112 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班乙組《材料力學》

核心觀念

本題為兩端固定的軸向桿，屬於一次靜不定問題。除使用整體平衡方程式外，還必須使用兩端固定所造成的變形相容條件。

採用：

• $x$ 軸由 $A$ 指向 $B$，右向為正。
• 軸力 $N$ 以拉力為正。
• $p$ 為由 $C$ 指向 $B$ 的均佈軸向載重。
• $EA$ 為常數。
• $u_A=u_B=0$。

軸向變形關係為

$$\frac{du}{dx}=\frac{N(x)}{EA}.$$

由於兩端皆固定，

$$u_B-u_A=\int_0^L\frac{N(x)}{EA}\,dx=0.$$

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解題方法與推導

令兩端支承反力分別為 $R_A$、$R_B$，右向為正。

1. 整體平衡方程式

$C$ 到 $B$ 的受力長度為 $L/2$，均佈載重合力為

$$p\frac{L}{2}.$$

整體水平力平衡：

$$R_A+R_B+p\frac{L}{2}=0. \tag{1}$$

2. 求軸力函數

取左側部分作自由體圖。

區間 $AC$：$0\le x\le L/2$

此區間內沒有分佈載重，因此

$$N(x)+R_A=0,$$

故

$$N(x)=-R_A. \tag{2}$$

區間 $CB$：$L/2\le x\le L$

從 $C$ 到截面 $x$ 的分佈載重合力為 $p(x-L/2)$，因此

$$N(x)+R_A+p\left(x-\frac{L}{2}\right)=0,$$

故

$$N(x)=-R_A-p\left(x-\frac{L}{2}\right). \tag{3}$$

3. 使用變形相容條件求 $R_A$

由兩端固定，整根桿的總軸向變形為零：

$$\int_0^L\frac{N(x)}{EA}\,dx=0.$$

代入式 $(2)$、$(3)$：

本題考驗靜不定梁在三角均佈負荷下的撓度曲線與支承反力求解。此梁為靜不定梁，需要利用變形協調條件來求解。

核心觀念：

1. 靜不定分析：梁的未知支承反力多於靜力平衡方程式，需引入變形協調條件。
2. 梁的撓度微分方程式：$EI \frac{d^4v}{dx^4} = w(x)$，或 $EI \frac{d^2v}{dx^2} = M(x)$。
3. 三角均佈負荷下的積分：計算負荷產生的彎矩、剪力、轉角和撓度。
4. 邊界條件與連續性條件：固定端、鉸支點、滾支點的位移和轉角條件；梁的連續性要求。

解題步驟：

梁 AB 長度為 $L$，A 點為鉸支點，B 點為滾支點。
在 A 點承受的最大均佈負荷強度為 $q_0$ (指向下方，故為負值，但通常積分時會將負荷函數寫成正值，並在微分方程中引入符號)。
三角均佈負荷的函數為 $w(x) = -\frac{q_0}{L} x$ (以 A 點為原點 $x=0$，B 點為 $x=L$，負荷向下為負)。

1. 靜力平衡分析
梁 AB 承受三角均佈負荷，最大強度在 A 點 ($x=0$)，為 $q_0$。
A 點為鉸支點，有垂直反力 $R_{Ay}$ 和水平反力 $R_{Ax}$。
B 點為滾支點，只有垂直反力 $R_{By}$。
水平負荷為零，故 $R_{Ax} = 0$。

總負荷為積分：$F_{total} = \int_0^L w(x) dx = \int_0^L -\frac{q_0}{L} x dx = -\frac{q_0}{L} [\frac{x^2}{2}]_0^L = -\frac{q_0 L}{2}$。
總負荷大小為 $\frac{q_0 L}{2}$，方向向下。

垂直力平衡：$\sum F_y = 0 \implies R_{Ay} + R_{By} - \frac{q_0 L}{2} = 0 \implies R_{Ay} + R_{By} = \frac{q_0 L}{2}$。

彎矩平衡：以 B 點為參考點，$\sum M_B = 0$。
A 點反力 $R_{Ay}$ 在 B 點產生的力臂為 $L$，產生逆時針彎矩 $R_{Ay} L$。
均佈負荷在 B 點產生的彎矩。
考慮從 A 到 B 的微小段 $dx$ 在 $x$ 處，負荷為 $w(x) dx = -\frac{q_0}{L} x dx$。
此微小負荷在 B 點產生的彎矩為 $dM_B = (L-x) \cdot w(x) dx = (L-x) (-\frac{q_0}{L} x) dx$。
總彎矩：$\int_0^L (L-x) (-\frac{q_0}{L} x) dx = -\frac{q_0}{L} \int_0^L (Lx - x^2) dx$
$= -\frac{q_0}{L} [L\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^L = -\frac{q_0}{L} [ \frac{L^3}{2} - \frac{L^3}{3} ] = -\frac{q_0}{L} [\frac{3L^3 - 2L^3}{6}] = -\frac{q_0 L^2}{6}$。
此為順時針彎矩 (負值)。

彎矩平衡方程式：$R_{Ay} L - \frac{q_0 L^2}{6} = 0 \implies R_{Ay} = \frac{q_0 L}{6}$。

由垂直力平衡：$R_{By} = \frac{q_0 L}{2} - R_{Ay} = \frac{q_0 L}{2} - \frac{q_0 L}{6} = \frac{3q_0 L - q_0 L}{6} = \frac{2q_0 L}{6} = \frac{q_0 L}{3}$。

支承反力為：
$R_{Ax} = 0$
$R_{Ay} = \frac{q_0 L}{6}$ (向上)
$R_{By} = \frac{q_0 L}{3}$ (向上)

2. 梁的彎矩方程
考慮從 A 點 (x=0) 開始的剪右段。
梁的彎矩方程 $M(x)$ (以 A 為原點)：
$M(x) = R_{Ay} x - \int_0^x (x-\xi) w(\xi) d\xi$
$w(\xi) = -\frac{q_0}{L} \xi$
$M(x) = \frac{q_0 L}{6} x - \int_0^x (x-\xi) (-\frac{q_0}{L} \xi) d\xi$
$M(x) = \frac{q_0 L}{6} x + \frac{q_0}{L} \int_0^x (x\xi - \xi^2) d\xi$
$M(x) = \frac{q_0 L}{6} x + \frac{q_0}{L} [x\frac{\xi^2}{2} - \frac{\xi^3}{3}]_0^x$
$M(x) = \frac{q_0 L}{6} x + \frac{q_0}{L} [ \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{3} ]$
$M(x) = \frac{q_0 L}{6} x + \frac{q_0}{L} \frac{x^3}{6} = \frac{q_0 L}{6} x + \frac{q_0 x^3}{6L}$。

檢查彎矩方程：
在 B 點 ($x=L$)，$M(L) = \frac{q_0 L^2}{6} + \frac{q_0 L^3}{6L} = \frac{q_0 L^2}{6} + \frac{q_0 L^2}{6} = \frac{q_0 L^2}{3}$。
這個結果不為零，表示彎矩方程有誤。
正確的彎矩積分方法：
$M(x) = R_{Ay} x + \int_0^x (-\frac{q_0}{L} \xi) (x-\xi) d\xi$
$M(x) = R_{Ay} x - \frac{q_0}{L} \int_0^x (x\xi - \xi^2) d\xi$
$M(x) = \frac{q_0 L}{6} x - \frac{q_0}{L} [\frac{x\xi^2}{2} - \frac{\xi^3}{3}]_0^x$

核心觀念

本題考查平面應力的莫耳圓與主應力分析，以及平面應力和平面應變的差異。

由原卷圖形可讀得：

• $x$ 方向正應力為壓應力：$\sigma_x=-50\ \text{MPa}$
• $y$ 方向正應力為拉應力：$\sigma_y=10\ \text{MPa}$
• 剪應力大小為 $40\ \text{MPa}$，圖示方向取 $\tau_{xy}=-40\ \text{MPa}$

正負號會影響主應力方向，但不影響本題主應力數值的計算結果。

(a) 主應力與最大剪應力

平面應力的平均正應力為

$$\sigma_{\text{avg}} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = \frac{-50+10}{2} = -20\ \text{MPa}$$

莫耳圓半徑為

$$R = \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 }$$

代入數值：

$$R = \sqrt{ \left(\frac{-50-10}{2}\right)^2+(-40)^2 } = \sqrt{30^2+40^2} = 50\ \text{MPa}$$

因此，平面內兩個主應力為

$$\sigma_1 = \sigma_{\text{avg}}+R = -20+50 = 30\ \text{MPa}$$ $$\sigma_2 = \sigma_{\text{avg}}-R = -20-50 = -70\ \text{MPa}$$

平面應力狀態的第三主應力為

$$\sigma_3=0$$

因此三個主應力依大小排列為

$$\sigma_{\max}=30\ \text{MPa},\qquad \sigma_{\text{mid}}=0,\qquad \sigma_{\min}=-70\ \text{MPa}$$

三維狀態下的最大剪應力為最大與最小主應力之差的一半：

$$\tau_{\max} = \frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2} = \frac{30-(-70)}{2} = 50\ \text{MPa}$$

主應力方向亦可由下式求得：

$$\tan 2\theta_p = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} = \frac{2(-40)}{-50-10} = \frac{4}{3}$$

本題主要評分重點為主應力與最大剪應力數值。

(b) 平面應力是否一般也是平面應變

平面應力的定義為

$$\sigma_z=\tau_{xz}=\tau_{yz}=0$$

核心觀念

本題考查 Euler 彈性挫屈。假設柱為等截面、軸向受壓、材料仍在彈性範圍內，且撓度很小。題目中的撓曲剛度 $El$ 按慣例解讀為 $EI$，其中 $I$ 為截面二次矩。

臨界載重是柱開始產生非零側向撓曲形狀時的軸力。基本公式為

$$P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{L_e^2},$$

其中 $L_e$ 為有效長度。

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(a) 兩端鉸接柱的臨界載重與撓曲形狀

令 $x$ 軸沿柱長度方向，由下端 $A$ 指向上端 $B$，令 $y(x)$ 為側向撓度。受壓軸力 $P$ 產生二階彎矩，彎矩－曲率關係可得

$$EI\frac{d^2y}{dx^2}+Py=0.$$

令

$$k^2=\frac{P}{EI},$$

則控制方程式為

$$\frac{d^2y}{dx^2}+k^2y=0.$$

其通解為

$$y(x)=C_1\sin kx+C_2\cos kx.$$

兩端為鉸接，因此兩端側向位移為零：

$$y(0)=0,\qquad y(L)=0.$$

由 $y(0)=0$ 得

$$C_2=0,$$

因此

$$y(x)=C_1\sin kx.$$

再代入 $y(L)=0$：

$$C_1\sin(kL)=0.$$

若要有非零挫屈形狀，必須有 $C_1\neq 0$，故

$$\sin(kL)=0 \quad\Longrightarrow\quad kL=n\pi, \qquad n=1,2,3,\ldots$$

由 $k^2=P/EI$，得到各階臨界載重

$$\boxed{ P_{\mathrm{cr},n} =\frac{n^2\pi^2EI}{L^2} } \qquad (n=1,2,3,\ldots)$$

相對應的第 $n$ 階撓曲形狀為

$$\boxed{ y_n(x)=C_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) }$$

其中 $C_n$ 為任意小振幅。

最低臨界載重為第一模態 $n=1$：

$$\boxed{ P_{\mathrm{cr},1}=\frac{\pi^2EI}{L^2} }$$

其撓曲形狀為半個正弦波：

$$\boxed{ y_1(x)=C_1\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) }$$

第二模態為