115 年 國立成功大學工程科學系碩士班戊組《熱力學》

核心觀念

本題考查：

1. 電阻加熱器的電功輸入：
   $W_{\mathrm{elec,in}}=VIt$
2. 定壓封閉系統第一定律。
3. 飽和蒸汽表與過熱蒸汽表的查表。
4. $P-v$ 圖上定壓加熱過程的判讀。

假設忽略動能、位能與其他形式的功，系統只有邊界功與電功輸入。

解題方法

已知

$m=25\text{ g}=0.025\text{ kg}$

$V=120\text{ V},\qquad I=0.2\text{ A},\qquad \Delta t=5\times60=300\text{ s}$

（1）電阻加熱器輸入功

電功輸入為

$$W_{\mathrm{elec,in}}=VIt =(120)(0.2)(300) =7200\text{ J} =7.2\text{ kJ}$$

因此

$\boxed{W_{\mathrm{elec,in}}=7.2\text{ kJ}}$

（2）最終焓

熱損失 $3.7\text{ kJ}$，因此對系統而言

$Q=-3.7\text{ kJ}$

定壓封閉系統能量平衡式為

$$\Delta U=Q+W_{\mathrm{elec,in}}-W_b$$

定壓下邊界功為

$$W_b=P(V_2-V_1)$$

整理成焓的形式：

$$m(h_2-h_1)=Q+W_{\mathrm{elec,in}}$$

代入數值：

$$m(h_2-h_1)=-3.7+7.2=3.5\text{ kJ}$$

因此

$$h_2-h_1=\frac{3.5}{0.025}=140\text{ kJ/kg}$$

初態為 $300\text{ kPa}$ 的飽和水蒸氣，由飽和蒸汽表：

$$h_1=h_g(300\text{ kPa})\approx2725\text{ kJ/kg}$$

所以

$$h_2\approx2725+140=2865\text{ kJ/kg}$$

因此

$\boxed{h_2\approx2865\text{ kJ/kg}}$

（3）最終溫度

在 $P=300\text{ kPa}$、$h_2\approx2865\text{ kJ/kg}$ 的過熱蒸汽表中，查得

$$T_2\approx200^\circ\text{C}$$

因此

$\boxed{T_2=200^\circ\text{C}}$

（4）$P-v$ 圖上的過程

初態為 $300\text{ kPa}$ 的飽和水蒸氣，位於飽和穹頂右側的飽和蒸氣線上。加熱器輸入的電能扣除熱損失後仍為正值，因此焓增加，體積也增加。

過程為定壓向右移動，最終進入過熱蒸汽區：

P
↑
│                  飽和穹頂
│                     /\
│                    /  \
│                   /    ●  飽和蒸氣線
│  P = 300 kPa  ───●1──────→────●2
│                         過熱蒸汽區
│
└────────────────────────────────→ v

其中

核心觀念

本題考查定壓冷卻過程中：

• 比容變化：
  $\Delta V=m(v_2-v_1)$
• 總內能變化：
  $\Delta U=m(u_2-u_1)$
• R-134a 在定壓冷卻時，若通過飽和區，溫度會維持在該壓力的飽和溫度。
• 在 $P=0.8\ \text{MPa}$ 下，R-134a 的飽和溫度約為
  $T_{\rm sat}\approx31^\circ\text{C}$

初態 $T_1=95^\circ\text{C}>T_{\rm sat}$，為過熱蒸氣；末態 $T_2=25^\circ\text{C}<T_{\rm sat}$，為壓縮液。

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解題方法

由 R-134a 性質表查得：

初態：$P_1=0.8\ \text{MPa}$、$T_1=95^\circ\text{C}$

$v_1\approx0.0348\ \text{m}^3/\text{kg}$

$u_1\approx313.5\ \text{kJ/kg}$

末態為 $P_2=0.8\ \text{MPa}$、$T_2=25^\circ\text{C}$ 的壓縮液。壓縮液可近似使用同溫度飽和液的性質：

$v_2\approx v_f(25^\circ\text{C})\approx0.00084\ \text{m}^3/\text{kg}$

$u_2\approx u_f(25^\circ\text{C})\approx99.0\ \text{kJ/kg}$

（1）體積變化

$$\Delta V=m(v_2-v_1)$$ $$\Delta V=10(0.00084-0.0348)$$ $$\Delta V\approx-0.340\ \text{m}^3$$

因此：

$\boxed{\Delta V\approx-0.34\ \text{m}^3}$

（2）總內能變化

$$\Delta U=m(u_2-u_1)$$ $$\Delta U=10(99.0-313.7)$$ $$\Delta U\approx-2147\ \text{kJ}$$

因此：

$\boxed{\Delta U\approx-2147\ \text{kJ}}$

負號表示冷卻過程中系統內能降低。

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（3）$T-v$ 圖上的過程

過程可分為三段：

1. 初態位於飽和穹丘右側的過熱蒸氣區，$T_1=95^\circ\text{C}$。
2. 定壓冷卻至飽和蒸氣線，溫度降至 $T_{\rm sat}\approx31^\circ\text{C}$。
3. 通過兩相區時，因壓力固定，溫度維持約 $31^\circ\text{C}$，體積由右向左大幅減少。

核心觀念

本題考查穩態流動能量方程式，以及飽和液—汽混合物的比焓：

$$h=h_f+xh_{fg}$$

冷凝器內無軸功、忽略動能與位能變化，因此冷卻水吸收的熱量等於 R-134a 放出的熱量。題目已給 R-134a 的熱損失為 $100\ \text{kW}$，故

$$\dot Q_{\text{water}}=100\ \text{kW}$$

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解題方法

（1）冷卻水質量流率

冷卻水入口為 $10\ \text{kPa}$、$40^\circ\text{C}$。此時水為壓縮液體，可近似使用相同溫度下飽和液體的比焓：

$$h_1\approx h_f(40^\circ\text{C})=167.5\ \text{kJ/kg}$$

出口為 $10\ \text{kPa}$、乾度 $x=0.3$ 的飽和液—汽混合物。由水蒸氣表，在 $10\ \text{kPa}$：

$$h_f=191.8\ \text{kJ/kg},\qquad h_{fg}\approx2392.1\ \text{kJ/kg}$$

因此出口比焓為

$$h_2=h_f+xh_{fg}$$ $$h_2=191.8+0.3(2392.1) \approx909.4\ \text{kJ/kg}$$

冷卻水的能量平衡為

$$\dot Q_{\text{water}} =\dot m_w(h_2-h_1)$$

代入：

$$100=\dot m_w(909.4-167.5)$$ $$\dot m_w=\frac{100}{741.9} \approx0.135\ \text{kg/s}$$

因此最接近的選項為

$$\boxed{\dot m_w\approx0.14\ \text{kg/s}}$$

答案為 （f）。

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（2）R-134a 傳給水的熱傳率

題目已給 R-134a 在冷凝器中的熱損失為 $100\ \text{kW}$。在忽略其他熱損失的條件下，這些熱量全部由冷卻水吸收：

$$\boxed{\dot Q_{\text{R-134a}\to w}=100\ \text{kW}}$$

答案為 （e）。

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選項分析

（1）冷卻水質量流率

核心觀念

本題考查穩定流壓縮機的等熵壓縮：

• 等熵過程：$s_2=s_1$
• 忽略動能、位能變化且壓縮機近似絕熱時：

$$w_{\mathrm{in}}=h_2-h_1$$

對飽和液體，因比容變化很小，可視為不可壓縮流體：

$$w_{\mathrm{in}}\approx v_f(P_2-P_1)$$

已知：

$$P_1=50\ \mathrm{kPa},\qquad P_2=1.2\ \mathrm{MPa}=1200\ \mathrm{kPa}$$

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（1）入口為飽和液體

在 $50\ \mathrm{kPa}$ 飽和液體狀態：

$$v_f\approx 0.001012\ \mathrm{m^3/kg}$$

因此壓縮機單位質量輸入功為：

$$w_{\mathrm{in}} \approx v_f(P_2-P_1)$$ $$=0.001012(1200-50)$$ $$\approx 1.16\ \mathrm{kJ/kg}$$

取蒸汽表較精確計算後約為：

$$w_{\mathrm{in}}\approx 1.2\ \mathrm{kJ/kg}$$

選項分析

• （a）$1.0\ \mathrm{kJ/kg}$：錯，低於計算值約 $1.16\ \mathrm{kJ/kg}$。
• （b）$1.2\ \mathrm{kJ/kg}$：正確。
• （c）$1.4\ \mathrm{kJ/kg}$：錯，高於不可壓縮液體估算值。
• （d）$1.6\ \mathrm{kJ/kg}$：錯，明顯過大。
• （e）$1.8\ \mathrm{kJ/kg}$：錯，明顯過大。
• （f）$2.0\ \mathrm{kJ/kg}$：錯，明顯過大。

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（2）入口為飽和蒸氣

在 $50\ \mathrm{kPa}$ 飽和蒸氣狀態，蒸汽表給得：

$$h_1=h_g\approx 2646\ \mathrm{kJ/kg}$$

核心觀念

本題考查簡單理想 Rankine cycle：

• $1\to2$：理想泵浦，液態水由 $75\ \text{kPa}$ 壓升至 $3\ \text{MPa}$
• $2\to3$：定壓吸熱，鍋爐出口為 $3\ \text{MPa},\ 350^\circ\text{C}$
• $3\to4$：理想渦輪，等熵膨脹至 $75\ \text{kPa}$
• $4\to1$：定壓凝結

所需關係式為

$$w_{\text{pump,in}}\simeq v_f(P_2-P_1)$$ $$s_4=s_3$$ $$x_4=\frac{s_4-s_f}{s_{fg}}$$ $$h_4=h_f+x_4h_{fg}$$

循環熱效率為

$$\eta_{\text{th}} =\frac{w_{\text{net}}}{q_{\text{in}}} =\frac{(h_3-h_4)-w_{\text{pump,in}}}{h_3-h_2}$$

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解題方法

由蒸汽表查得：

狀態 1：$75\ \text{kPa}$ 飽和液體

$$v_1=v_f\simeq 0.001037\ \text{m}^3/\text{kg}$$ $$h_1=h_f\simeq 384.4\ \text{kJ/kg}$$ $$s_f\simeq 1.213\ \text{kJ/(kg·K)}$$ $$h_{fg}\simeq 2278\ \text{kJ/kg},\qquad s_{fg}\simeq 6.24\ \text{kJ/(kg·K)}$$

狀態 3：$3\ \text{MPa},\ 350^\circ\text{C}$ 過熱蒸汽

$$h_3\simeq 3116\ \text{kJ/kg}$$ $$s_3\simeq 6.745\ \text{kJ/(kg·K)}$$

（1）泵浦功

$$P_1=75\ \text{kPa},\qquad P_2=3000\ \text{kPa}$$ $$w_{\text{pump,in}} \simeq v_1(P_2-P_1)$$ $$=0.001037(3000-75) \simeq 3.03\ \text{kJ/kg}$$

因此

$$\boxed{w_{\text{pump,in}}\simeq 3.0\ \text{kJ/kg}}$$

選擇 （a）。

（2）狀態 4 的焓 $h_4$

渦輪為理想等熵膨脹，因此

$$s_4=s_3=6.745\ \text{kJ/(kg·K)}$$

在 $75\ \text{kPa}$ 下，狀態 4 位於飽和液體與飽和蒸汽之間，因此為濕蒸汽。其乾度為

$$x_4=\frac{s_4-s_f}{s_{fg}} =\frac{6.745-1.213}{6.24} \simeq 0.886$$

故

$$h_4=h_f+x_4h_{fg}$$ $$h_4 =384.4+0.886(2278) \simeq 2403\ \text{kJ/kg}$$

因此

$$\boxed{h_4\simeq 2403\ \text{kJ/kg}}$$

選擇 （c）。

（3）循環熱效率

理想泵浦出口焓為

$$h_2\simeq h_1+w_{\text{pump,in}} =384.4+3.03 \simeq 387.4\ \text{kJ/kg}$$

渦輪輸出功：

$$w_{\text{turb,out}}=h_3-h_4 =3116-2403 \simeq 713\ \text{kJ/kg}$$

鍋爐輸入熱量：

$$q_{\text{in}}=h_3-h_2 =3116-387.4 \simeq 2728.6\ \text{kJ/kg}$$

循環淨功：

$$w_{\text{net}} =w_{\text{turb,out}}-w_{\text{pump,in}} =713-3.03 \simeq 710\ \text{kJ/kg}$$

因此