115 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班甲組《熱力學》

此題考驗對史特靈循環 (Stirling cycle) 的熱效率計算。史特靈循環是一個熱機循環，由四個過程組成：等溫壓縮、等容加熱、等溫膨脹、等容冷卻。當加入回熱器 (regenerator) 後，等容過程中的熱傳可以在內部進行交換，理論上可以達到卡諾效率。

首先，我們需要定義史特靈循環的各個狀態點。假設循環由以下四個過程組成：

1. 等溫壓縮 (Isothermal compression): 狀態 1 $\rightarrow$ 狀態 2
2. 等容加熱 (Isochoric heating) with regenerator: 狀態 2 $\rightarrow$ 狀態 3
3. 等溫膨脹 (Isothermal expansion): 狀態 3 $\rightarrow$ 狀態 4
4. 等容冷卻 (Isochoric cooling) with regenerator: 狀態 4 $\rightarrow$ 狀態 1

已知條件：

• 狀態 1 之前：$P_1 = 100 \, \text{kPa}$, $T_1 = 25^\circ\text{C} = 298.15 \, \text{K}$
• 壓縮比 (Compression ratio): $r = V_3 / V_2 = V_4 / V_1 = 6$
• 最高溫度: $T_{max} = T_3 = T_4 = 1100^\circ\text{C} = 1373.15 \, \text{K}$

對於理想氣體，史特靈循環的熱效率 $\eta$ 由以下公式給出：
$\eta = 1 - \frac{T_{low}}{T_{high}}$
其中 $T_{low}$ 是低溫熱源的溫度，$T_{high}$ 是高溫熱源的溫度。

在史特靈循環中，等溫壓縮發生在低溫熱源，等溫膨脹發生在高溫熱源。因此，
$T_{low} = T_1 = T_2 = 25^\circ\text{C} = 298.15 \, \text{K}$
$T_{high} = T_3 = T_4 = 1100^\circ\text{C} = 1373.15 \, \text{K}$

當循環中包含回熱器時，等容加熱和等容冷卻過程中的熱交換是理想化的，使得這些過程的熱量傳遞不影響整體效率的計算。理論上，帶有回熱器的史特靈循環的熱效率可以達到卡諾效率。

此題考驗對理想氣體在等溫過程 (isothermal process) 中，內能 (internal energy, $U$)、焓 (enthalpy, $H$) 和熵 (entropy, $S$) 的變化量的理解。

核心觀念：
對於理想氣體，其內能和焓僅僅是溫度的函數，而與壓力或體積無關。熵則與溫度、壓力、體積都有關。

1. 內能變化 ($\Delta U$)：
理想氣體的內能只與溫度有關。對於任何過程，內能的變化量 $\Delta U$ 可以表示為：
$\Delta U = m c_v \Delta T$
或者，對於摩爾數為 $n$ 的理想氣體：
$\Delta U = n \bar{c}_v \Delta T$
其中 $m$ 是質量，$c_v$ 是定容比熱，$n$ 是摩爾數，$\bar{c}_v$ 是定容摩爾熱容，$\Delta T$ 是溫度變化量。

在等溫過程中，溫度不變，即 $\Delta T = 0$。
因此，對於理想氣體，在等溫過程中，內能的變化量為零：
$\Delta U = m c_v (0) = 0$
$\Delta U = n \bar{c}_v (0) = 0$
【答案】 $\Delta U = 0$

2. 焓變化 ($\Delta H$)：
理想氣體的焓定義為 $H = U + PV$。對於理想氣體，我們可以將其寫成 $H = U + nRT$。
由於 $U$ 僅是溫度的函數，而 $n$ 和 $R$ 是常數，因此 $H$ 也僅是溫度的函數。
焓的變化量 $\Delta H$ 可以表示為：
$\Delta H = m c_p \Delta T$
或者，對於摩爾數為 $n$ 的理想氣體：
$\Delta H = n \bar{c}_p \Delta T$
其中 $c_p$ 是定壓比熱，$\bar{c}_p$ 是定容摩爾熱容。

在等溫過程中，溫度不變，即 $\Delta T = 0$。
因此，對於理想氣體，在等溫過程中，焓的變化量為零：
$\Delta H = m c_p (0) = 0$
$\Delta H = n \bar{c}_p (0) = 0$
【答案】 $\Delta H = 0$

3. 熵變化 ($\Delta S$)：
對於理想氣體，熵的變化量可以由以下通用公式計算：
$\Delta S = m c_v \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + m R \ln\left(\frac{v_2}{v_1}\right)$
或者

核心觀念

本題考查活塞—汽缸裝置中的邊界功，以及多方過程

$$PV^n=C$$

其中 $C$ 為常數，$n$ 為多方指數。系統對外所做的功定義為

$$W_{1\to2}=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV$$

在準平衡過程中，系統內壓力可視為外界壓力，因此可直接使用 $P$–$V$ 圖下的面積計算功。

本文採用「系統做功為正」的慣例：

• 膨脹：$V_2>V_1$，$W>0$
• 壓縮：$V_2<V_1$，$W<0$

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解題方法：多方過程的功

由多方關係式

$$PV^n=C$$

可得

$$P=CV^{-n}$$

代入邊界功定義：

$$W_{1\to2} =\int_{V_1}^{V_2}CV^{-n}\,dV$$

情況一：$n\neq 1$

由積分公式

$$\int V^{-n}\,dV = \frac{V^{1-n}}{1-n}$$

因此

$$W_{1\to2} = \frac{C}{1-n} \left(V_2^{1-n}-V_1^{1-n}\right)$$

利用 $C=P_1V_1^n=P_2V_2^n$，可將結果整理為

$$\boxed{ W_{1\to2} = \frac{P_2V_2-P_1V_1}{1-n} } \qquad (n\neq1)$$

對理想氣體而言，

$$PV=mRT$$

所以也可寫成

$$P_2V_2-P_1V_1 = mR(T_2-T_1)$$

得到

$$\boxed{ W_{1\to2} = \frac{mR(T_2-T_1)}{1-n} } \qquad (n\neq1)$$

情況二：$n=1$

當 $n=1$ 時，多方過程退化為等溫過程：

$$PV=C$$

此時

$$P=\frac{C}{V}$$

因此

$$W_{1\to2} = \int_{V_1}^{V_2}\frac{C}{V}\,dV$$ $$W_{1\to2} = C\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$

又因為 $C=P_1V_1=P_2V_2=mRT$，故

$$\boxed{ W_{1\to2} = P_1V_1\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = mRT\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) } \qquad (n=1)$$

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同一初、終狀態下的功比較

邊界功的大小等於 $P$–$V$ 圖上過程曲線與體積軸之間的代數面積：

$$W=\int P\,dV$$

因此，對於膨脹過程，過程中的平均壓力越高，系統所做的功越大；對於壓縮過程，則須比較負功的絕對值。

不過，「同一初始狀態與終止狀態」具有重要限制：

• 等壓過程要求 $P_1=P_2$
• 等容過程要求 $V_1=V_2$

若初、終狀態不分別滿足這些條件，該等壓或等容路徑便不能連接這兩個狀態。

1. 等壓過程

若初、終狀態的壓力相同，則

$$P_1=P_2=P$$

系統所做的功為

$$W_P=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV$$

因為壓力為常數：

$$\boxed{ W_P=P(V_2-V_1) }$$

其物理意義是：$P$–$V$ 圖上的功為一個矩形面積。

若為膨脹，$V_2>V_1$，則

$$W_P>0$$

此題考驗對熱力學系統分類、能量守恆定律在不同系統中的應用，以及氣體洩漏過程的分析。

核心觀念：
熱力學系統可以分為孤立系統、封閉系統 (控制質量) 和開放系統 (控制體積)。能量守恆定律（第一類永動機定理）適用於所有系統。

a) 系統模型的選擇 (5%)

• 封閉系統 (Closed System / Control Mass): 系統的質量固定，質量不進出系統邊界。
• 開放系統 (Open System / Control Volume): 系統的質量可以進出系統邊界。

在這個問題中，高壓氣體儲存罐在洩漏過程中，氣體從儲存罐內部（系統）流出到外部環境。由於有質量進出系統邊界，因此儲存罐應被建模為一個開放系統 (控制體積)。

解釋：
在洩漏過程中，氣體不斷地從儲存罐內部（我們定義的系統）通過閥門流出到外部大氣中。這意味著系統的質量在不斷減少。只有控制體積模型能夠處理質量在系統邊界內外流動的情況。如果將其視為封閉系統，則無法描述氣體洩漏這一關鍵過程。

【答案】開放系統 (控制體積)。因為在洩漏過程中，有質量（氣體）從系統（儲存罐內部）流出到環境中。

b) 熱傳的符號 (5%)

在洩漏過程中，氣體從高壓狀態膨脹並排出。這個過程通常伴隨著溫度下降（Joule-Thomson 效應），而且氣體在膨脹過程中會對外部做功（將氣體排出到大氣中）。
根據熱力學第一定律（對於控制體積）：
$\dot{E}_{in} - \dot{E}_{out} = \frac{dE_{CV}}{dt}$
$\dot{Q}_{in} + \sum_{i} \dot{m}_i h_i - \dot{Q}_{out} - \sum_{e} \dot{m}_e h_e + \dot{W}_{in} - \dot{W}_{out} = \frac{dE_{CV}}{dt}$
對於這個洩漏過程，我們關注的是儲存罐內的總能量變化。
假設我們將儲存罐內部定義為控制體積。氣體從儲存罐流出，表示質量流出。
$\dot{Q} - \dot{W}_{shaft} - \dot{m}_{out} h_{out} = \frac{dE_{CV}}{dt}$
其中 $\dot{Q}$ 是進入控制體積的淨熱傳速率，$\dot{W}_{shaft}$ 是從控制體積輸出的淨軸功速率（此處沒有）。
$E_{CV}$ 是控制體積內的總能量，包括內能、動能、位能等。
$E_{CV} = U_{CV} + KE_{CV} + PE_{CV}$。
$\frac{dE_{CV}}{dt}$ 是控制體積內總能量的變化率。

在氣體洩漏過程中，氣體從儲存罐內膨脹並排出。如果氣體是從高壓排出到低壓，通常會伴隨溫度下降（絕熱或近似絕熱膨脹）。
考慮到氣體排出到大氣中，這相當於對外部做了功。同時，由於氣體溫度可能下降，儲存罐壁和剩餘氣體可能會從周圍環境吸收熱量以試圖維持溫度，或者由於溫度下降而向外散熱。

在這種情況下，氣體膨脹做功（將氣體排出）以及可能的溫度下降，通常會導致儲存罐內的總能量（主要是內能）減少。
如果儲存罐內的能量正在減少（$dE_{CV}/dt < 0$），且沒有軸功輸出，那麼為了滿足能量守恆，可能需要有熱量從環境進入系統。
然而，許多快速洩漏過程可以近似為絕熱過程，即 $\dot{Q} \approx 0$。
如果近似絕熱 ($\dot{Q} \approx 0$) 且沒有軸功，則 $-\dot{m}_{out} h_{out} = \frac{dE_{CV}}{dt}$。
由於氣體在高壓下，其焓 $h_{out}$ 通常是正的。如果 $dE_{CV}/dt < 0$ (儲存罐內能量減少)，則 $-\dot{m}_{out} h_{out}$ 必須是負的，這意味著 $h_{out}$ 是正的，這是合理的。

更簡單的思考方式：
氣體從高壓罐洩漏出來。這個過程通常伴隨壓力、溫度和能量的下降。

1. 膨脹做功： 氣體被推出儲存罐，這相當於對外部（大氣）做了功。
2. 溫度變化： 快速膨脹通常會導致溫度下降（絕熱膨脹）。
3. 能量變化： 儲存罐內的氣體總能量（主要是內能）會下降。

如果儲存罐內的總能量在下降，並且沒有機械功的淨輸出（除了排出氣體本身），那麼為了維持能量平衡，系統（儲存罐）可能會從周圍環境吸收熱量。
因此，熱傳的方向通常是從環境進入儲存罐。
符號： 通常定義進入系統的熱傳為正，離開系統的熱傳為負。
如果熱量從環境進入儲存罐，則 $\dot{Q}$ 為正。

然而，題目問的是「during the depressurization process」，這是一個動態過程。
如果洩漏過程足夠快，可以近似為絕熱過程，則 $\dot{Q} \approx 0$。
如果洩漏過程緩慢，則系統有更多時間與環境進行熱交換。由於氣體溫度下降，儲存罐會從周圍環境吸收熱量，所以熱傳是進入儲存罐的，符號為正。