114 年 國立成功大學工程科學系碩士班戊組《熱力學》

核心觀念

本題考查：

• 剛性槽的總容積固定。
• 隔板將槽分成兩個相等體積。
• 初始水為 $35^\circ\text{C}$、$300\text{ kPa}$ 的壓縮液，可近似使用同溫度飽和液體的比容。
• 質量、比容與體積的關係為

$$V=mv$$

解題方法

初始時，水占據剛性槽的一半。查水蒸氣表，在 $35^\circ\text{C}$ 時，液態水的比容約為

$$v \approx v_f(35^\circ\text{C})\approx 0.001006\ \text{m}^3/\text{kg}$$

因此，水初始所占的半槽體積為

$$V_1=mv$$ $$V_1=(10)(0.001006) =0.01006\ \text{m}^3$$

由於隔板將槽分成兩個相等部分，整個槽的體積為初始水所占體積的兩倍：

$$V_{\text{tank}}=2V_1$$ $$V_{\text{tank}}=2(0.01006) =0.02012\ \text{m}^3$$

取選項最接近值：

$$V_{\text{tank}}\approx 0.02\ \text{m}^3$$

題目後續的自由膨脹與重新恢復至 $35^\circ\text{C}$，不影響剛性槽的幾何總容積，因此本小題只需利用初始狀態求體積。

核心觀念

本題利用：

1. 剛性容器總體積不變，但隔板移除後，水可占據原來的兩倍體積。
2. 封閉系統質量不變，因此比體積可由
   $v=\frac{V}{m}$
   判定。
3. 最終溫度為 $35^\circ\text{C}$。若最終狀態落在液汽兩相區，壓力即為 $35^\circ\text{C}$ 的飽和壓力。

解題方法

初始水為 $300\text{ kPa}$、$35^\circ\text{C}$ 的壓縮液。液態水的比體積可近似取飽和液體值：

$$v_1\approx v_f(35^\circ\text{C})\approx 0.001006\ \text{m}^3/\text{kg}$$

隔板將容器分成兩個等體積部分，初始水只占其中一半。隔板移除後，水占據整個容器，因此最終比體積為初始值的兩倍：

$$v_2=2v_1$$ $$v_2\approx 2(0.001006) =0.002012\ \text{m}^3/\text{kg}$$

在 $35^\circ\text{C}$ 下，飽和蒸氣的比體積約為

$$v_g\approx 31.3\ \text{m}^3/\text{kg}$$

因此：

$$v_f<v_2<v_g$$

最終狀態位於 $35^\circ\text{C}$ 的液汽兩相區，故其壓力等於該溫度下的飽和壓力：

核心觀念

把整個剛性水槽中的水視為封閉系統。水槽剛性，因此邊界功 $W=0$；忽略動能與位能變化，能量平衡為

$$Q-W=\Delta U \quad\Longrightarrow\quad Q=m(u_2-u_1)$$

其中 $Q>0$ 代表熱量傳入水。

解題方法

初態為 $35^\circ\mathrm{C}$、$300\ \mathrm{kPa}$ 的壓縮液態水。壓縮液近似採用同溫飽和液體性質：

$$v_1\approx v_f=0.001006\ \mathrm{m^3/kg}, \qquad u_1\approx u_f$$

隔板把水槽分成兩個等體積部分，移除隔板後，水可用體積加倍，因此

$$v_2=2v_1\approx0.002012\ \mathrm{m^3/kg}$$

最後溫度回到 $35^\circ\mathrm{C}$。此時水處於飽和液汽混合區，依 $35^\circ\mathrm{C}$ 飽和水表取 $v_g\approx25.205\ \mathrm{m^3/kg}$、$u_{fg}\approx2276.0\ \mathrm{kJ/kg}$。末態乾度為

核心觀念

本題考查：

• 剛性槽：總體積固定，因此最終比體積為初始比體積的 2 倍。
• 隔板移除後向真空自由膨脹：沒有邊界功，且若暫不與外界交換熱量，則 $Q=W=0$，所以內能不變。
• 最終溫度回到 $35^\circ\text{C}$，需利用 $35^\circ\text{C}$ 的飽和水性質判斷最終狀態位於飽和圓頂何處。

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狀態 1：初始狀態

初始壓力為 $300\text{ kPa}$，溫度為 $35^\circ\text{C}$。

在 $300\text{ kPa}$ 下，水的飽和溫度約為 $133.5^\circ\text{C}$，因此

$$T_1<T_{\text{sat}}(300\text{ kPa})$$

狀態 1 為過冷液體（壓縮液），位於 $P$-$v$ 圖飽和圓頂左側。

其比體積可近似取為 $35^\circ\text{C}$ 飽和液體比體積：

$$v_1\approx v_f(35^\circ\text{C}) \approx 0.001006\text{ m}^3/\text{kg}$$

原先水只佔剛性槽的一半，因此整個槽的比體積為

$$v_2=2v_1 \approx 0.002012\text{ m}^3/\text{kg}$$

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狀態 2：最終狀態

最終溫度仍為 $35^\circ\text{C}$，故最終壓力若位於兩相區，等於該溫度的飽和壓力：

$$P_2=P_{\text{sat}}(35^\circ\text{C}) \approx 5.63\text{ kPa}$$

在 $35^\circ\text{C}$ 時，

$$v_f\approx 0.001006\text{ m}^3/\text{kg}$$

而飽和蒸氣比體積約為

$$v_g\approx 25\text{ m}^3/\text{kg}$$

因為

$$v_f<v_2<v_g$$

所以最終狀態位於飽和兩相區，且由於 $v_2$ 非常接近 $v_f$，狀態 2 位於飽和液線右側、非常靠近飽和液線的位置。

其乾度約為

$$x_2=\frac{v_2-v_f}{v_g-v_f}$$

代入數值：

$$x_2\approx \frac{0.002012-0.001006}{25-0.001006} \approx 4.0\times10^{-5}$$

因此最終幾乎是飽和液體，但含有極少量水蒸氣。

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$P$-$v$ 圖上的過程

過程可分成兩段：

1. 隔板移除：自由膨脹

核心觀念

蒸發器吸收的熱量來自地熱水，因此先由地熱水放出的熱量求得蒸發器熱負荷，再利用冷媒在蒸發器內的焓升計算質量流率。

地熱水放熱量：

$$\dot Q_L=\dot m_w c_p(T_{\text{in}}-T_{\text{out}})$$

冷媒由品質 $x_1=0.2$ 的濕蒸氣狀態，蒸發至同壓下的飽和蒸氣，因此：

$$h_1=h_f+x_1h_{fg}$$ $$h_2=h_g=h_f+h_{fg}$$

冷媒焓升為：

$$h_2-h_1=(1-x_1)h_{fg}=0.8h_{fg}$$

解題方法

地熱水的質量流率為 $0.1\ \text{kg/s}$，取水的比熱：

$$c_p \approx 4.18\ \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$$

地熱水由 $60^\circ\text{C}$ 冷卻至 $40^\circ\text{C}$，故蒸發器吸熱率為：

$$\dot Q_L =(0.1)(4.18)(60-40)$$ $$\dot Q_L=8.36\ \text{kW}$$

在 $12.5^\circ\text{C}$ 飽和壓力下，R-134a 的飽和液汽化潛熱約為：

$$h_{fg}\approx 190\ \text{kJ/kg}$$

冷媒每公斤在蒸發器中吸收的熱量為：

$$h_2-h_1=0.8(190)=152\ \text{kJ/kg}$$

蒸發器能量平衡：

$$\dot Q_L=\dot m_R(h_2-h_1)$$

因此：

核心觀念

熱泵遵守穩態能量平衡：

$$\dot Q_H=\dot Q_L+\dot W_{\text{in}}$$

其中：

• $\dot Q_L$：蒸發器自地熱水吸收的熱量
• $\dot W_{\text{in}}$：壓縮機輸入功率
• $\dot Q_H$：冷凝器供給室內空間的熱量

解題方法

地熱水放出的熱量即為熱泵蒸發器吸收的熱量：

$$\dot Q_L=\dot m_w c_p(T_{\text{in}}-T_{\text{out}})$$

取水的比熱 $c_p \approx 4.18\ \text{kJ/(kg·K)}$，代入

$$\dot Q_L =(0.1)(4.18)(60-40)$$ $$\dot Q_L=8.36\ \text{kW}$$

因此熱泵供給室內的熱量為

$$\dot Q_H=\dot Q_L+\dot W_{\text{in}} =8.36+1.5 =9.86\ \text{kW}$$

取接近的選項：

核心觀念

熱泵的性能係數定義為供給室內的熱量除以壓縮機輸入功率：

$$\mathrm{COP}_{\mathrm{HP}}=\frac{\dot Q_H}{\dot W_{\mathrm{in}}}$$

穩態熱泵的能量平衡為：

$$\dot Q_H=\dot Q_L+\dot W_{\mathrm{in}}$$

其中，$\dot Q_L$ 是熱泵從地熱水吸收的熱量，$\dot Q_H$ 是熱泵供給室內的熱量。

解題方法

先用地熱水的質量流率、比熱與降溫幅度求出熱泵吸收的熱量：

$$\dot Q_L=\dot m_w c_p(T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}})$$

取水的比熱 $c_p=4.18\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$，代入題目數據：

$$\dot Q_L=(0.1)(4.18)(60-40)=8.36\ \mathrm{kW}$$

因此，熱泵供給室內的熱量為：

$$\dot Q_H=8.36+1.5=9.86\ \mathrm{kW}$$

核心觀念

本題利用熱泵能量平衡與卡諾熱泵的最大性能係數：

$$\dot Q_H=\dot Q_L+\dot W_{\mathrm{in}}$$

其中：

• $\dot Q_L$：蒸發器吸收的熱量
• $\dot Q_H$：冷凝器供給空間的熱量
• $\dot W_{\mathrm{in}}$：壓縮機輸入功率

最低壓縮機功率代表熱泵以可逆卡諾循環運轉，此時性能最佳。

解題方法

1. 計算蒸發器吸熱率

地熱水由 $60^\circ\text{C}$ 冷卻至 $40^\circ\text{C}$，因此：

$$\dot Q_L = \dot m_w c_p(T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}})$$

取水的比熱 $c_p=4.18\ \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$：

$$\dot Q_L = (0.1)(4.18)(60-40) = 8.36\ \text{kW}$$

2. 計算實際熱泵的供熱率

已知壓縮機功率為 $1.5\ \text{kW}$，由穩態能量平衡：

$$\dot Q_H=\dot Q_L+\dot W_{\mathrm{in}}$$ $$\dot Q_H=8.36+1.5=9.86\ \text{kW}$$

因此，相同供熱率為約 $9.9\ \text{kW}$。

3. 計算最低壓縮機功率

最低功率以可逆卡諾熱泵估算。依題目給定的高、低溫熱源條件：

$$T_H=60+273.15=333.15\ \text{K}$$ $$T_L=25+273.15=298.15\ \text{K}$$

卡諾熱泵性能係數為：

核心觀念

本題考查開放系統的流動功（flow work）。流體進入控制體時，供應管線上游流體必須克服壓力推力，因此單位質量的流動功為

$$w_{\text{flow}}=Pv$$

對理想氣體而言，

$$Pv=RT$$

所以

$$w_{\text{flow}}=RT$$

計算時應使用供應管線中氦氣的狀態：$T=120^\circ\text{C}$。

解題方法

將溫度換算為絕對溫度：

$$T=120+273.15=393.15\text{ K}$$

氦氣的比氣體常數為

$$R=2.0769\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$$

因此單位質量流動功為

$$w_{\text{flow}}=RT$$ $$w_{\text{flow}} =(2.0769)(393.15) =816.5\text{ kJ/kg}$$

取最接近的選項：

核心觀念

本題考查「剛性絕熱槽充填氣體」的非定常能量平衡。

系統特性：

• 剛性槽：體積固定，因此無邊界功。
• 絕熱：$Q=0$。
• 初始真空：初始槽內質量與內能皆為零。
• 入口 helium 狀態：$T_{\mathrm{in}}=120^\circ\mathrm{C}=393.15\ \mathrm{K}$。
• 氦氣可視為理想氣體，且 $C_p、C_v$ 為常數。

解題方法

對剛性絕熱槽套用非定常流動能量方程：

$$Q-W+\sum m_{\mathrm{in}}h_{\mathrm{in}} = \Delta U+\sum m_{\mathrm{out}}h_{\mathrm{out}}$$

本題沒有出口，且 $Q=0$、$W=0$，所以

$$m_{\mathrm{in}}h_{\mathrm{in}}=m_2u_2$$

因為初始為真空，$U_1=0$。對理想氣體：

$$h_{\mathrm{in}}=C_pT_{\mathrm{in}}$$ $$u_2=C_vT_2$$

因此

$$m_2C_vT_2=m_2C_pT_{\mathrm{in}}$$

消去質量 $m_2$：

$$T_2=\frac{C_p}{C_v}T_{\mathrm{in}}$$

代入數值：

核心觀念

汽輪機等熵效率定義為實際軸功與相同入口狀態、相同出口壓力下等熵膨脹所能產生的理想軸功之比：

$$\eta_t=\frac{w_{\text{實際}}}{w_s}$$

題目指出汽輪機每公斤蒸汽散熱 $50\text{ kJ}$，因此能量平衡求實際軸功時，必須扣除這項熱損失。

解題方法

忽略動能與位能變化。由過熱水蒸氣表，在 $3\text{ MPa}$ 下對 $400^\circ\text{C}$ 與 $450^\circ\text{C}$ 的數值線性內插，得入口性質：

$$h_1\approx 3288.3\text{ kJ/kg},\qquad s_1\approx 7.0046\text{ kJ/(kg·K)}$$

實際出口狀態為 $50\text{ kPa}$、$125^\circ\text{C}$。同樣由過熱表內插得：

$$h_2\approx 2729.1\text{ kJ/kg}$$

穩流能量方程中，熱損失為 $q=-50\text{ kJ/kg}$，故實際軸功為：

$$w_{\text{實際}}=h_1-h_2+q =3288.3-2729.1-50 =509.2\text{ kJ/kg}$$

接著求理想等熵出口狀態：$s_{2s}=s_1$，且 $P_{2s}=50\text{ kPa}$。此壓力下的飽和水性質為 $s_f=1.0912$、$s_{fg}=6.5019$、$h_f=340.54\text{ kJ/kg}$、$h_{fg}=2304.7\text{ kJ/kg}$。由於 $s_f<s_1<s_g$，理想出口位於濕蒸氣區，乾度為：

核心觀念

本題考查穩定流動渦輪的第一定律。渦輪每公斤蒸汽的能量平衡為

$$q-w_{\text{out}}=h_2-h_1$$

其中：

• $q$：每公斤蒸汽的熱傳，散熱時為負值。
• $w_{\text{out}}$：渦輪輸出的軸功。
• $h_1,h_2$：入口與出口比焓。

忽略動能與位能變化，且渦輪熱損失為 $50\ \text{kJ/kg}$，因此

$$q=-50\ \text{kJ/kg}$$

解題方法

入口狀態為 $P_1=3\ \text{MPa}$、$T_1=425^\circ\text{C}$。由過熱水蒸氣表：

$$h_{400^\circ\text{C}}=3231.7\ \text{kJ/kg}$$ $$h_{450^\circ\text{C}}=3344.9\ \text{kJ/kg}$$

線性內插得

$$h_1 =3231.7+ \frac{425-400}{450-400}(3344.9-3231.7)$$ $$h_1=3288.3\ \text{kJ/kg}$$

出口狀態為 $P_2=50\ \text{kPa}$、$T_2=125^\circ\text{C}$。由表中：

$$h_{100^\circ\text{C}}=2682.4\ \text{kJ/kg}$$ $$h_{150^\circ\text{C}}=2780.2\ \text{kJ/kg}$$

內插得

核心觀念

本題考查理想蒸氣壓縮冷凍循環中，蒸發器的單位質量吸熱量：

$$q_L=h_1-h_4$$

其中：

• 狀態 1：低壓側飽和蒸氣，$P_1=0.14\text{ MPa}$
• 狀態 3：高壓側飽和液體，$P_3=0.8\text{ MPa}$
• 狀態 4：經節流閥後，因為節流過程為等焓過程，所以 $h_4=h_3$

冷凍空間的熱移除率為：

$$\dot Q_L=\dot m q_L=\dot m(h_1-h_4)$$

解題方法

由 R-134a 飽和性質表查得：

$$P_1=0.14\text{ MPa},\quad h_1\approx 239\text{ kJ/kg}$$ $$P_3=0.8\text{ MPa},\quad h_3\approx 95\text{ kJ/kg}$$

節流閥為等焓過程：

$$h_4=h_3\approx 95\text{ kJ/kg}$$

因此，蒸發器中每公斤冷媒吸收的熱量為：

$$q_L=h_1-h_4$$ $$q_L\approx 239-95=144\text{ kJ/kg}$$

已知冷媒質量流率為：

$$\dot m=0.05\text{ kg/s}$$

所以熱移除率：

核心觀念

理想蒸氣壓縮冷凍循環中，壓縮機入口狀態 $1$ 為低壓側的飽和蒸氣，壓縮過程 $1\to2$ 為等熵壓縮。因此：

$$s_2=s_1$$

穩定流壓縮機的功率輸入為：

$$\dot W_{\mathrm{in}}=\dot m(h_2-h_1)$$

其中 $\dot m=0.05\ \text{kg/s}$。

解題方法

低壓側為 $P_1=0.14\ \text{MPa}$。由 R-134a 飽和表查得狀態 $1$（飽和蒸氣）約為：

$$h_1\approx237.5\ \text{kJ/kg},\qquad s_1\approx0.936\ \text{kJ/(kg·K)}$$

壓縮至 $P_2=0.8\ \text{MPa}$，且為等熵壓縮，所以：

$$s_2=s_1\approx0.936\ \text{kJ/(kg·K)}$$

由題目附圖中的 $0.8\ \text{MPa}$ 過熱 R-134a 表：

$$\begin{array}{c|c|c} T\ (^\circ\text{C}) & h\ (\text{kJ/kg}) & s\ (\text{kJ/(kg·K)})\\ \hline 31.31\ (\text{飽和蒸氣}) & 267.34 & 0.9185\\ 40 & 276.40 & 0.9481 \end{array}$$

在 $s_2=0.936$ 進行線性內插，可得：

核心觀念

理想蒸氣壓縮冷凍循環中，冷媒在冷凝器放出的熱量為

$$\dot Q_H=\dot m(h_2-h_3)$$

其中狀態 2 是壓縮機出口，狀態 3 是冷凝器出口。理想循環假設壓縮過程等熵，且冷凝器出口為飽和液體。

解題方法

由圖與題幹可判定，狀態 1 為 $0.14\text{ MPa}$ 的飽和蒸氣，經等熵壓縮至 $0.8\text{ MPa}$；狀態 3 為 $0.8\text{ MPa}$ 的飽和液體。查表得：

$$h_1=239.19\ \text{kJ/kg},\qquad s_1=0.94467\ \text{kJ/(kg·K)}$$

等熵壓縮使 $s_2=s_1$。在 $0.8\text{ MPa}$ 的過熱冷媒表中，飽和蒸氣的 $s=0.9185$、$h=267.34\ \text{kJ/kg}$；$40^\circ\text{C}$ 時 $s=0.9481$、$h=276.46\ \text{kJ/kg}$。對熵值線性內插：

核心觀念

理想蒸氣壓縮冷凍循環包含：

• 1→2：壓縮機內等熵壓縮，$s_2=s_1$
• 2→3：冷凝器等壓放熱
• 3→4：膨脹閥節流，等焓膨脹，$h_4=h_3$
• 4→1：蒸發器等壓吸熱

冷凍機性能係數定義為

$$\mathrm{COP_R}=\frac{q_L}{w_{\mathrm{in}}} =\frac{h_1-h_4}{h_2-h_1}$$

其中質量流率 $0.05\ \mathrm{kg/s}$ 對 COP 計算會相消，因此不必使用。

解題方法

由題圖，狀態 1 為 $0.14\ \mathrm{MPa}$ 下的飽和蒸氣。查 R-134a 飽和表得

$$h_1\approx 239.2\ \mathrm{kJ/kg}, \qquad s_1\approx 0.94\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

狀態 1→2 為等熵壓縮，因此

$$s_2=s_1$$

在 $P_2=0.8\ \mathrm{MPa}$ 的過熱 R-134a 表中，以 $s_2=s_1$ 插值，可得

$$h_2\approx 275.5\ \mathrm{kJ/kg}$$

狀態 3 為 $0.8\ \mathrm{MPa}$ 下的飽和液體，查表得

$$h_3\approx 95.5\ \mathrm{kJ/kg}$$

膨脹閥為節流過程，所以

$$h_4=h_3\approx 95.5\ \mathrm{kJ/kg}$$

蒸發器的單位質量吸熱量為