112 年 國立成功大學工程科學系碩士班己組《流體力學》

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第 1 題

15% (1). True (T)/False (F) questions, 1% for each question.

  1. If a fluid deforms continuously under a shear stress, then it is a fluid.
  2. We define a fluid as a substance that deforms continuously under a normal stress.
  3. Conservation of Mass is a basic law of fluid mechanics.
  4. The mass of a control volume is constant.
  5. The volume of a system is constant.
  6. A pathline shows the path of a given fluid particle.
  7. A streakline shows the path of fluid particles that pass through a given location.
  8. A streamline shows the direction of the fluid flow at a moment in time.
  9. A streakline shows the direction of the fluid flow at a moment in time.
  10. A streamline shows the path of fluid particles that pass through a given location.
  11. In a stationary fluid, the shear stress on a fluid element is zero.
  12. The force produced by a shear stress is a body force.
  13. The weight of a fluid element is a body force.
  14. V⃗\vec{V} is a velocity in a flow field, if ∇⋅V⃗=0\nabla \cdot \vec{V} = 0, then the fluid density ρ\rho = constant.
  15. If ρ\rho = constant then ∇⋅V⃗=0\nabla \cdot \vec{V} = 0.
    (請在答案卷上將答案依下列方式寫在題號下面)
    (1)
    (2)
    (3)
    (4)
    (5)
    (6)
    (7)
    (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)

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這部分考驗流體力學的基本定義與觀念。

  1. T。流體的基本定義就是在剪應力作用下會連續變形。
  2. F。流體在「剪應力」作用下會連續變形，在正向應力（normal stress）作用下，固體和流體都會變形。
  3. T。質量守恆是所有力學領域的基本定律，流體力學也不例外。
  4. F。控制體積（Control Volume）是空間中的一個區域，其質量可以隨時間改變，除非特別說明是定常流或特殊條件。
  5. T。系統（System）是一群特定的物質，其質量是固定的，因此其體積也通常是固定的，除非有溫度或壓力變化導致的體積膨脹或收縮。
  6. T。路徑線（Pathline）是單一粒子隨時間移動的軌跡。
  7. F。曳尾線（Streakline）是所有通過同一固定位置的粒子在某一時刻的軌跡連線，而不是指通過同一位置的所有粒子在不同時刻的軌跡。
  8. T。流線（Streamline）在某一瞬間，其方向代表流體質點的速度方向。
  9. F。曳尾線（Streakline）代表同一位置的粒子在不同時間的軌跡，而速度方向是流線的方向。
  10. F。流線（Streamline）代表在某一瞬間，流體質點的速度方向。通過某一點的粒子路徑是路徑線（Pathline）。
  11. F。即使是靜止流體（或稱無流體，但題目指 stationary fluid，應為黏滯性為零的理想流體或無應力狀態），若有外力作用，靜止流體本身不產生剪應力，但若題目指有剪應力作用但流體不動，則不一定為零。然而，若題目指「完全沒有剪應力」，那靜止流體自然沒有剪應力。依據流體定義，若有剪應力作用，流體會變形。
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第 2 題15 分

15% (2) Explain/answer the following questions: (5% each)
(a) What is continuum assumption in fluid mechanics?
(b) What is Newtonian Fluid? Why do fluids have viscosity?
(c) Explain why surface tension may exist between air and liquid interface.

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這部分考驗對流體力學基本概念的理解。

(a) 連續體假設 (Continuum Assumption)：
在流體力學中，連續體假設是指將流體視為一個連續的介質，而不是由離散的分子組成。這個假設在宏觀尺度上是成立的，因為流體的分子間距遠小於我們感興趣的尺度（例如實驗室尺度或工程尺度）。透過這個假設，我們可以將流體的物理性質（如密度、壓力、速度）定義在空間中的每一個點上，並使用微分方程來描述流體的運動。這個假設的有效性在於，即使流體由離散的分子構成，在足夠大的尺度上，其平均行為可以被連續的物理量所描述，而無需考慮個別分子的運動。

(b) 牛頓流體 (Newtonian Fluid)：
牛頓流體是指其剪應力與剪應變率之間呈線性關係的流體。對於牛頓流體，剪應力 τ\tau 與剪應變率 dudy\frac{du}{dy} 的關係可以表示為：
τ=μdudy\tau = \mu \frac{du}{dy}
其中 μ\mu 是流體的動力黏度（dynamic viscosity），是一個常數，與剪應變率無關。大多數常見的流體，如水、空氣、酒精等，都屬於牛頓流體。

流體為何具有黏滯性 (Viscosity)：
流體具有黏滯性是因為流體分子之間存在相互作用力，以及分子運動的動量傳遞。當流體發生剪切流動時，相鄰流體層之間會產生相對運動。較快移動的流體層會將其動量傳遞給較慢移動的流體層，使其加速；

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第 3 題20 分

20% (3) A small object is tested in a 2D wind tunnel. The object is located and fixed in the center of the
tunnel. Assume the flow field is incompressible and steady shown below. The in-flow has uniform
velocity V, density p and pressure P₁. The out-flow has uniform pressure P₂, linear velocity with
zero velocity at center and maximum velocity Vmax at top and bottom surfaces. Find (a) the
maximum velocity Vmax =? (5%), and (b) the exerted force of the object (15%). Neglect viscous
resistance at the tunnel walls.
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🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 2 頁原卷第 3 頁

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核心觀念

依圖取通道中心為 y=0y=0，上下壁面分別為 y=±Hy=\pm H，因此通道總高度為 2H2H。以紙面垂直方向單位長度分析，xx 軸取向右為正。

本題使用：

  1. 不可壓縮穩態流的連續方程式。
  2. 控制體積的 xx 方向線性動量方程式。
  3. 牛頓第三定律。

出口速度皆向右，且中心速度為零、上下壁面速度為 Vmax⁡V_{\max}，故

u2(y)=Vmax⁡H∣y∣,−H≤y≤H.u_2(y)=\frac{V_{\max}}{H}|y|, \qquad -H\le y\le H.

解題方法

（a）求最大速度 Vmax⁡V_{\max}

入口速度均勻為 VV，所以入口流量為

Q1=∫−HHV dy=2HV.Q_1=\int_{-H}^{H}V\,dy=2HV.

出口流量為

Q2=∫−HHVmax⁡H∣y∣ dy=Vmax⁡H(2∫0Hy dy)=HVmax⁡.\begin{aligned} Q_2 &=\int_{-H}^{H}\frac{V_{\max}}{H}|y|\,dy \\ &=\frac{V_{\max}}{H} \left(2\int_0^H y\,dy\right) \\ &=HV_{\max}. \end{aligned}

由不可壓縮穩態流的質量守恆，

Q1=Q2,Q_1=Q_2,

因此

2HV=HVmax⁡,2HV=HV_{\max},

得到

Vmax⁡=2V.\boxed{V_{\max}=2V}.

（b）求物體所受作用力

取物體周圍的流體為控制體積。由於忽略隧道壁面的黏性阻力，隧道上下壁面的剪力為零；壁面壓力方向垂直於壁面，沒有 xx 方向分量。因此 xx 方向外力只需考慮入口壓力、出口壓力及物體對流體的作用力。

入口的動量流率為

(ρ∫−HHu12 dy)=2ρHV2.\left(\rho\int_{-H}^{H}u_1^2\,dy\right) =2\rho HV^2.

出口的動量流率為

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第 4 題25 分

25% (4) In a steady flow field we can draw streamlines and define stream functions ψ. For a 2-D
incompressible irrotational flow, we can also define a potential function ф. (a) Write down the
relation between the velocity component (u, v) and the stream function. (5%). (b) Write down the
relation between the velocity component and the potential function (5%). (c) Explain the physical
meaning for the values difference between two stream functions (5%). (d) Prove that the associated
potential lines are orthogonal(正交) to the streamlines. (10%) (Note: use Cartesian coordinate
system).

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核心觀念

本題考查二維不可壓縮無旋流中的兩個重要函數：

  1. 流函數（stream function） ψ\psi

    • 用來描述二維不可壓縮流場。
    • ψ=\psi= 常數線即為流線。
    • 兩條流線間的流函數差，代表單位深度的體積流率。

  2. 速度勢函數（potential function） ϕ\phi

    • 用於無旋流。
    • ϕ=\phi= 常數線稱為等勢線（potential lines）。
    • 速度為速度勢函數的梯度。

採用笛卡兒座標 (x,y)(x,y)，速度分量為 (u,v)(u,v)，其中 uu 為 xx 方向速度，vv 為 yy 方向速度。

（a）速度分量與流函數的關係

流函數定義為

u=∂ψ∂yu=\frac{\partial \psi}{\partial y} v=−∂ψ∂xv=-\frac{\partial \psi}{\partial x}

因此微分形式為

dψ=∂ψ∂xdx+∂ψ∂ydy=−v dx+u dyd\psi = \frac{\partial \psi}{\partial x}dx + \frac{\partial \psi}{\partial y}dy = -v\,dx+u\,dy

故

dψ=−v dx+u dy\boxed{d\psi=-v\,dx+u\,dy}

不可壓縮條件

二維不可壓縮流的連續方程式為

∂u∂x+∂v∂y=0\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} =0

代入流函數定義：

∂u∂x+∂v∂y=∂2ψ∂x∂y−∂2ψ∂y∂x=0\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial^2\psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^2\psi}{\partial y\partial x} =0

因此上述定義必然滿足不可壓縮條件。

（b）速度分量與速度勢函數的關係

速度勢函數 ϕ\phi 的定義為速度場的梯度：

u=∂ϕ∂x\boxed{u=\frac{\partial \phi}{\partial x}} v=∂ϕ∂y\boxed{v=\frac{\partial \phi}{\partial y}}

其微分形式為

dϕ=∂ϕ∂xdx+∂ϕ∂ydyd\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}dx + \frac{\partial \phi}{\partial y}dy

因此

dϕ=u dx+v dy\boxed{d\phi=u\,dx+v\,dy}

速度勢函數存在的條件是流場無旋。二維流場的旋度為

ωz=∂v∂x−∂u∂y\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}

無旋流滿足

∂v∂x−∂u∂y=0\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} =0

代入速度勢函數的關係：

∂v∂x−∂u∂y=∂2ϕ∂x∂y−∂2ϕ∂y∂x=0\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^2\phi}{\partial y\partial x} =0

故速度勢函數可用來表示無旋速度場。

（c）兩條流線間流函數差的物理意義

考慮兩條流線 ψ1\psi_1 與 ψ2\psi_2，其間流函數差為

Δψ=ψ2−ψ1\Delta\psi=\psi_2-\psi_1

沿著任意連接兩條流線的曲線，有

dψ=−v dx+u dyd\psi=-v\,dx+u\,dy

對於垂直於流線的方向，設法向位移為 dndn，流速大小為 VV，則

dψ=V dnd\psi=V\,dn

積分可得

ψ2−ψ1=∫12V dn\psi_2-\psi_1 = \int_1^2 V\,dn

此量就是穿過兩條流線間區域的單位深度體積流率：

Δψ=q′\boxed{\Delta\psi=q'}

其中 q′q' 的單位為

m2/s\mathrm{m^2/s}

若流場垂直於圖面的深度為 bb，則實際體積流率為

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第 5 題25 分

25% (5) For a steady 2-D incompressible inviscid fluid flow problem without gravity effect, the x component
of velocity in given by u = Ax (A is a constant), the density is p. Determine the y velocity component
(5%) if u=0 and v=0 at (x=0, y=0) and the pressure is Po. Calculate the fluid acceleration (5%)and
determine the pressure gradient (5%) and pressure (10%) at any (x, y) location. [Use 2-D Euler
equations in Cartesian coordinate system to answer this question].

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核心觀念

本題使用二維、穩態、不可壓、無黏性且無重力流之基本方程：

  1. 不可壓縮連續方程式
∂u∂x+∂v∂y=0\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0
  1. 二維 Euler 方程式
ρ(u∂u∂x+v∂u∂y)=−∂p∂x\rho\left(u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y}\right) =-\frac{\partial p}{\partial x} ρ(u∂v∂x+v∂v∂y)=−∂p∂y\rho\left(u\frac{\partial v}{\partial x} +v\frac{\partial v}{\partial y}\right) =-\frac{\partial p}{\partial y}

其中題目中的密度符號 p 應為密度 ρ\rho，壓力則以 pp 表示。

一、求 yy 方向速度 vv

已知

u=Axu=Ax

因此

∂u∂x=A,∂u∂y=0\frac{\partial u}{\partial x}=A, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=0

代入連續方程式：

A+∂v∂y=0A+\frac{\partial v}{\partial y}=0

所以

∂v∂y=−A\frac{\partial v}{\partial y}=-A

對 yy 積分：

v=−Ay+f(x)v=-Ay+f(x)

其中 f(x)f(x) 是只與 xx 有關的函數。

題目給定原點速度為零：

v(0,0)=0v(0,0)=0

因此

f(0)=0f(0)=0

僅由原點的單一邊界條件，無法直接決定完整的 f(x)f(x)。再利用 Euler 方程式與壓力場的相容性，可得 f(x)f(x) 必須為線性函數：

f(x)=Bxf(x)=Bx

其中 BB 為常數。因此最一般的速度場為

v=Bx−Ay\boxed{v=Bx-Ay}

在一般教科書解答中，通常採取最簡單且符合題意的速度場，令 B=0B=0，得到

v=−Ay\boxed{v=-Ay}

以下先以一般形式 v=Bx−Ayv=Bx-Ay 推導；最後可直接令 B=0B=0 得到題目通常預期的結果。

二、流體加速度

穩態流動的流體加速度為對流加速度：

a=(u∂∂x+v∂∂y)(ui+vj)\boldsymbol{a} = \left( u\frac{\partial}{\partial x} +v\frac{\partial}{\partial y} \right) (u\boldsymbol{i}+v\boldsymbol{j})

其分量為

ax=u∂u∂x+v∂u∂ya_x=u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} ay=u∂v∂x+v∂v∂ya_y=u\frac{\partial v}{\partial x} +v\frac{\partial v}{\partial y}

對速度場

u=Ax,v=Bx−Ayu=Ax, \qquad v=Bx-Ay

各偏導數為

∂u∂x=A,∂u∂y=0\frac{\partial u}{\partial x}=A, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=0 ∂v∂x=B,∂v∂y=−A\frac{\partial v}{\partial x}=B, \qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-A

因此

ax=(Ax)(A)+(Bx−Ay)(0)a_x=(Ax)(A)+(Bx-Ay)(0) ax=A2x\boxed{a_x=A^2x}

而

ay=(Ax)(B)+(Bx−Ay)(−A)a_y=(Ax)(B)+(Bx-Ay)(-A) ay=ABx−ABx+A2ya_y=ABx-ABx+A^2y

所以

ay=A2y\boxed{a_y=A^2y}

流體加速度向量為

a=A2x i+A2y j\boxed{ \boldsymbol{a}=A^2x\,\boldsymbol{i}+A^2y\,\boldsymbol{j} }

值得注意的是，雖然速度中的 BxBx 項會改變流線型態，但它在加速度計算中相互抵消，因此加速度與壓力場均與 BB 無關。

三、壓力梯度

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