115 年 國立成功大學工程科學系碩士班戊組《流體力學》

核心觀念

本題考察「非定常排水」與「孔口流」：

• 利用三角形截面求水量隨水深 $h$ 的變化。
• 以伯努力方程式求水由縫隙流出的速度，即 Torricelli 定律：
  $v=\sqrt{2gh}.$
• 配合質量守恆：
  $-\frac{dV}{dt}=Q.$

題目未提供流量係數，因此採理想孔口假設 $C_d=1$。

解題方法

設水槽長度為 $L$，縫隙寬度為

$b=2.5\ \text{mm}=0.0025\ \text{m}.$

兩塊木板夾角為 $90^\circ$。水深為 $h$ 時，半側寬為 $h$，故水面寬度為 $2h$，三角形截面積為

$A(h)=\frac{1}{2}(2h)h=h^2.$

因此水量為

$V=Lh^2.$

縱向縫隙的流通面積為 $bL$。由自由液面與縫隙出口間的水頭差為 $h$，且自由液面速度可忽略，出口流速為

$v=\sqrt{2gh}.$

故流量

$Q=bL\sqrt{2gh}.$

套用質量守恆：

$-\frac{dV}{dt}=Q,$

$-2Lh\frac{dh}{dt}=bL\sqrt{2gh}.$

約去水槽長度 $L$：

$-2h\frac{dh}{dt}=b\sqrt{2gh}.$

整理得

核心觀念

本題是「傾斜平板上的定常層流薄膜流」。由於平板寬且很長，忽略側壁效應，速度只沿垂直平板方向 $y$ 改變：

• $x$ 軸沿平板向下。
• $y=0$ 位於平板表面，$y=h$ 位於自由液面。
• 平板無滑移：$u(0)=0$。
• 空氣對自由液面的剪應力可忽略：$\left.\dfrac{du}{dy}\right|_{y=h}=0$。
• 自由液面為大氣壓，且液膜厚度固定，因此 $\dfrac{\partial p}{\partial x}=0$。

沿平板方向的重力分量為 $g\sin\theta$。

解題方法與速度分布推導

因為流況定常、完全發展，且速度僅為 $y$ 的函數，沿 $x$ 方向的動量方程式為

$$0=-\frac{\partial p}{\partial x} +\mu\frac{d^2u}{dy^2} +\rho g\sin\theta$$

代入 $\dfrac{\partial p}{\partial x}=0$，得到

$$\mu\frac{d^2u}{dy^2}+\rho g\sin\theta=0$$

因此

$$\frac{d^2u}{dy^2} =-\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}$$

第一次積分：

$$\frac{du}{dy} =-\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}y+C_1$$

在自由液面 $y=h$ 處，空氣剪應力可忽略：

$$\tau_{xy}(h)=\mu\left.\frac{du}{dy}\right|_{y=h}=0$$

故

$$0=-\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}h+C_1$$ $$C_1=\frac{\rho g h\sin\theta}{\mu}$$

所以

$$\frac{du}{dy} =\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}(h-y)$$

再次積分：

$$u(y)=\frac{\rho g\sin\theta}{\mu} \left(hy-\frac{y^2}{2}\right)+C_2$$

平板表面採用無滑移條件 $u(0)=0$，可得 $C_2=0$。因此速度分布為

核心觀念

本題考查三個觀念：

1. 差壓水銀壓力計。
2. 伯努力方程式與管流損失水頭。
3. 穩態控制體動量方程式，求管壁對流體的軸向作用力。

由圖得：

• 管徑 $D=0.15\ \text{m}$
• 兩截面沿管長距離 $L=1.5\ \text{m}$
• 管道傾角 $30^\circ$
• 水銀比重 $SG=13.6$
• 水銀液面高差 $h_m=0.15\ \text{m}$

截面 1 高於截面 2 的垂直距離為

$$z_1-z_2=L\sin30^\circ =1.5(0.5)=0.75\ \text{m}$$

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(a) 壓力差 $p_1-p_2$

對水—水銀差壓計，由壓力平衡：

$$p_1-p_2 =\rho_w g(z_2-z_1)+(\rho_{Hg}-\rho_w)gh_m$$

其中

$$\rho_w=1000\ \text{kg/m}^3, \qquad \rho_{Hg}=13.6\rho_w=13600\ \text{kg/m}^3$$

代入：

$$p_1-p_2 =1000(9.81)(-0.75) +(13600-1000)(9.81)(0.15)$$ $$p_1-p_2=1.116\times10^4\ \text{Pa}$$

因此

$$\boxed{p_1-p_2=11.2\ \text{kPa}}$$

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(b) 截面 1 至截面 2 的能量損失

兩截面管徑相同，因此

$$V_1=V_2$$

伯努力方程式包含損失水頭 $h_L$：

$$\frac{p_1}{\rho g}+z_1+\frac{V_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\rho g}+z_2+\frac{V_2^2}{2g}+h_L$$

因為速度相同，動能項抵消：

$$h_L=\frac{p_1-p_2}{\rho_w g}+z_1-z_2$$ $$h_L =\frac{11160}{1000(9.81)}+0.75 =1.887\ \text{m}$$

亦可直接由差壓計得到：

$$h_L=(SG-1)h_m=(13.6-1)(0.15)=1.89\ \text{m}$$

所以