112 年 國立成功大學工程科學系碩士班己組《工程力學（含靜力及動力）》

本題主要在考驗向量的點乘積 (dot product) 與叉乘積 (cross product) 的基本性質，以及右手座標系下的向量方向。

(a) $\mathbf{\hat{k}} \cdot (\mathbf{\hat{k}} \times \mathbf{\hat{i}})$
首先計算叉乘積 $\mathbf{\hat{k}} \times \mathbf{\hat{i}}$。在右手座標系中，$\mathbf{\hat{i}}$ 指向 x 軸正向，$\mathbf{\hat{j}}$ 指向 y 軸正向，$\mathbf{\hat{k}}$ 指向 z 軸正向。
由叉乘積的定義，$\mathbf{\hat{k}} \times \mathbf{\hat{i}}$ 的方向垂直於 $\mathbf{\hat{k}}$ 和 $\mathbf{\hat{i}}$ 所決定的平面，並且根據右手定則，其方向為 $\mathbf{\hat{j}}$。
所以，$\mathbf{\hat{k}} \times \mathbf{\hat{i}} = \mathbf{\hat{j}}$。
接著計算點乘積：
$\mathbf{\hat{k}} \cdot (\mathbf{\hat{k}} \times \mathbf{\hat{i}}) = \mathbf{\hat{k}} \cdot \mathbf{\hat{j}}$
由於 $\mathbf{\hat{k}}$ 和 $\mathbf{\hat{j}}$ 是互相垂直的標準基底向量，它們的點乘積為 0。

本題主要考驗靜摩擦力的概念。題目指出，無論施力方向如何，箱子都不移動，這表示箱子始終處於靜止平衡狀態。因此，施加在箱子上的合力為零。靜摩擦力的大小會自動調整，以平衡施加的外力（在動摩擦力出現之前）。

由於箱子均處於靜止狀態，故箱子所受的合力為零。對於水平方向的力，靜摩擦力 $f_s$ 必須平衡施加的水平外力分量。垂直方向的力，垂直反作用力 $N$ 必須平衡箱子的重力與施加的外力在垂直方向的分量。靜摩擦力的大小 $f_s$ 最大值為 $\mu_s N$，但只要箱子不移動，實際的靜摩擦力大小就是平衡外力分量所需的數值。

我們逐一分析三種情況：

情況 1：5 N 力水平施加。
箱子受重力 $W$、地面支撐力 $N_1$、水平外力 $F_1 = 5 \, \text{N}$，以及靜摩擦力 $f_{s1}$。
由於箱子不動，水平方向合力為零：$f_{s1} = F_1 = 5 \, \text{N}$。
垂直方向合力為零：$N_1 - W = 0 \implies N_1 = W$。

情況 2：5 N 力以某角度 $\theta$ 向上斜施加。
設此角度為 $\theta_2$。水平外力分量為 $F_{2x} = 5 \cos \theta_2$，垂直外力分量為 $F_{2y} = 5 \sin \theta_2$（向上）。
由於箱子不動，水平方向合力為零：$f_{s2} = F_{2x} = 5 \cos \theta_2$。
垂直方向合力為零：$N_2 + F_{2y} - W = 0 \implies N_2 = W - 5 \sin \theta_2$。
由於 $\theta_2$ 是向上傾斜的角度，$\sin \theta_2 > 0$，因此 $N_2 < W$。
因為 $f_{s2} = 5 \cos \theta_2$，且 $0 < \theta_2 < 90^\circ$，所以 $0 < \cos \theta_2 < 1$。
因此，$f_{s2} = 5 \cos \theta_2 < 5 \, \text{N}$。

情況 3：5 N 力以某角度 $\theta$ 向下斜施加。
設此角度為 $\theta_3$（向下）。水平外力分量為 $F_{3x} = 5 \cos \theta_3$，垂直外力分量為 $F_{3y} = 5 \sin \theta_3$（向下）。
由於箱子不動，水平方向合力為零：$f_{s3} = F_{3x} = 5 \cos \theta_3$。
垂直方向合力為零：$N_3 - W - F_{3y} = 0 \implies N_3 = W + 5 \sin \theta_3$。
由於 $\theta_3$ 是向下傾斜的角度，$\sin \theta_3 > 0$，因此 $N_3 > W$。
因為 $f_{s3} = 5 \cos \theta_3$，且 $0 < \theta_3 < 90^\circ$，所以 $0 < \cos \theta_3 < 1$。
因此，$f_{s3} = 5 \cos \theta_3 < 5 \, \text{N}$。

比較 $f_{s1}, f_{s2}, f_{s3}$：
$f_{s1} = 5 \, \text{N}$
$f_{s2} = 5 \cos \theta_2$
$f_{s3} = 5 \cos \theta_3$

圖中顯示，情況 2 的施力角度 $\theta_2$ 大約為 $30^\circ$，$\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2 \approx 0.866$。
圖中顯示，情況 3 的施力角度 $\theta_3$ 大約為 $30^\circ$，$\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2 \approx 0.866$。
因此，$f_{s2} \approx 5 \times 0.866 = 4.33 \, \text{N}$。
$f_{s3} \approx 5 \times 0.866 = 4.33 \, \text{N}$。

然而，題目要求的是「無論文如何施力，箱子都不移動」。這表示在所有情況下，箱子都處於靜止。
我們需要比較的是靜摩擦力的大小。
情況 1：水平施力 5 N，靜摩擦力 $f_{s1} = 5 \, \text{N}$。
情況 2：斜向上施力 5 N。設角度為 $\theta_2$，則水平分力為 $5 \cos \theta_2$。靜摩擦力 $f_{s2} = 5 \cos \theta_2$。

本題為典型的牛頓第二運動定律應用於連接體問題，即考慮兩個物體透過繩子連接，並由無質量的滑輪連接。此系統稱為阿特伍德機 (Atwood machine)。

首先，我們定義系統的運動方向。由於 5 kg 的質量大於 4 kg，因此 5 kg 的物體會向下加速，而 4 kg 的物體會向上加速。我們假設向下為正方向。

我們對每一個物體分別進行受力分析，並應用牛頓第二運動定律 $\sum F = ma$。

對 4 kg 的物體 (m1 = 4 kg)：
物體受到向下的重力 $W_1 = m_1 g = 4g$ 和向上的繩子張力 $T$。
由於物體向上加速 (加速度為 $a$)，我們以向上為正方向來列式：
$\sum F_{y1} = T - m_1 g = m_1 a$
$T - 4g = 4a$ (方程式 1)

對 5 kg 的物體 (m2 = 5 kg)：
物體受到向下的重力 $W_2 = m_2 g = 5g$ 和向上的繩子張力 $T$。
由於物體向下加速 (加速度為 $a$)，我們以向下為正方向來列式：
$\sum F_{y2} = m_2 g - T = m_2 a$
$5g - T = 5a$ (方程式 2)

現在我們有兩個方程式和兩個未知數 ($T$ 和 $a$)。我們可以解出加速度 $a$。
將方程式 1 和方程式 2 相加：
$(T - 4g) + (5g - T) = 4a + 5a$
$5g - 4g = 9a$
$g = 9a$
$a = \frac{g}{9}$

本題考驗平均速度 (average speed) 的計算。平均速度的定義是總位移除以總時間。在這個問題中，由於汽車沿直線行駛且方向不變，位移的大小等於路程。因此，平均速度的大小等於總路程除以總時間。

總路程 $D_{total} = 50 \, \text{km} + 50 \, \text{km} = 100 \, \text{km}$。

我們需要計算總時間 $T_{total}$。總時間是兩段行程時間的總和。

第一段行程：
路程 $d_1 = 50 \, \text{km}$
平均速度 $v_1 = 100 \, \text{km/h}$
時間 $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{50 \, \text{km}}{100 \, \text{km/h}} = 0.5 \, \text{h}$。

第二段行程：
路程 $d_2 = 50 \, \text{km}$
平均速度 $v_2 = 50 \, \text{km/h}$

本題考驗運動學中，由位置函數求速度和加速度。已知汽車的位置函數 $x(t)$，我們可以透過對位置函數微分來得到速度函數 $v(t)$，再對速度函數微分得到加速度函數 $a(t)$。題目要求的是初始時刻 $t=0$ 時的速度和加速度的大小。

位置函數為：
$x(t) = 75t - 1.0t^3$ （單位：公尺，時間單位：秒）

速度函數 $v(t)$ 是位置函數 $x(t)$ 對時間 $t$ 的一階導數：
$v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(75t - 1.0t^3)$
$v(t) = 75 - 3.0t^2$ （單位：公尺/秒）

加速度函數 $a(t)$ 是速度函數 $v(t)$ 對時間 $t$ 的一階導數（或位置函數 $x(t)$ 對時間 $t$ 的二階導數）：

核心觀念

本題使用：

1. 連接桿 $BC$ 為二力構件，因此其所受的力必沿 $BC$ 方向。
2. 活塞受到水平力 $P$，故連接桿作用力的水平分量大小為 $P$。
3. 對固定點 $A$ 取力矩，利用平衡條件
   $\sum M_A=0$

解題方法

取向右為 $x$ 軸，依圖得

且

因此連接桿 $BC$ 的水平距離為 $175$ mm，垂直距離為 $50$ mm。

活塞上的 $P$ 向左，因此連接桿對曲柄在 $B$ 點的作用力方向為左上。由相似三角形，

又因為水平分量大小等於 $P$，

對曲柄 $AB$ 的固定點 $A$ 取逆時針為正，$B$ 點作用力所產生的力矩為

代入數值：

核心觀念

此題考垂直粗糙面上的靜力平衡與靜摩擦。靜摩擦力會依平衡需求調整，但大小不能超過最大靜摩擦力：

其中 $N$ 是牆面正向力。方塊將要向下滑時，靜摩擦力向上，且達到最大值 $f_s=\mu_sN$。

解題方法

由圖可讀出：$8.0\ \mathrm{kg}$ 方塊貼著垂直牆面，斜桿與水平線的夾角為 $\theta=40^\circ$；外力 $P$ 沿斜桿朝左上方作用於方塊。牆面提供水平正向力與垂直摩擦力。

要求維持平衡的最小 $P$，方塊正處於將向下滑的臨界狀態，因此摩擦力向上，大小為 $f_s=\mu_sN$。將 $P$ 分解為水平與垂直分量：

水平方向平衡給出：

垂直方向平衡，且臨界摩擦力向上：

核心觀念

平面曲線的曲率半徑為

其中 $v$ 是速度大小，$a_n$ 是加速度在法線方向的分量。對拋體運動，重力加速度為 $g$，且水平速度 $v_x$ 不變，因此法向加速度大小為 $a_n=g\cos\theta_v=g\,v_x/v$，可得

解題方法

依原卷第 8 題圖文，球自 $A$ 以 $10\ \mathrm{m/s}$、相對水平線仰角 $30^\circ$ 拋出；球在空中只受重力作用。題目要求軌跡上曲率半徑為 $A$ 點四分之三處的速度，因此要找出球速及其垂直分量。

初始水平速度為

由於 $v_x$ 不變，曲率半徑與球速三次方成正比：

代入 $v_A=10\ \mathrm{m/s}$：

核心觀念

此題用兩個守恆關係求速度分量：

• 彈簧力沿著 $O$ 到 $C$ 的徑向作用，因此對 $O$ 的力矩為零；再加上桿質量可忽略、轉軸無摩擦，系統對 $O$ 的角動量守恆。
• 無摩擦且沒有能量損失，故 collar 的動能與彈簧位能總和守恆。

解題方法

圖中 $O$ 是轉軸，桿 $OD$ 長 $800\ \mathrm{mm}$，collar $C$ 沿桿滑動，且彈簧連接於 $O$ 與 $C$ 之間。初始半徑為 $r_1=300\ \mathrm{mm}$，末態半徑為 $r_2=500\ \mathrm{mm}$；兩者都在桿長範圍內。題目所述 $10\ \mathrm{kg}$ 作為 collar 質量，彈簧自然長為 $450\ \mathrm{mm}$。

先由角動量守恆求末態的橫向速度：

再用機械能守恆求徑向速度。初始彈簧壓縮量為 $0.450-0.300=0.150\ \mathrm{m}$；末態彈簧伸長量為 $0.500-0.450=0.050\ \mathrm{m}$。