108 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班乙組《材料力學》

核心觀念

本題考查薄壁封閉圓筒壓力容器的膜應力，以及平面應力轉換。

• 環向應力：$\sigma_h=\dfrac{pD}{2t}$
• 軸向應力：$\sigma_a=\dfrac{pD}{4t}$
• 焊縫方向與圓筒環向夾角為 $\theta=30^\circ$ 時，焊縫上的法向應力與剪應力由應力轉換求得。

已知

$$p=1500\ \text{kPa}=1.5\ \text{MPa},\qquad D=1.50\ \text{m},\qquad t=15\ \text{mm}=0.015\ \text{m}$$

圖中的橫向平面在圓筒表面的方向為環向，因此焊縫與環向夾角為 $30^\circ$。

解題方法

(a) 環向應力 $\sigma_h$

沿圓筒軸線剖開，內壓的合力由兩側筒壁承受：

$$\sigma_h=\frac{pD}{2t}$$

代入數值：

$$\sigma_h =\frac{(1.5)(1.50)}{2(0.015)} =75.0\ \text{MPa}$$

(b) 軸向應力 $\sigma_a$

垂直於圓筒軸線截開，內壓的合力由圓周方向筒壁承受：

$$\sigma_a=\frac{pD}{4t}$$

因此

$$\sigma_a =\frac{(1.5)(1.50)}{4(0.015)} =37.5\ \text{MPa}$$

(c) 垂直於焊縫的法向應力 $\sigma$

令焊縫與環向夾角為

$$\theta=30^\circ$$

焊縫垂直方向上的法向應力為

$$\sigma=\sigma_h\sin^2\theta+\sigma_a\cos^2\theta$$

代入：

核心觀念

本題為平面應力狀態，利用莫爾圓或應力轉換公式求主應力與最大剪應力。

依圖示取拉應力為正、壓應力為負：

• 水平面法向應力：$\sigma_x=10{,}000\ \text{psi}$
• 垂直面法向應力：$\sigma_y=-8{,}000\ \text{psi}$
• 剪應力大小：$\lvert\tau_{xy}\rvert=4{,}000\ \text{psi}$

剪應力的正負號不影響主應力大小與最大剪應力大小。

主應力計算

莫爾圓圓心為平均正應力：

$$\sigma_{\mathrm{avg}} =\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} =\frac{10{,}000-8{,}000}{2} =1{,}000\ \text{psi}$$

莫爾圓半徑為：

$$R= \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 }$$

代入數值：

$$R= \sqrt{ \left(\frac{10{,}000-(-8{,}000)}{2}\right)^2 +(4{,}000)^2 }$$ $$R=\sqrt{(9{,}000)^2+(4{,}000)^2} =\sqrt{97{,}000{,}000} =9{,}848.86\ \text{psi}$$

因此，面內兩個主應力為：

$$\sigma_{p1}=\sigma_{\mathrm{avg}}+R =1{,}000+9{,}848.86 =10{,}848.86\ \text{psi}$$ $$\sigma_{p2}=\sigma_{\mathrm{avg}}-R =1{,}000-9{,}848.86 =-8{,}848.86\ \text{psi}$$

其中 $\sigma_{p1}$ 為拉應力，$\sigma_{p2}$ 為壓應力。

平面應力狀態的第三主應力為：

$$\sigma_{p3}=0$$

若按照三維主應力大小排序：

本題考驗懸臂梁的彎曲變形，需要建立梁的彈性曲線方程式，並求解自由端的斜率與撓度。

核心觀念：

1. 梁的彎曲微分方程式：$EI \frac{d^2v}{dx^2} = M(x)$，其中 $v(x)$ 是梁的撓度，$M(x)$ 是梁的彎矩。
2. 邊界條件（Boundary Conditions, BCs）與邊支撐條件（Support Conditions）。
3. 積分常數的求解。

已知條件：

• 梁的彎曲剛度為 $EI$。
• 梁承受均佈載重 $w$。
• 梁為懸臂梁，固定端為 A，自由端為 B。
• 座標 $x_1$ 從固定端 A 向右量測，範圍為 $0 \le x_1 \le L$。
• 座標 $x_3$ 從自由端 B 向左量測，範圍為 $0 \le x_3 \le L$。
• 圖示顯示，均佈載重 $w$ 作用在整個梁的長度 $L$ 上。

解題步驟：

我們將使用從固定端 A 量測的座標 $x_1$ 來分析。設 $x = x_1$。
梁的長度為 $L$。

1. 建立彎矩方程式 $M(x)$：
考慮從梁的自由端 B 向左切一斷面，距離自由端為 $x_3$。
則 $x_3 = L - x_1$。
作用在自由端 B 的剪力為 $V_B = 0$。
作用在固定端 A 的支撐反力：
垂直反力 $R_A = wL$ (向上)。
彎矩反力 $M_A = \frac{1}{2}wL^2$ (逆時針，抵抗均佈載重造成的順時針彎矩)。

考慮一個距離固定端 A 為 $x$ 的斷面。
梁承受從 $0$ 到 $x$ 的均佈載重 $w$。
作用在斷面上的彎矩 $M(x)$ (以順時針為正)：
$M(x) = M_A - R_A x + \text{moment due to distributed load from 0 to x}$
$M(x) = \frac{1}{2}wL^2 - (wL)x + \frac{1}{2}wx \cdot x$
$M(x) = \frac{1}{2}wL^2 - wLx + \frac{1}{2}wx^2$

2. 建立梁的彎曲微分方程式：
$EI \frac{d^2v}{dx^2} = M(x)$
$EI \frac{d^2v}{dx^2} = \frac{1}{2}wL^2 - wLx + \frac{1}{2}wx^2$

3. 積分求解撓度 $v(x)$：
第一次積分（求剪力 $V(x)$ 和斜率 $\frac{dv}{dx}$）：
$EI \frac{dv}{dx} = \int (\frac{1}{2}wL^2 - wLx + \frac{1}{2}wx^2) dx$
$EI \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2}wL^2 x - \frac{1}{2}wLx^2 + \frac{1}{6}wx^3 + C_1$

第二次積分（求撓度 $v(x)$）：
$EI v(x) = \int (\frac{1}{2}wL^2 x - \frac{1}{2}wLx^2 + \frac{1}{6}wx^3 + C_1) dx$
$EI v(x) = \frac{1}{4}wL^2 x^2 - \frac{1}{6}wLx^3 + \frac{1}{24}wx^4 + C_1 x + C_2$

4. 應用邊界條件求解積分常數 $C_1$ 和 $C_2$：
對於固定端 A ($x=0$)：

• 撓度為零：$v(0) = 0$
• 斜率為零：$\frac{dv}{dx}(0) = 0$

應用 $v(0) = 0$：
$EI v(0) = \frac{1}{4}wL^2 (0)^2 - \frac{1}{6}wL(0)^3 + \frac{1}{24}w(0)^4 + C_1 (0) + C_2 = 0$
$0 - 0 + 0 + 0 + C_2 = 0 \implies C_2 = 0$

應用 $\frac{dv}{dx}(0) = 0$：
$EI \frac{dv}{dx}(0) = \frac{1}{2}wL^2 (0) - \frac{1}{2}wL(0)^2 + \frac{1}{6}w(0)^3 + C_1 = 0$
$0 - 0 + 0 + C_1 = 0 \implies C_1 = 0$

5. 得到彈性曲線方程式（使用 $x_1$ 座標）：
將 $C_1=0$ 和 $C_2=0$ 代入 $EI v(x)$ 方程式：
$EI v(x_1) = \frac{1}{4}wL^2 x_1^2 - \frac{1}{6}wLx_1^3 + \frac{1}{24}wx_1^4$
$v(x_1) = \frac{w}{24EI} (6L^2 x_1^2 - 4Lx_1^3 + x_1^4)$

6. 求解自由端 B 的斜率和撓度：
自由端 B 位於 $x_1 = L$。
斜率 $\theta_B = \frac{dv}{dx}(L)$：
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{EI} (\frac{1}{2}wL^2 x - \frac{1}{2}wLx^2 + \frac{1}{6}wx^3)$
$\theta_B = \frac{dv}{dx}(L) = \frac{1}{EI} (\frac{1}{2}wL^2 (L) - \frac{1}{2}wL(L)^2 + \frac{1}{6}w(L)^3)$
$\theta_B = \frac{1}{EI} (\frac{1}{2}wL^3 - \frac{1}{2}wL^3 + \frac{1}{6}wL^3)$
$\theta_B = \frac{1}{EI} (\frac{1}{6}wL^3) = \frac{wL^3}{6EI}$
由於彎矩是順時針方向（使梁向下彎曲），斜率是負值。
$\theta_B = -\frac{wL^3}{6EI}$

撓度 $v_B = v(L)$：
$v(L) = \frac{w}{24EI} (6L^2 (L)^2 - 4L(L)^3 + (L)^4)$
$v(L) = \frac{w}{24EI} (6L^4 - 4L^4 + L^4)$
$v(L) = \frac{w}{24EI} (3L^4) = \frac{3wL^4}{24EI} = \frac{wL^4}{8EI}$
由於梁向下彎曲，撓度是負值。
$v_B = -\frac{wL^4}{8EI}$

7. 使用 $x_3$ 座標表示彈性曲線方程式：
$x_3 = L - x_1 \implies x_1 = L - x_3$
將 $x_1 = L - x_3$ 代入 $v(x_1)$ 的方程式：
$v(x_3) = \frac{w}{24EI} (6L^2 (L-x_3)^2 - 4L(L-x_3)^3 + (L-x_3)^4)$
展開 $(L-x_3)^2$, $(L-x_3)^3$, $(L-x_3)^4$ 並整理。

核心觀念

本題考查 Euler 柱的彈性屈曲。柱長為 $L$，底端 $A$ 固定、頂端 $B$ 鉸接，彎曲剛度為 $EI$。

邊界條件為：

• 固定端 $A$：
  $v(0)=0,\qquad v'(0)=0$
• 鉸接端 $B$：
  $v(L)=0,\qquad M(L)=EI\,v''(L)=0$

其中 $v(x)$ 為柱的側向撓度。

解題方法

在小撓度、軸向壓力為 $P$ 且無橫向分布載重的假設下，柱的屈曲微分方程為

$$EI\frac{d^4v}{dx^4}+P\frac{d^2v}{dx^2}=0$$

令

$$k^2=\frac{P}{EI}$$

通解可寫成

$$v(x)=C_1+C_2x+C_3\sin kx+C_4\cos kx$$

套用固定端條件 $v(0)=0$、$v'(0)=0$ 後，可整理為

$$v(x)=A(\sin kx-kx)+B(\cos kx-1)$$

其二階導數為

$$v''(x)=-k^2\left[A\sin kx+B\cos kx\right]$$

頂端位移條件

因為 $B$ 端為鉸接支承，側向位移為零：

$$v(L)=A(\sin kL-kL)+B(\cos kL-1)=0$$

頂端彎矩條件

鉸接端不能傳遞彎矩，因此

$$v''(L)=0$$

即

$$A\sin kL+B\cos kL=0$$

令

$$\theta=kL=L\sqrt{\frac{P}{EI}}$$

則 $A$、$B$ 存在非零解的條件為係數行列式等於零：

$$\begin{vmatrix} \sin\theta-\theta & \cos\theta-1\\ \sin\theta & \cos\theta \end{vmatrix}=0$$

因此

$$\sin\theta-\theta\cos\theta=0$$

故固定—鉸接柱的屈曲方程為

$$\boxed{\tan\theta=\theta}$$

其中

$$\theta=L\sqrt{\frac{P_{cr}}{EI}}$$

$\theta=0$ 是無屈曲的平凡解，臨界屈曲荷載取第一個非零正根：