112 年 國立成功大學工程科學系碩士班己組《材料力學》

本題主要在於考驗對於二維彈性力學問題中，如何利用對稱性來簡化分析，並正確地描述邊界條件。

(a) 描述邊界條件：
題目描述了一個受到拉伸載荷的方形薄板，其中央有一個圓形孔。由於載荷和幾何形狀的對稱性，我們可以取其 $1/4$ 模型來進行分析。
考慮一個位於第一象限的 $1/4$ 模型，其邊界包含：

1. 對稱軸上的邊界 (Symmetry boundaries)：
   • 位於 $x$ 軸上的邊界（例如，如果圓心在原點，則為 $y=0$ 邊界）：由於對稱性，此邊界上的法向應力為零，或者剪應力為零，取決於我們如何定義模型的方向。在此題的示意圖中，位於 $x$ 軸上的邊界（$y=0$）承受垂直拉伸載荷，因此法向應力為一常數（1 psi），剪應力為零。
   • 位於 $y$ 軸上的邊界（例如，如果圓心在原點，則為 $x=0$ 邊界）：同樣由於對稱性，此邊界上的法向應力為零，或者剪應力為零。在此題的示意圖中，位於 $y$ 軸上的邊界（$x=0$）承受垂直拉伸載荷，因此法向應力為一常數（1 psi），剪應力為零。
   • 更精確的描述：由於我們取了 $1/4$ 模型，且載荷是對稱施加的，我們可以假設模型的一邊是 $x=0$ ($0 \le y \le 20$)，另一邊是 $y=0$ ($0 \le x \le 20$)。
     • 在 $y=0$ 邊界上 ($0 \le x \le 20$)：由於對稱性，此邊界上的位移分量 $u_y = 0$ 且剪應力 $\tau_{xy} = 0$。在此題的示意圖中，此邊界承受 $1$ psi 的拉伸應力，因此實際應為 $\sigma_y = 1$ psi。
     • 在 $x=0$ 邊界上 ($0 \le y \le 20$)：由於對稱性，此邊界上的位移分量 $u_x = 0$ 且剪應力 $\tau_{xy} = 0$。在此題的示意圖中，此邊界承受 $1$ psi 的拉伸應力，因此實際應為 $\sigma_x = 1$ psi。
     • 重要釐清：題目圖示的 $1/4$ 模型，其左邊和下邊的邊界都承受 $1$ psi 的拉伸應力。這代表我們取的 $1/4$ 模型，其邊界是經過對稱軸的。因此，對於 $1/4$ 模型，我們應該考慮的是：
       • 在 $y=0$ 邊界上 ($0 \le x \le 20$)：$\sigma_y = 1$ psi, $\tau_{xy} = 0$。
       • 在 $x=0$ 邊界上 ($0 \le y \le 20$)：$\sigma_x = 1$ psi, $\tau_{xy} = 0$。
2. 外載荷邊界 (Outer boundary with applied load)：
   • 位於 $x=20$ 邊界上 ($0 \le y \le 20$)：此邊界承受 $1$ psi 的拉伸應力，因此 $\sigma_x = 1$ psi 且 $\tau_{xy} = 0$。
   • 位於 $y=20$ 邊界上 ($0 \le x \le 20$)：此邊界承受 $1$ psi 的拉伸應力，因此 $\sigma_y = 1$ psi 且 $\tau_{xy} = 0$。
3. 圓孔邊界 (Circular hole boundary)：
   • 圓孔邊界上，應力為零（無外力作用在孔的邊緣）。因此，作用在孔邊界上的應力分量皆為零。
     • $\sigma_n = 0$ (法向應力為零)
     • $\tau_{nt} = 0$ (切向應力為零)
       其中 $n$ 代表圓孔邊界上的法線方向，$t$ 代表切線方向。

核心觀念

本題考查一維變截面桿的軸向彈性問題，使用：

• 軸向應變：$\varepsilon=u'(x)$
• 胡克定律：$\sigma=E\varepsilon=Eu'(x)$
• 軸力：$N(x)=A(x)\sigma=EAu'(x)$
• 軸向平衡方程式：$N'(x)+b=0$

題目所附掃描圖為第 1、6、7 題，未包含第 2 題的桿件方向及集中力箭頭。以下採用合理假設：桿件範圍為 $2\leq x\leq6$，$b=8$ 沿 $+x$ 方向作用，且 $P=24\ \mathrm{N}$ 於 $x=5$ 沿 $+x$ 方向作用。

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(a) 控制方程式

已知

$$E=8,\qquad A=2x$$

因此

$$EA=16x$$

在 $x\neq5$ 的位置，軸向平衡為

$$\frac{d}{dx}\left(EA\frac{du}{dx}\right)+b=0$$

代入數值後：

$$\frac{d}{dx}\left(16x\frac{du}{dx}\right)+8=0, \qquad 2<x<5,\;5<x<6$$

若將 $x=5$ 的集中力以 Dirac delta 函數表示，則完整形式為

$$\frac{d}{dx}\left(16x\frac{du}{dx}\right)+8+24\delta(x-5)=0$$

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(b) 邊界條件

本質邊界條件

左端位移已知：

$$u(2)=0$$

自然邊界條件

右端給定應力（題目寫作 $\tau$）：

$$\tau(6)=0$$

因此右端軸力為

$$N(6)=A(6)\tau(6)=0$$

亦即

$$\left. EA\frac{du}{dx}\right|_{x=6}=0$$

$x=5$ 集中力條件

位移必須連續：

$$u(5^-)=u(5^+)$$

軸力在集中力處產生跳躍。由平衡可得：

$$N(5^+)-N(5^-)=-24$$

即

$$\left[EAu'\right]_{5^-}^{5^+}=-24$$

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(c) 控制方程式的一般解

在 $x\neq5$ 時，

$$\frac{d}{dx}\left(16xu'\right)+8=0$$

積分一次：

$$16xu'=-8x+C_1$$

因此

$$u'=-\frac{1}{2}+\frac{C_1}{16x}$$

再積分：

$$u(x)=-\frac{x}{2}+C\ln x+D$$

所以分段一般解為

$$u_1(x)=-\frac{x}{2}+C_1\ln x+D_1, \qquad 2\leq x<5$$ $$u_2(x)=-\frac{x}{2}+C_2\ln x+D_2, \qquad 5<x\leq6$$

其中 $C_1,D_1,C_2,D_2$ 由邊界條件及 $x=5$ 的集中力條件決定。

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(d) 精確解

軸力定義為

$$N(x)=16xu'(x)$$

區域二：$5<x<6$

由 $N'(x)+8=0$ 及 $N(6)=0$：

核心觀念

本題使用 Euler–Bernoulli 梁理論。由於梁的彎曲剛度 $EI$ 為常數，且分布載重為

$$p(x)=p_0\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right),$$

可建立四階撓曲微分方程。

以下採「向下撓度為正」：

$$M=-EI\frac{d^2v}{dx^2},\qquad \frac{d^2M}{dx^2}=-p(x),$$

因此控制方程為

$$EI\frac{d^4v}{dx^4}=p(x).$$

簡支梁兩端的特性為：

• 垂直位移為零；
• 端部彎矩為零；
• 轉角不受限制；
• 支承處剪力為反力，不是零。

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(a) 控制方程

在 $0<x<L$ 內，

$$EI\frac{d^4v}{dx^4} = p_0\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right).$$

亦可寫成

$$\boxed{ \frac{d^4v}{dx^4} = \frac{p_0}{EI} \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) }$$

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(b) 邊界條件

位移邊界條件

兩端為簡支，因此

$$\boxed{v(0)=0}$$ $$\boxed{v(L)=0}$$

Neumann／自然邊界條件

簡支端不承受彎矩，因此

$$M(0)=M(L)=0.$$

由 $M=-EI v''$ 可得

$$\boxed{ \frac{d^2v}{dx^2}(0)=0 }$$ $$\boxed{ \frac{d^2v}{dx^2}(L)=0 }$$

故完整的四個邊界條件為

$$\boxed{ v(0)=0,\quad v(L)=0,\quad v''(0)=0,\quad v''(L)=0 }$$

簡支端的轉角 $v'(0)$、$v'(L)$ 不必為零；剪力則由支承反力提供，因此不能誤設為零。

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(c) 撓度方程

令

$$k=\frac{\pi}{L}.$$

控制方程變成

$$EI v^{(4)}=p_0\sin(kx).$$

因為

$$\frac{d^4}{dx^4}\sin(kx)=k^4\sin(kx),$$

可取特解

$$v_p=A\sin(kx),$$

其中

$$EI A k^4=p_0.$$

因此

$$A=\frac{p_0}{EI k^4} =\frac{p_0L^4}{EI\pi^4}.$$

考慮齊次解後，撓度一般式為

$$v(x) = A\sin(kx)+C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3.$$

其二階導數為

$$v''(x) = -Ak^2\sin(kx)+2C_3+6C_4x.$$

套用邊界條件：

由 $v(0)=0$ 得

核心觀念

本題考查平面應力轉換與莫爾圓，需使用：

• 平均正應力：

  $\sigma_{\mathrm{avg}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}$

• 莫爾圓半徑：

  $R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$

• 主應力：

  $\sigma_1=\sigma_{\mathrm{avg}}+R$

  $\sigma_2=\sigma_{\mathrm{avg}}-R$

• 最大平面內剪應力：

  $\tau_{\max}=R$

其中採用標準正號規定：拉應力為正；正剪應力在正面上指向正座標方向。

題圖資訊確認

目前附上的掃描圖是第 2 頁，內容為第 6 題與第 7 題，未包含第 4 題的平面應力元素圖。因此無法取得第 4 題所需的 $\sigma_x$、$\sigma_y$ 與 $\tau_{xy}$ 數值，也無法繪製具有確定數值的莫爾圓。

以下以圖中應力分量記為 $\sigma_x$、$\sigma_y$、$\tau_{xy}$ 作符號解。

(a) 莫爾圓

在 $\sigma-\tau$ 座標系中，兩個互補面應力點為

$$A(\sigma_x,\tau_{xy})$$ $$B(\sigma_y,-\tau_{xy})$$

莫爾圓圓心位於正應力軸上：

$$C\left(\sigma_{\mathrm{avg}},0\right)$$

其中

$$\sigma_{\mathrm{avg}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}$$

半徑為

$$R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$$

因此莫爾圓方程式為

$$(\sigma-\sigma_{\mathrm{avg}})^2+\tau^2=R^2$$

與 $\sigma$ 軸的兩個交點即為主應力 $\sigma_1$ 與 $\sigma_2$。

(b) 逆時針旋轉 $30^\circ$ 後的應力

設元素的 $x'$ 軸相對原本 $x$ 軸逆時針旋轉

$$\theta=30^\circ$$

平面應力轉換公式為

$$\sigma_{x'} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta + \tau_{xy}\sin 2\theta$$ $$\sigma_{y'} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} - \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta - \tau_{xy}\sin 2\theta$$ $$\tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta$$