113 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班丁組《流體力學》

好的，各位同學，我們來看看這題國立成功大學航空太空工程學系 113 年的流體力學考題。這題主要考驗大家對無旋流 (irrotational flow) 的判斷以及速度勢函數 (velocity potential function) 的概念。

題目解析

本題給定一個二維流場的流函數 $\Psi = ax^2 - ay^2$，其中 $a = 3 \text{ s}^{-1}$。要求我們證明此流場為無旋流，並求出其速度勢函數。

解題過程

(a) 證明流場為無旋流

一個二維不可壓縮流場若為無旋流，則其渦度 (vorticity) 必須為零。渦度是速度向量的旋度，在二維笛卡兒座標系下，速度向量為 $\mathbf{v} = (u, v)$，其中 $u$ 和 $v$ 分別是 $x$ 和 $y$ 方向的速度分量。

流函數 $\Psi$ 與速度分量 $u$ 和 $v$ 的關係為：
$u = \frac{\partial \Psi}{\partial y}$
$v = -\frac{\partial \Psi}{\partial x}$

首先，我們根據給定的流函數 $\Psi = ax^2 - ay^2$ 來計算速度分量 $u$ 和 $v$：
$u = \frac{\partial}{\partial y}(ax^2 - ay^2) = -2ay$
$v = -\frac{\partial}{\partial x}(ax^2 - ay^2) = -(2ax) = -2ax$

接下來，我們計算流場的渦度。在二維笛卡兒座標系下，渦度的 $z$ 分量（也就是唯一的非零分量）為：
$\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}$

將我們計算出的 $u$ 和 $v$ 代入：
$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-2ax) = -2a$
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-2ay) = -2a$

因此，渦度為：
$\omega_z = (-2a) - (-2a) = -2a + 2a = 0$

核心觀念

本題考查流體力學方程式的無因次化，以及由各物理效應的相對大小所形成的無因次群。

原方程式為

$$u\frac{\partial u}{\partial x} = -g\frac{\partial h}{\partial x} + \frac{\mu}{\rho} \left( \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} \right)$$

其中：

• $u$：流速，特徵尺度為 $V_0$
• $x,y$：空間座標，特徵尺度為 $L$
• $h$：水頭或液面高度
• $g$：重力加速度
• $\mu/\rho=\nu$：動黏滯係數

方程式中的三種主要效應為：

1. 慣性效應：$u\,\partial u/\partial x$
2. 重力或水頭梯度效應：$g\,\partial h/\partial x$
3. 黏性效應：$\nu\nabla^2u$

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解題方法：選擇特徵尺度

定義無因次變數

$$x=Lx^*,\qquad y=Ly^*,\qquad u=V_0u^*,\qquad h=Lh^*$$

其中星號表示無因次變數。

由鏈鎖律可得

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{V_0}{L}\frac{\partial u^*}{\partial x^*}$$

以及

$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2} = \frac{V_0}{L^2} \frac{\partial^2u^*}{\partial x^{*2}}, \qquad \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = \frac{V_0}{L^2} \frac{\partial^2u^*}{\partial y^{*2}}$$

此外，

$$\frac{\partial h}{\partial x} = \frac{\partial (Lh^*)}{\partial (Lx^*)} = \frac{\partial h^*}{\partial x^*}$$

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各項尺度分析

慣性項

$$u\frac{\partial u}{\partial x} = V_0u^* \left( \frac{V_0}{L} \frac{\partial u^*}{\partial x^*} \right) = \frac{V_0^2}{L} u^*\frac{\partial u^*}{\partial x^*}$$

因此慣性項的特徵尺度為

$$\frac{V_0^2}{L}$$

重力項

$$-g\frac{\partial h}{\partial x} = -g\frac{\partial h^*}{\partial x^*}$$

其特徵尺度為 $g$。

黏性項

$$\frac{\mu}{\rho} \left( \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} \right) = \frac{\mu}{\rho} \frac{V_0}{L^2} \left( \frac{\partial^2u^*}{\partial x^{*2}} + \frac{\partial^2u^*}{\partial y^{*2}} \right)$$

其特徵尺度為

$$\frac{\mu V_0}{\rho L^2} = \frac{\nu V_0}{L^2}$$

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無因次方程式

將原方程式除以慣性尺度 $V_0^2/L$，得到

核心觀念

本題應用：

1. 連續方程：流量守恆。
2. 沿平板切線方向的動量方程。
3. 無摩擦表示平板對液流沒有切向力，因此液流在平板切線方向的動量通量保持不變。

設入射液體射流厚度為 $h$、速度為 $V$；分流厚度分別為 $h_1$、$h_2$，且兩股分流速度皆為 $V$。以下定義 $h_2$ 為沿著入射速度在平板切線方向分量同向流出的分流。

解題方法與推導

取平板切線方向為正方向。平板與入射射流方向夾角為 $\theta$，因此入射速度在平板切線方向的分量為

$$V_t=V\cos\theta$$

由連續方程，因為三股流速大小相同，故

$$\rho V h=\rho V h_1+\rho V h_2$$

因此

$$h=h_1+h_2 \tag{1}$$

再對平板切線方向套用動量方程。由於無摩擦，平板沒有切向作用力，所以

$$\text{入口切向動量通量} = \text{出口切向動量通量}$$

入口切向動量通量為

$$\rho Vh(V\cos\theta)$$

其中 $h_2$ 分流沿正方向流出，而 $h_1$ 分流沿負方向流出，因此出口切向動量通量為

$$\rho V^2h_2-\rho V^2h_1$$

故

$$\rho V^2h\cos\theta = \rho V^2(h_2-h_1)$$

約去 $\rho V^2$，得

$$h\cos\theta=h_2-h_1 \tag{2}$$

由式 $(1)$ 與式 $(2)$ 相加：

$$2h_2=h(1+\cos\theta)$$

所以

$$\boxed{\frac{h_2}{h}=\frac{1+\cos\theta}{2}}$$

同理，另一股分流為

$$\boxed{\frac{h_1}{h}=\frac{1-\cos\theta}{2}}$$

結果曲線

令

核心觀念

本題考查移動控制體的動量方程。關鍵是：

1. 水流與 cart 的相對撞擊速度為
   $V_{\mathrm{rel}}=V_{\mathrm{water}}-V_{\mathrm{cart}}$
2. 題目給的質量流率是通過「固定噴嘴」的質量流率，撞擊 cart 的有效質量流率必須依相對速度修正。
3. 水流撞上垂直背板後，只在背板平面內飛散，因此離開水流的平均法向絕對速度等於 cart 速度 $U$。

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解題方法

取水平方向、噴流方向為 $x$ 軸。已知

$$V_1=35\ \mathrm{m/s},\qquad U=10\ \mathrm{m/s},\qquad \dot m_0=30\ \mathrm{kg/s}$$

水流相對於 cart 的撞擊速度為

$$V_{\mathrm{rel}}=V_1-U=35-10=25\ \mathrm{m/s}$$

固定噴嘴中的質量流率為

$$\dot m_0=\rho A V_1$$

因此，實際撞擊移動背板的質量流率為

$$\dot m=\rho A(V_1-U) =\dot m_0\frac{V_1-U}{V_1}$$ $$\dot m =30\left(\frac{25}{35}\right) =21.4286\ \mathrm{kg/s}$$

撞擊後，水流在背板平面內向各方向飛散。由於背板的法向是水平方向，水流離開背板時的平均絕對速度分量為

$$V_{2x}=U=10\ \mathrm{m/s}$$

故水流在水平方向的動量改變率為

$$F_{\mathrm{water\ on\ cart}} =\dot m(V_1-V_{2x})$$

核心觀念

本題考查不可壓縮流體的連續方程式與伯努力方程式。由於管內水流穩定、各截面流速均勻，且直管可視為等高、無能量損失，先用質量守恆求出口流速，再用伯努力方程式求出口壓力。

解題方法

連續方程式為

$$A_1V_1=A_2V_2$$

代入入口面積 $A_1=10\ \text{cm}^2$、入口流速 $V_1=10\ \text{m/s}$，以及出口面積 $A_2=5\ \text{cm}^2$：

$$V_2=\frac{A_1}{A_2}V_1 =\frac{10}{5}(10) =20\ \text{m/s}$$

對等高的入口與出口套用伯努力方程式：

$$p_1+\frac{1}{2}\rho V_1^2 = p_2+\frac{1}{2}\rho V_2^2$$

整理求出口壓力：

$$p_2=p_1+\frac{1}{2}\rho\left(V_1^2-V_2^2\right)$$

核心觀念

本題使用三個基本原理：

1. 連續方程式
   $\dot{m}=\rho A V$

2. 伯努力方程式：求入口壓力。假設穩態、不可壓縮、無顯著能量損失。

3. 控制體動量方程式：求水流對彎頭的作用力，再由平衡條件求錨定力。

題幹未附 reducing elbow 的實際圖形，以下依題目文字假設：入口流速沿水平方向，出口流速相對水平向上偏轉 $30^\circ$。

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解題方法

取入口方向為 $x$ 軸正向，鉛直向上為 $y$ 軸正向。出口壓力為大氣壓，因此以表壓計算時：

$$p_2=0$$

已知

$$\dot{m}=10\ \mathrm{kg/s},\qquad \rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}$$

所以體積流率為

$$Q=\frac{\dot{m}}{\rho} =\frac{10}{1000} =0.01\ \mathrm{m^3/s}$$

入口與出口面積：

$$A_1=10\ \mathrm{cm^2}=1.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}$$ $$A_2=5\ \mathrm{cm^2}=5.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$$

由連續方程式：

$$V_1=\frac{Q}{A_1} =\frac{0.01}{1.0\times10^{-3}} =10\ \mathrm{m/s}$$ $$V_2=\frac{Q}{A_2} =\frac{0.01}{5.0\times10^{-4}} =20\ \mathrm{m/s}$$

出口速度分量為

$$V_{2x}=V_2\cos30^\circ =20(0.86)=17.2\ \mathrm{m/s}$$ $$V_{2y}=V_2\sin30^\circ =20(0.5)=10\ \mathrm{m/s}$$

入口速度分量為

$$V_{1x}=10\ \mathrm{m/s},\qquad V_{1y}=0$$

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(a) 入口壓力

入口與出口中心的高度差為

$$z_2-z_1=1\ \mathrm{m}$$

套用伯努力方程式：

$$\frac{p_1}{\rho g} +\frac{V_1^2}{2g} +z_1 = \frac{p_2}{\rho g} +\frac{V_2^2}{2g} +z_2$$

因為 $p_2=0$，整理得

$$p_1 = \rho\left[ g(z_2-z_1) +\frac{V_2^2-V_1^2}{2} \right]$$

代入 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$：

$$p_1 = 1000\left[ 9.81(1) +\frac{20^2-10^2}{2} \right]$$ $$p_1 = 1000(9.81+150) =1.5981\times10^5\ \mathrm{Pa}$$

因此入口表壓為

$$\boxed{p_1\approx1.60\times10^5\ \mathrm{Pa}=160\ \mathrm{kPa\ (gauge)}}$$

若要求絕對壓力：

$$p_{1,\mathrm{abs}} =p_1+p_{\mathrm{atm}} \approx1.60\times10^5+1.00\times10^5$$ $$\boxed{p_{1,\mathrm{abs}}\approx2.60\times10^5\ \mathrm{Pa}}$$

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(b) 錨定力

取彎頭內的水為控制體。水的重量忽略，出口以表壓計算，因此出口壓力作用力為零。

控制體動量方程式為