

解題過程：

梁的支承與載荷：
梁 ABD，A 點和 B 點為簡支支承，BD 為懸挑部分。
均佈載荷 $q = 12.0 \, \text{kN/m}$ 作用在梁上。
梁的尺寸：$L = 4.0 \, \text{m}$ (AB 段長度)，懸挑段 BD 長度為 $L/2 = 2.0 \, \text{m}$。
截面為矩形，寬度 $b = 60 \, \text{mm} = 0.06 \, \text{m}$，高度 $h = 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}$。

1. 靜不定度分析與支反力計算
梁 ABD 共有 A 和 B 兩個簡支支承。對於梁來說，每個簡支支承提供一個垂直支反力。
梁上有 3 個支反力（$R_A, R_B, R_D$），但梁只有 A 和 B 是支點，D 點是懸挑端的盡頭。
圖示顯示 A 和 B 是滾支承（或鉸支承），D 點是懸挑端。
那麼，我們有 A 和 B 兩個支點，均佈載荷 $q$ 作用在 AB 段。
梁的靜不定度：
如果我們只考慮 AB 段作為一個梁，那麼 A 和 B 是支點，提供 $R_A$ 和 $R_B$。均勻載荷 $q$ 作用在 AB 上。
這是靜定的。
但是，梁延伸到 D。這表示梁是連續的，或者 B 點是中間支點。
如果 A 和 B 是支點，則 BD 是懸挑。
梁的受力：

• 均佈載荷 $q$ 作用在 AB 段。
• A 點支反力 $R_A$。
• B 點支反力 $R_B$。
• D 點是懸挑端的自由端，沒有支反力。

梁的靜力平衡方程式：
$\sum F_y = 0 \implies R_A + R_B - qL = 0$
$\sum M_A = 0 \implies R_B \cdot L - qL \cdot (L/2) = 0$ (這裡假設支點 B 承受來自懸挑段的力，但懸挑段沒有支點，所以 D 點是自由端，沒有外力作用在 D 點上，均佈載荷只作用在 AB 上)。
如果均佈載荷 $q$ 只作用在 AB 上，則梁的受力如圖所示。
從 $\sum M_A = 0$: $R_B \cdot L - qL \cdot \frac{L}{2} = 0 \implies R_B = \frac{qL}{2}$。
從 $\sum F_y = 0$: $R_A + R_B - qL = 0 \implies R_A = qL - R_B = qL - \frac{qL}{2} = \frac{qL}{2}$。
所以，A 和 B 兩個支點承受相同的向上支反力。

2. 剪力圖 (SFD) 和彎矩圖 (BMD)
均佈載荷 $q = 12.0 \, \text{kN/m}$，長度 $L = 4.0 \, \text{m}$。
$R_A = R_B = \frac{12.0 \times 4.0}{2} = 24.0 \, \text{kN}$。

在 AB 段 (0 $\le$ x $\le$ L):
剪力 $V(x) = R_A - qx = 24.0 - 12.0x \, (\text{kN})$。

• 在 A 點 (x=0): $V(0) = 24.0 \, \text{kN}$。
• 在 B 點 (x=L=4): $V(4) = 24.0 - 12.0 \times 4 = 24.0 - 48.0 = -24.0 \, \text{kN}$。
• 剪力為零處：$24.0 - 12.0x = 0 \implies x = 2.0 \, \text{m}$。這是 AB 段的中點。

彎矩 $M(x) = R_A x - qx \frac{x}{2} = 24.0x - 6.0x^2 \, (\text{kNm})$。

• 在 A 點 (x=0): $M(0) = 0$。
• 在 B 點 (x=L=4): $M(4) = 24.0 \times 4 - 6.0 \times 4^2 = 96.0 - 6.0 \times 16 = 96.0 - 96.0 = 0$。
• 彎矩極值出現在剪力為零處 (x=2 m):
  $M_{max} = M(2) = 24.0 \times 2 - 6.0 \times 2^2 = 48.0 - 6.0 \times 4 = 48.0 - 24.0 = 24.0 \, \text{kNm}$。
  這個最大彎矩是正值，表示拉伸在底部，壓縮在頂部。

在 BD 段 (懸挑部分):
B 點的剪力是 -24.0 kN。
由於 BD 段沒有額外的載荷，所以剪力在 BD 段是常數，等於 B 點的剪力。
$V_{BD} = -24.0 \, \text{kN}$。

B 點的彎矩是 0。
在 D 點 (x=4+2=6, 如果以 A 為原點，或者以 B 為原點，則 x=2):
懸挑段的彎矩由 B 點的剪力引起。
對於懸挑梁，彎矩為 $M(x) = M_B + V_B \cdot x'$ (其中 $x'$ 是從 B 點開始的距離)。
$M(x') = 0 + (-24.0) x' = -24.0 x'$。
在 D 點 (x'=2 m): $M(2) = -24.0 \times 2 = -48.0 \, \text{kNm}$。
這個彎矩是負值，表示拉伸在上部，壓縮在底部。

3. 最大彎曲應力
截面尺寸：$b = 0.06 \, \text{m}$, $h = 0.1 \, \text{m}$。
截面面積 $A = bh = 0.06 \times 0.1 = 0.006 \, \text{m}^2$。
慣性矩 $I = \frac{bh^3}{12} = \frac{0.06 \times (0.1)^3}{12} = \frac{0.06 \times 0.001}{12} = 0.005 \times 10^{-3} \, \text{m}^4 = 5.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^4$。
中性軸到頂部或底部的距離 $y_{max} = \frac{h}{2} = \frac{0.1}{2} = 0.05 \, \text{m}$。

最大彎曲應力發生在彎矩絕對值最大的地方。
在 AB 段，最大彎矩 $|M_{AB,max}| = 24.0 \, \text{kNm} = 24.0 \times 10^3 \, \text{Nm}$ (在 x=2 m 處)。
在 BD 段，最大彎矩 $|M_{BD,max}| = |-48.0 \, \text{kNm}| = 48.0 \, \text{kNm} = 48.0 \times 10^3 \, \text{Nm}$ (在 D 點)。

核心觀念

本題考查受軸向壓縮力的理想柱之 Euler 挫屈。柱在小側向變形下的控制方程為

$$EI\,v''''(x)+P\,v''(x)=0$$

其中 $v(x)$ 為側向位移，$x=0$ 位於固定端 $A$，$x=L$ 位於自由端 $B$。固定端限制位移與轉角；自由端沒有外加彎矩或橫向力，因此彎矩與含軸力效應的剪力均為零。

解題方法

令

$$k^2=\frac{P}{EI}$$

則控制方程的通解為

$$v(x)=A+Bx+C\cos(kx)+D\sin(kx)$$

固定端條件為

$$v(0)=0,\qquad v'(0)=0$$

自由端彎矩為零，故 $v''(L)=0$；自由端的橫向力邊界條件為 $v'''(L)+k^2v'(L)=0$。將通解代入可得

$$A+C=0,\qquad B+kD=0$$ $$-Ck^2\cos(kL)-Dk^2\sin(kL)=0,\qquad k^2B=0$$

由 $B=0$ 與固定端轉角條件得 $D=0$；再由 $A+C=0$ 得 $A=-C$。要有非零挫屈變形，彎矩條件必須滿足

$$\cos(kL)=0$$

這就是挫屈特徵方程。解得

$$k_nL=\frac{(2n+1)\pi}{2},\qquad n=0,1,2,\ldots$$

因此臨界載重為