113 年 國立成功大學工程科學系碩士班己組《工程力學（含靜力及動力）》

📄 試題原卷　免費註冊後即可對照原始考卷 PDF免費註冊

第 1 題5 分

A car, initially at rest, travels 20 m in 5 s along a straight line with constant acceleration. Determine the acceleration of the car.

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

本題考查直線運動學中的等加速度運動。
已知初速度 v0=0v_0 = 0 m/s，位移 Δx=20\Delta x = 20 m，時間 t=5t = 5 s。
我們可以使用以下運動學公式：
Δx=v0t+12at2\Delta x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2
將已知值代入：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 2 題5 分

Determine the angle between A⃗=(−20m)i^+(40m)j^\vec{A}=(-20m)\hat{i}+(40m)\hat{j} and the positive x axis.

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

本題考查向量與座標軸夾角的計算。
向量 A⃗\vec{A} 可以表示為 A⃗=Axi^+Ayj^\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}，其中 Ax=−20A_x = -20 m，Ay=40A_y = 40 m。
向量與正 x 軸夾角 θ\theta 可以透過向量的分量來計算。
我們可以使用反正切函數來求解：
tan⁡θ=AyAx\tan \theta = \frac{A_y}{A_x}
tan⁡θ=40 m−20 m\tan \theta = \frac{40 \text{ m}}{-20 \text{ m}}
tan⁡θ=−2\tan \theta = -2
由於 AxA_x 是負值且 AyA_y 是正值，向量 A⃗\vec{A} 位於第二象限。
計算 arctan⁡(−2)\arctan(-2) 得到一個角度，但這個角度是相對於負 x 軸的。

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 3 題5 分

A block slides down a frictionless plane that makes an angle of 25° with the horizontal. Determine the acceleration of the block.

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

本題考查牛頓第二運動定律在斜面上的應用，屬於動力學問題。
考慮一個質量為 mm 的物體，在一個傾斜角度為 θ\theta 的光滑斜面上滑下。
物體受到的力有：

  1. 重力 mgmg (鉛直向下)
  2. 垂直於斜面的正向力 NN (由斜面提供)

由於斜面光滑，沒有摩擦力。
我們將重力分解為平行於斜面和垂直於斜面的分量。
平行於斜面的分量為 mgsin⁡θmg \sin \theta，這個分量使物體沿斜面加速下滑。
垂直於斜面的分量為 mgcos⁡θmg \cos \theta，這個分量被正向力 NN 平衡。

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 4 題5 分

If wheel turning at a constant rate completes 100 revolutions in 8 s, determine its angular speed.

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

本題考查轉動運動學中的角速度計算。
已知條件：
總轉動圈數 N=100N = 100 revolutions
總時間 t=8t = 8 s
角速度 ω\omega 是單位時間內轉過的弧度，或單位時間內的轉動圈數。
由於題目要求角速度，通常是指弧度/秒。
首先，將總轉動圈數轉換為總弧度：
1 revolution = 2π2\pi radians
總弧度 Δθ=N×2π=100×2π=200π\Delta \theta = N \times 2\pi = 100 \times 2\pi = 200\pi radians

角速度 ω\omega 的定義為：
ω=Δθt\omega = \frac{\Delta \theta}{t}
ω=200π radians8 s\omega = \frac{200\pi \text{ radians}}{8 \text{ s}}
ω=25π radians/s\omega = 25\pi \text{ radians/s}

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 5 題20 分

Determine the components of the reactions at A and B if the 100 N load is applied (a) at D (b) at E.
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
A
B
C
D
E
30 mm
30 mm
50 mm
40 mm
100 N

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 2 頁原卷第 3 頁

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

此題為平面剛體組合結構，A、B 為鉸支承，C 為內部鉸接點。必須將結構分成兩個剛體分別分析：

  • 左側剛體：A−C−DA-C-D
  • 右側剛體：B−C−EB-C-E

C 點的鉸接力在兩剛體上大小相等、方向相反。取向右為 +x+x、向上為 +y+y、逆時針力矩為正，並設左側剛體在 C 點受力為 (Cx,Cy)(C_x,C_y)。

依圖中尺寸，各點座標可取為

A=(0,0),B=(50,0),C=(50,−30)A=(0,0),\quad B=(50,0),\quad C=(50,-30) D=(90,−30),E=(90,−60)mmD=(90,-30),\quad E=(90,-60)\quad \text{mm}

力矩公式為

MO=xFy−yFxM_O=xF_y-yF_x

（a）100 N 負載作用於 D

此時外力作用在左側剛體，右側剛體 B−C−EB-C-E 沒有外加負載。

對右側剛體取 B 點力矩。C 點相對於 B 點的位置為 (0,−30)(0,-30)，而右側剛體在 C 點所受力為 (−Cx,−Cy)(-C_x,-C_y)：

∑MB=0\sum M_B=0 −30Cx=0-30C_x=0

因此

Cx=0C_x=0

再對左側剛體取 A 點力矩：

∑MA=0\sum M_A=0 50Cy+30Cx−100(90)=050C_y+30C_x-100(90)=0

代入 Cx=0C_x=0：

50Cy=900050C_y=9000 Cy=180 NC_y=180\ \text{N}

對左側剛體列水平方向與鉛直方向平衡：

∑Fx=0:Ax+Cx=0\sum F_x=0:\qquad A_x+C_x=0 Ax=0A_x=0 ∑Fy=0:Ay+Cy−100=0\sum F_y=0:\qquad A_y+C_y-100=0 Ay=−80 NA_y=-80\ \text{N}

對右側剛體列平衡方程式：

∑Fx=0:Bx−Cx=0\sum F_x=0:\qquad B_x-C_x=0 Bx=0B_x=0 ∑Fy=0:By−Cy=0\sum F_y=0:\qquad B_y-C_y=0 By=180 NB_y=180\ \text{N}

其中 Ay=−80 NA_y=-80\ \text{N} 表示 A 點反力方向向下。

（b）100 N 負載作用於 E

此時外力作用在右側剛體，左側剛體 A−C−DA-C-D 沒有外加負載。

先對右側剛體取 B 點力矩：

∑MB=0\sum M_B=0

C 點作用力造成的力矩為 −30Cx-30C_x，E 點的垂直負載力臂為 40 mm40\ \text{mm}：

−30Cx−100(40)=0-30C_x-100(40)=0
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 6 題20 分

For the linkage shown, determine the couple M required for equilibrium when L = 2 m, Q = 50 N, and θ=60∘\theta = 60^\circ.
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
L/2
Q
L
C
B
θ
M
A

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 3 頁

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查平面連桿機構的虛功原理：

  • ABAB 為繞固定鉸點 AA 轉動的桿，AB=L/2AB=L/2。
  • BC=LBC=L，目前位置為水平。
  • CC 為沿斜槽移動的滑塊，斜槽與水平夾角為 θ\theta。
  • 斜槽反力垂直於滑塊位移，因此在虛功方程中不做功。
  • 圖示外力 QQ 沿斜槽向左下方作用，力偶 MM 需取順時針以平衡。

解題方法

令桿 ABAB 產生微小逆時針轉角 δϕ\delta\phi，並令 h=AB=L/2h=AB=L/2。

由於 ABAB 垂直，點 BB 的水平虛位移為

δxB=−h δϕ\delta x_B=-h\,\delta\phi

目前 BCBC 水平，因此 CC 相對於 BB 的一階垂直位移不影響水平位移，故

δxC=−h δϕ\delta x_C=-h\,\delta\phi

又因為 CC 只能沿斜槽移動，斜槽角度為 θ\theta，所以其沿斜槽的位移大小為

δsC=δxCcos⁡θ=−hcos⁡θδϕ\delta s_C=\frac{\delta x_C}{\cos\theta} =-\frac{h}{\cos\theta}\delta\phi

負號表示當 ABAB 逆時針轉動時，CC 沿斜槽向左下方移動，與力 QQ 同方向。因此，力 QQ 所作的虛功為

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 7 題20 分

Collar A moves upward with a constant velocity of 2 m/s. At the instant shown when θ=20∘\theta = 20^\circ, determine (a) the angular velocity of rod AB, (b) the velocity of collar B.
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
A
B
-60°
θ
400 mm

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 3 頁

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考察平面剛體的相對速度關係：

vB=vA+ωAB×rB/A\mathbf v_B=\mathbf v_A+\boldsymbol{\omega}_{AB}\times\mathbf r_{B/A}

其中：

  • Collar AA 沿鉛直方向向上，vA=2j m/s\mathbf v_A=2\mathbf j\ \text{m/s}。
  • Rod ABAB 長度為 L=400 mm=0.400 mL=400\ \text{mm}=0.400\ \text{m}。
  • Rod ABAB 與鉛直方向夾角為 θ=20∘\theta=20^\circ。
  • Collar BB 只能沿圖示斜槽運動；由圖可知斜槽方向為水平向右上方 30∘30^\circ。

解題方法

取 xx 軸向右、yy 軸向上，並令逆時針角速度為正。桿端點 BB 相對於 AA 的位置向量為

rB/A=Lsin⁡θ i+Lcos⁡θ j\mathbf r_{B/A} =L\sin\theta\,\mathbf i+L\cos\theta\,\mathbf j

因此

ωAB×rB/A=ωABk×(Lsin⁡θ i+Lcos⁡θ j)\boldsymbol{\omega}_{AB}\times\mathbf r_{B/A} = \omega_{AB}\mathbf k \times \left(L\sin\theta\,\mathbf i+L\cos\theta\,\mathbf j\right) =−ωABLcos⁡θ i+ωABLsin⁡θ j= -\omega_{AB}L\cos\theta\,\mathbf i +\omega_{AB}L\sin\theta\,\mathbf j

所以

vB=−ωABLcos⁡θ i+(2+ωABLsin⁡θ)j\mathbf v_B = -\omega_{AB}L\cos\theta\,\mathbf i + \left(2+\omega_{AB}L\sin\theta\right)\mathbf j

另一方面，BB 只能沿斜槽方向運動，設其速度大小為 vBv_B，則

vB=vBcos⁡30∘ i+vBsin⁡30∘ j\mathbf v_B = v_B\cos30^\circ\,\mathbf i + v_B\sin30^\circ\,\mathbf j

比較 xx、yy 分量：

vBcos⁡30∘=−ωABLcos⁡20∘(1)v_B\cos30^\circ = -\omega_{AB}L\cos20^\circ \tag{1}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 8 題20 分

A uniform rectangular plate has a mass of 4 kg and is held in position by three ropes as shown. Knowing that θ=20∘\theta = 20^\circ, determine, immediately after rope CF has been cut, (a) the acceleration of the plate, (b) the tension in ropes AD and BE.
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
D
θ
A
200 mm
E
θ
300 mm
B
CF

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 4 頁

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

剪斷 CFCF 瞬間，矩形板的角速度仍為零，因此可使用剛體平面運動的瞬時加速度關係：

aP=aG+α×rP/G\mathbf a_P=\mathbf a_G+\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{P/G}

此外，繩 ADAD、BEBE 長度固定，且上端固定。由於剪斷瞬間各點速度為零，板上連接點的加速度在繩方向上的分量必須為零。

板質量為 m=4 kgm=4\ \text{kg}，尺寸為 0.3 m×0.2 m0.3\ \text{m}\times0.2\ \text{m}，重力為

W=mg=4(9.81)=39.24 NW=mg=4(9.81)=39.24\ \text{N}

解題方法

取板質心 GG 為原點，xx 軸向右、yy 軸向上。設質心加速度為 (ax,ay)(a_x,a_y)，角加速度為 α\alpha。

兩繩與鉛直方向夾角皆為 θ=20∘\theta=20^\circ。由繩長約束，AA、BB 點在繩方向的加速度分量均為零。

對 AA、BB 點分別列出約束式並相加，可得

ay=0a_y=0

由於幾何與受力皆左右對稱，兩繩張力相等：

TAD=TBE=TT_{AD}=T_{BE}=T

水平方向的合力為

∑Fx=Tsin⁡θ−Tsin⁡θ=0\sum F_x=T\sin\theta-T\sin\theta=0

因此

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

其他學校的工程科學與其他考古題

臺灣大學130清華大學46政治大學63中央大學4中正大學14臺北大學39