112 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班乙組《工程力學》

核心觀念

斜面高度為 $a$、底邊為 $b$，因此斜面角 $\theta$ 滿足

$$\tan\theta=\frac{a}{b}.$$

兩木塊均重 $W$。接觸面摩擦係數如下：

• 木塊 $A$ 與 $B$ 之間：$\mu$
• 木塊 $B$ 與斜面之間：$2\mu$

木塊開始滑動時，須比較兩個接觸面的最大靜摩擦力。

解題方法

1. 判斷木塊 $A$ 與 $B$ 間的摩擦

對上方木塊 $A$ 作受力分析。

垂直斜面方向：

$$N_{AB}=W\cos\theta$$

沿斜面方向，木塊 $A$ 受重力分量 $W\sin\theta$ 向下。若 $A$ 尚未相對 $B$ 滑動，摩擦力必須向上平衡此分量，因此所需摩擦力為

$$f_{AB}=W\sin\theta.$$

最大靜摩擦力為

$$f_{AB,\max}=\mu N_{AB} =\mu W\cos\theta.$$

開始相對滑動的條件為

$$W\sin\theta=\mu W\cos\theta.$$

約去 $W\cos\theta$：

$$\tan\theta=\mu.$$

核心觀念

本題考查平面機構的瞬時運動與虛功原理：

• 二力構件的速度方向必垂直於該構件。
• 剛體上兩點的速度關係：
  $\vec v_D=\vec v_C+\boldsymbol{\omega}\times\vec r_{D/C}$
• 理想鉸鏈與二力構件的約束反力不作虛功，因此可用外力虛功平衡求 $P$。
• 彈簧力大小為
  $F_s=k\delta=600(0.05)=30\ \text{N}$

取 $A=(0,0)$，以毫米為長度單位，依圖得：

$C=(200,200),\qquad D=(200,400),\qquad E=(200,550),\qquad F=(1000,200)$

且桿 $DB$ 與鉛直方向夾角為 $30^\circ$。

解題方法

令桿 $AC$ 的角速度為 $\omega$，中央剛體 $CDEF$ 的角速度為 $\Omega$。

1. 求中央剛體的角速度

點 $C$ 由桿 $AC$ 繞 $A$ 轉動，因此

$$\vec v_C=\omega\mathbf{k}\times(200\mathbf{i}+200\mathbf{j}) =(-200\omega\mathbf{i}+200\omega\mathbf{j})$$

點 $D$ 位於桿 $DB$ 上。由於 $DB$ 與鉛直夾角 $30^\circ$，且 $D$ 到 $B$ 的垂直距離為 $400$ mm，故

$$\vec v_D=(-400\omega_2\mathbf{i}-400\tan30^\circ\,\omega_2\mathbf{j})$$

中央剛體上 $D$ 相對於 $C$ 的位置為 $200\mathbf{j}$，所以

$$\vec v_D =\vec v_C+\Omega\mathbf{k}\times(200\mathbf{j})$$

比較 $y$ 分量：

$$200\omega=-400\tan30^\circ\,\omega_2$$

因此

$$\omega_2=-\frac{1}{2\tan30^\circ}\omega=-0.8660\omega$$

比較 $x$ 分量：

$$-200\omega-200\Omega=-400\omega_2$$

本題屬於動力學問題，涉及物體在流體中的運動，並考慮了重力和空氣阻力（流體阻力）。題目要求找出速度的分量隨時間的變化，以及終端速度。

核心觀念：牛頓第二運動定律、微分方程的求解、阻力模型的應用。

首先，我們來分析物體受到的力。
物體受到兩個力：

1. 重力：$\mathbf{F}_g = -mg\mathbf{j}$，其中 $m$ 是物體的質量，$\mathbf{j}$ 是垂直向上的單位向量。
2. 流體阻力：$\mathbf{F}_d = -k\mathbf{v}$，其中 $k$ 是阻力係數，$\mathbf{v}$ 是物體的速度。這個阻力與速度成正比，且方向與速度相反。

根據牛頓第二運動定律，物體所受的合力等於質量乘以加速度：
$\mathbf{F}_{net} = m\mathbf{a}$
$\mathbf{F}_g + \mathbf{F}_d = m\mathbf{a}$
$-mg\mathbf{j} - k\mathbf{v} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt}$

將速度向量 $\mathbf{v}$ 分解為 $v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j}$，其中 $\mathbf{i}$ 是水平向右的單位向量。
則加速度向量 $\mathbf{a} = \frac{dv_x}{dt}\mathbf{i} + \frac{dv_y}{dt}\mathbf{j}$。
將上式代入牛頓第二定律的向量方程：
$-mg\mathbf{j} - k(v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j}) = m(\frac{dv_x}{dt}\mathbf{i} + \frac{dv_y}{dt}\mathbf{j})$

將方程按 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 分量展開：
x 分量：
$-kv_x = m\frac{dv_x}{dt}$
$\frac{dv_x}{dt} = -\frac{k}{m}v_x$

y 分量：
$-mg - kv_y = m\frac{dv_y}{dt}$
$\frac{dv_y}{dt} = -g - \frac{k}{m}v_y$

我們需要求解這兩個微分方程，並利用初始條件來確定常數。
初始條件：在 $t=0$ 時，物體的速度為 $v_0$，與水平方向夾角為 $\theta$。
所以，在 $t=0$ 時：
$v_x(0) = v_0 \cos\theta$
$v_y(0) = v_0 \sin\theta$

(a) 求解速度的分量隨時間的變化

先解 x 分量的速度方程：
$\frac{dv_x}{dt} = -\frac{k}{m}v_x$
這是一個一階線性齊次微分方程。我們可以分離變數來求解：
$\frac{dv_x}{v_x} = -\frac{k}{m}dt$
積分兩邊：
$\int \frac{dv_x}{v_x} = \int -\frac{k}{m}dt$
$\ln|v_x| = -\frac{k}{m}t + C_1$
$v_x(t) = e^{-\frac{k}{m}t + C_1} = e^{C_1} e^{-\frac{k}{m}t}$
令 $A = e^{C_1}$，則 $v_x(t) = A e^{-\frac{k}{m}t}$。
利用初始條件 $v_x(0) = v_0 \cos\theta$：
$v_0 \cos\theta = A e^0 = A$
所以，$v_x(t) = (v_0 \cos\theta) e^{-\frac{k}{m}t}$。

再解 y 分量的速度方程：
$\frac{dv_y}{dt} = -g - \frac{k}{m}v_y$
這也是一個一階線性齊次微分方程。我們可以先將其改寫為：

核心觀念

圖中 $\theta$ 由向右水平線順時針量至桿，平車向右加速度為 $a_0$。採用隨平車做平移的非慣性座標系，需加入向左的慣性力 $-ma_0$。

取：

• $\mathbf e_r=\cos\theta\,\mathbf i-\sin\theta\,\mathbf j$：由支點 $O$ 指向質點的徑向單位向量。
• $\mathbf e_\theta=-\sin\theta\,\mathbf i-\cos\theta\,\mathbf j$：$\theta$ 增加的切向單位向量。
• 桿的軸向力以 $T>0$ 表示拉力，方向指向支點 $O$。

一、求質點速度

平車座標系中的有效力為重力與慣性力：

$$\mathbf F_{\text{eff}}=-mg\,\mathbf j-ma_0\,\mathbf i$$

沿切線方向投影：

$$\mathbf F_{\text{eff}}\cdot\mathbf e_\theta =mg\cos\theta+ma_0\sin\theta$$

因此切向運動方程為

$$mr\ddot{\theta} =m\left(g\cos\theta+a_0\sin\theta\right)$$

初始條件為

$$\theta(0)=0,\qquad \dot{\theta}(0)=0$$

將上式乘以 $\dot{\theta}$ 並積分：

$$r\ddot{\theta}\dot{\theta} =\left(g\cos\theta+a_0\sin\theta\right)\dot{\theta}$$

得到

$$\frac{1}{2}r\dot{\theta}^{\,2} =g\sin\theta+a_0(1-\cos\theta)$$

所以