108 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班丁組《流體力學》

核心觀念

穩態流的流體微團加速度為

本題速度只有 $x$ 方向分量，且 $u=u(x)$，因此

穩態不代表加速度為零，仍可能存在由速度空間變化造成的對流加速度。

(a) $x$ 方向加速度

題給

微分得

因此

或寫成

在題目範圍 $x\le -R$ 中，$x^3<0$，所以

表示流體沿著 $+x$ 方向前進時是在加速。

(b) 最大減速及其位置

在 $x\le -R$ 中，

此題考驗自由渦流模型在液體表面形成的渦旋的物理概念，以及如何將流體力學的參數與幾何形狀聯繫起來。核心是利用伯努利定律和自由渦流的速度分佈。

核心觀念：

1. 自由渦流速度分佈：自由渦流的特點是其速度大小與徑向距離 $r$ 成反比，即 $v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}$。
2. 伯努利定律：在穩態、不可壓縮、無黏性流動中，沿著同一流線，壓力、動能和位能的總和保持不變。對於自由表面而言，表面上的壓力是相同的（通常是定壓，如大氣壓），因此表面形狀由速度（動能）和高度（位能）決定。

解題步驟：

1. 確定自由渦流的速度分佈：
   從給定的流函數 $\psi = \frac{\Gamma}{2\pi} \ln r$，我們可以計算速度分量。
   在極座標下，徑向速度 $v_r = \frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial \theta}$，角向速度 $v_\theta = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$。
   由於 $\psi$ 只與 $r$ 有關，$\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = 0$，所以 $v_r = 0$。
   $v_\theta = -\frac{\partial}{\partial r} (\frac{\Gamma}{2\pi} \ln r) = -\frac{\Gamma}{2\pi} \frac{1}{r}$。
   速度的大小為 $|v_\theta| = \frac{\Gamma}{2\pi r}$。
   我們通常關心的是速度的大小，所以我們取 $v(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}$，其中 $v$ 是渦旋的切向速度。

2. 應用伯努利定律到自由表面：
   考慮從 tank 底部開口處（假設壓力為 $P_{atm}$，速度為 $v_{tank}$，高度為 $z_{tank}$）到液體表面的某一點 $(r, z_s(r))$。
   假設 tank 很大，開口很小，那麼 tank 內液面上的速度 $v_{tank}$ 可以忽略不計 ($v_{tank} \approx 0$)。
   假設 tank 內液面高度為一個參考高度 $z_{ref}$，我們可以將其作為位能的零點。
   或者，我們直接考慮自由表面上的任意兩點。

   伯努利方程為：$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{constant}$
   這裡的 $P$ 是靜壓力，$v$ 是速度，$z$ 是高度。

   對於自由表面，我們通常假設表面上的壓力是恆定的，例如大氣壓 $P_{atm}$。
   所以，在自由表面上的任意一點 $(r, z_s(r))$，伯努利方程可以寫成：
   $P_{atm} + \frac{1}{2}\rho v(r)^2 + \rho g z_s(r) = C$
   其中 $C$ 是一個常數。
   $v(r)$ 是在半徑 $r$ 處的渦旋速度，即 $v(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}$。

   將速度代入：
   $P_{atm} + \frac{1}{2}\rho (\frac{\Gamma}{2\pi r})^2 + \rho g z_s(r) = C$

3. 確定常數 C 的值：
   常數 $C$ 可以通過考慮一個特定的點來確定。例如，考慮 $r \to \infty$ 的情況。
   當 $r \to \infty$ 時，自由渦流的速度 $v(r) \to 0$。
   在非常遠的地方，液面可能趨於平坦，即 $z_s(r \to \infty) \to z_{flat}$。
   那麼，常數 $C$ 可以近似為：
   $C \approx P_{atm} + 0 + \rho g z_{flat}$

   或者，考慮開口處的壓力。題目圖示中有 $P = P_{atm}$ 標示在開口處的上方，這暗示開口處的壓力是 $P_{atm}$。
   如果我們考慮從開口處 (假設高度為 $z_{opening}$，壓力為 $P_{opening}$，速度為 $v_{opening}$) 到自由表面的流動。
   但更直接的方法是直接在自由表面上應用伯努利定律，並確定那個常數。

   圖中顯示開口處的壓力為 $P_{atm}$，並且開口處的液面高度為 $z=0$ (假設)。
   但這個 $P=P_{atm}$ 是指 tank 內的氣體壓力，而不是液體壓力。
   我們應該關注的是自由表面的壓力。

   圖中在開口上方標示 $P=P_{atm}$，並且有一個箭頭指向開口。這通常表示 tank 內的氣壓是 $P_{atm}$。
   假設 tank 內液面高度為 $z_{tank}$，壓力為 $P_{atm}$，速度 $v_{tank} \approx 0$。
   那麼，在 tank 內的液體中，自由表面的伯努利方程為：
   $P_{atm} + \frac{1}{2}\rho (0)^2 + \rho g z_s(r) = C$

核心觀念

本題考查模型試驗的相似律：

1. 幾何相似：模型與原型的長度比例相同。
2. 雷諾數相似：使模型與原型的慣性力和黏滯力比例相同：
   $\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}$
3. 史特羅赫數相似：渦流脫落頻率需滿足
   $\mathrm{St}=\frac{fD}{V}$

其中 $D$ 為垂直於流向的特徵尺寸。

解題方法

(a) 求模型尺寸與試驗速度

原型與模型的幾何比例為

因此

所以模型尺寸為

原型風速：

原型雷諾數：

模型需滿足 $\mathrm{Re}_m=\mathrm{Re}_p$：

解得

雷諾數 (Reynolds Number, Re) 是流體力學中的一個無因次參數，用於表徵流體慣性力與黏性力之比。

定義：
雷諾數的定義為：
$Re = \frac{\rho V L}{\mu} = \frac{V L}{\nu}$
其中：

• $\rho$ (rho) 是流體的密度 (kg/m³)。
• $V$ 是流體的特徵速度 (m/s)。
• $L$ 是流體的特徵長度 (m)，例如管道的直徑、物體的尺寸等。
• $\mu$ (mu) 是流體的動力黏度 (kg/(m·s) 或 Pa·s)。
• $\nu$ (nu) 是流體的運動黏度 (m²/s)，定義為 $\nu = \mu / \rho$。

物理意義：
雷諾數的物理意義在於它比較了兩種重要力在流體運動中所扮演的角色：

1. 慣性力 ($\propto \rho V^2 L$)：這是由於流體質量的運動慣性所產生的力，它傾向於使流體保持原有的運動狀態。

此題考驗應用伯努利定律和連續性方程式來計算從儲水槽底部小孔流出的水的質量流量。

核心觀念：

1. 伯努利定律：用於計算從 tank 頂部液面到出口處的流體速度。
2. 連續性方程式：用於將速度轉換為流量。
3. 質量流量：定義為單位時間內流過某截面的質量。

解題步驟：

1. 確定流體速度 (v)：
   我們可以將伯努利定律應用於 tank 頂部（點 1）和出口處（點 2）。
   假設：

   • tank 很大，頂部液面高度為 $h = 30$ m，速度 $v_1 \approx 0$。
   • 出口處的高度為 $z_2 = 0$ （作為參考零點）。
   • 出口處的壓力 $P_2 = P_{atm}$（大氣壓力）。
   • tank 頂部液面的壓力 $P_1 = P_{atm}$（假設 tank 頂部與大氣連通）。

   伯努利方程為：
   $P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2$

   代入已知和假設的條件：
   $P_{atm} + \frac{1}{2}\rho (0)^2 + \rho g h = P_{atm} + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g (0)$

   簡化後得到：
   $\rho g h = \frac{1}{2}\rho v_2^2$
   $g h = \frac{1}{2} v_2^2$
   $v_2^2 = 2gh$
   $v_2 = \sqrt{2gh}$

   這就是托里切利定律（Torricelli's Law），出口速度等於自由落體從高度 $h$ 處落下的速度。

   代入數值：
   $g = 9.81$ m/s² (標準重力加速度)
   $h = 30$ m

此題考驗空氣動力學中的阻力計算和功率計算。需要應用阻力公式和功率的定義。

核心觀念：

1. 空氣動力阻力 (Aerodynamic Drag Force)：物體在流體（此處為空氣）中運動時，由於流體與物體表面的摩擦和物體後方的壓力差而產生的阻礙力。
2. 阻力公式：$F_D = \frac{1}{2} \rho V^2 C_D A$
3. 功率 (Power)：做功的速率，即力乘以速度 ($P = F \times V$)。

已知參數：

• 速度 $V = 120$ ft/s
• 阻力係數 $C_D = 0.4$
• 迎風面積 $A = 20$ ft²
• 空氣密度 $\rho = 0.00238$ slug/ft³

單位系統：
此題目使用英制單位（ft, slug, s）。需要注意單位的一致性。

• 1 horsepower (hp) $\approx 550$ ft·lb/s
• 1 ft·lb/s $\approx 1.3558$ W
• 1 hp $\approx 745.7$ W

1) 計算空氣動力阻力 (Aerodynamic Drag Force)

使用阻力公式：$F_D = \frac{1}{2} \rho V^2 C_D A$

代入數值：
$F_D = \frac{1}{2} \times (0.00238 \text{ slug/ft}^3) \times (120 \text{ ft/s})^2 \times (0.4) \times (20 \text{ ft}^2)$
$F_D = \frac{1}{2} \times 0.00238 \times 14400 \times 0.4 \times 20$
$F_D = 0.00119 \times 14400 \times 8$
$F_D = 0.00119 \times 115200$
$F_D = 137.088$ slug·ft/s²