113 年 國立成功大學工程科學系碩士班戊組《熱力學》

核心觀念

本題考查穩態流動能量方程式，以及連續方程式：

噴嘴通常忽略軸功與位能變化，但本題明確指出有散熱，因此：

連續方程式為：

由圖取入口面積：

解題方法

由過熱蒸汽表查得：

• 入口：$P_1=800\ \text{kPa},\ T_1=450^\circ\text{C}$

• 出口：$P_2=200\ \text{kPa},\ T_2=350^\circ\text{C}$

（2）質量流率

題目選項雖寫成 volume flow rate，但單位為 $\text{kg/s}$，因此實際上是質量流率：

取最接近選項：

（1）出口速度

每公斤蒸汽的散熱量為：

將能量方程式改寫為：

因此：

代入：

所以：

（3）出口面積

由連續方程式：

代入：

故依題目圖示及熱力性質計算：

核心觀念

本題考查：

• 活塞無摩擦且未接觸彈簧時，系統壓力維持定值。
• 活塞接觸線性彈簧後，壓力隨位移線性增加。
• 活塞邊界功：
  $W=\int P\,dV$
• 飽和混合物品質：
  $x=\frac{v-v_f}{v_g-v_f}$

假設活塞重量與外界負載使未接觸彈簧時的壓力維持在 $300\ \text{kPa}$。

解題方法

1. 各狀態體積與比體積

初始體積：

彈簧開始作用時：

彈簧作用後，活塞再上升 $0.30\ \text{m}$，因此體積增加：

最終體積：

最終比體積：

2. 最終壓力

彈簧造成的壓力增加量為：

其中

所以：

因此：

故第（1）題選：

3. 最終品質

由 $525\ \text{kPa}$ 飽和水表，取近似值：

最終狀態為濕蒸汽，品質：

代入：

因此：

故第（2）題選：

題目掃描中的選項若排版為 $13.0,14.1,15.4,\ldots$，應依熱力學計算解讀為 $1.30\%,1.41\%,1.54\%,\ldots$；若逐字視為 $13.0\%$，則選項會與題目數據不相容。

4. 邊界功

狀態 1 到狀態 2：尚未接觸彈簧

壓力維持 $300\ \text{kPa}$：

狀態 2 到狀態 3：彈簧作用

壓力由 $300\ \text{kPa}$ 線性增加至 $525\ \text{kPa}$，因此功為梯形面積：

總功：

核心觀念

本題考查：

• 壓縮機的等熵效率
• 理想氣體空氣性質表
• 穩定流動能量方程式
• 絕熱壓縮所需輸入功率

由圖 3：

質量流率為：

$\dot m=0.2\ \mathrm{kg/s}$

解題方法

先以等熵壓縮狀態 $2s$ 求出理想出口狀態，再利用壓縮機等熵效率求實際出口狀態。

由空氣性質表，在 $T_1=285\ \mathrm{K}$：

$h_1=285.14\ \mathrm{kJ/kg},\qquad P_{r1}=1.1584$

等熵過程滿足：

$\frac{P_2}{P_1}=\frac{P_{r,2s}}{P_{r1}}$

因此：

$P_{r,2s}=1.1584\left(\frac{800}{100}\right)=9.2672$

由表格：

線性內插得：

壓縮機等熵效率定義為：

$\eta_c=\frac{h_{2s}-h_1}{h_2-h_1}=0.80$

所以實際出口焓為：

$h_2=h_1+\frac{h_{2s}-h_1}{0.8}$

由表格中 $T=560\ \mathrm{K}$ 與 $570\ \mathrm{K}$ 的焓值：

$h_{560}=565.17,\qquad h_{570}=575.59\ \mathrm{kJ/kg}$

內插得：

本題考驗對朗肯循環（Rankine cycle）的熱力學分析，包括鍋爐、渦輪、冷凝器和泵的熱力學過程。特別是渦輪的實際效率與理想絕熱效率的區別。

核心觀念：

1. 朗肯循環四個主要組件：鍋爐（Boiler）、渦輪（Turbine）、冷凝器（Condenser）、泵（Pump）。
2. 理想朗肯循環過程：
   • 1-2：水在泵中等熵壓縮（$s_1 = s_2$）。
   • 2-3：水在鍋爐中等壓加熱，成為過熱蒸汽（$P$ constant）。
   • 3-4：蒸汽在渦輪中等熵膨脹（$s_3 = s_4$）。
   • 4-1：蒸汽在冷凝器中等壓冷卻，成為飽和水（$P$ constant）。
3. 實際朗肯循環：渦輪和泵的效率會導致實際循環與理想循環的差異。
4. 熱力學性質查詢：需要查閱蒸汽表（Table A-4, A-5, A-6）來獲得各點的焓、熵、溫度、比體積等性質。

分析：
我們將朗肯循環的各個點標記如下：
點1：泵入口（冷凝器出口），飽和水。
點2：泵出口（鍋爐入口），高壓液態水。
點3：渦輪入口（鍋爐出口），過熱蒸汽。
點4：渦輪出口（冷凝器入口），低壓蒸汽。

給定條件：
渦輪入口（點3）：$P_3 = 3$ MPa，$T_3 = 350^\circ\text{C}$。
冷凝器壓力（點4和點1）：$P_4 = P_1 = 75$ kPa。
渦輪等熵效率 $\eta_T = 90\% = 0.9$。

步驟：

1. 確定點3的狀態：
   $P_3 = 3$ MPa， $T_3 = 350^\circ\text{C}$。
   查閱 Table A-6 Superheated water。
   在 $P=3.0$ MPa， $T=350^\circ\text{C}$ 時：
   $h_3 = 3116.1$ kJ/kg。
   $s_3 = 6.7450$ kJ/kg·K。

2. 確定點1的狀態：
   冷凝器出口，飽和水，壓力 $P_1 = 75$ kPa。
   查閱 Table A-5 Saturated water-Pressure table。
   在 $P=75$ kPa：
   $T_{sat} = 91.76^\circ\text{C}$。
   $h_1 = h_f = 384.44$ kJ/kg。
   $v_1 = v_f = 0.001037$ m³/kg。
   $s_1 = s_f = 1.2132$ kJ/kg·K。

3. 確定點4的狀態（實際渦輪出口）：
   點4的壓力 $P_4 = 75$ kPa。
   渦輪是等熵膨脹，所以 $s_{4s} = s_3 = 6.7450$ kJ/kg·K。
   在 $P=75$ kPa 下，查閱 Table A-5 找到 $s_g = 7.4558$ kJ/kg·K。
   由於 $s_3 = 6.7450 < s_g = 7.4558$，所以點4s（理想出口）為兩相區。
   我們需要計算點4s的焓值 $h_{4s}$。
   在 $P=75$ kPa：
   $s_f = 1.2132$ kJ/kg·K。
   $s_g = 7.4558$ kJ/kg·K。
   $h_f = 384.44$ kJ/kg。
   $h_g = 2662.4$ kJ/kg。
   $h_{fg} = h_g - h_f = 2662.4 - 384.44 = 2278.0$ kJ/kg。
   $s_{fg} = s_g - s_f = 7.4558 - 1.2132 = 6.2426$ kJ/kg·K。

   計算點4s的品質 $x_{4s}$：
   $s_{4s} = s_f + x_{4s} s_{fg}$
   $6.7450 = 1.2132 + x_{4s} (6.2426)$
   $5.5318 = x_{4s} (6.2426)$
   $x_{4s} = 5.5318 / 6.2426 \approx 0.8861$。

   計算點4s的焓值 $h_{4s}$：
   $h_{4s} = h_f + x_{4s} h_{fg}$
   $h_{4s} = 384.44 + 0.8861 \times 2278.0$
   $h_{4s} = 384.44 + 2017.6 \approx 2402.0$ kJ/kg。

   現在計算實際渦輪出口焓值 $h_4$。
   渦輪效率 $\eta_T = \frac{w_{actual}}{w_s} = \frac{h_3 - h_4}{h_3 - h_{4s}}$。
   $h_3 - h_4 = \eta_T (h_3 - h_{4s})$
   $h_4 = h_3 - \eta_T (h_3 - h_{4s})$
   $h_4 = 3116.1 - 0.9 \times (3116.1 - 2402.0)$
   $h_4 = 3116.1 - 0.9 \times (714.1)$
   $h_4 = 3116.1 - 642.69 \approx 2473.4$ kJ/kg。

4. 計算鍋爐輸入熱量 ($q_{in}$)：
   鍋爐是等壓過程（點2到點3）。
   $q_{in} = h_3 - h_2$。
   我們還需要確定點2的焓值 $h_2$。
   泵的功輸入 $w_p = h_2 - h_1$。
   對於泵的等熵過程， $w_p \approx v_1 (P_2 - P_1)$。
   $w_p = 0.001037 \text{ m³/kg} \times (3000 \text{ kPa} - 75 \text{ kPa})$。
   $w_p = 0.001037 \times 2925 \approx 3.034$ kJ/kg。
   $h_2 = h_1 + w_p = 384.44 + 3.034 \approx 387.47$ kJ/kg。

本題考驗對熱交換器（Heat Exchanger）的熱平衡分析，以及對逆流（Counter-flow）熱交換器溫度的計算。

核心觀念：

1. 熱交換器熱平衡：熱交換器是一個能量守恆系統。熱流體失去的熱量等於冷流體獲得的熱量（忽略熱損失）。
   $Q_{lost, hot} = Q_{gained, cold}$。
2. 熱傳量計算：對於流體，熱傳量 $Q = \dot{m} c_p \Delta T$。
3. 逆流熱交換器：熱流體與冷流體的流動方向相反。

分析：
給定條件：
油（熱流體）：
質量流率 $\dot{m}_{oil} = 2$ kg/s。
入口溫度 $T_{h,in} = 150^\circ\text{C}$。
出口溫度 $T_{h,out} = 40^\circ\text{C}$。
比熱 $c_{p,oil} = 2.20$ kJ/kg·°C。

水（冷流體）：
質量流率 $\dot{m}_{water} = 2.5$ kg/s。
入口溫度 $T_{c,in} = 25^\circ\text{C}$。
比熱 $c_{p,water} = 4.18$ kJ/kg·°C。
出口溫度 $T_{c,out}$ 為待求。

步驟：

1. 計算油流體失去的熱量 ($Q_{oil}$)：
   由於油的進出口溫度都已知，我們可以直接計算其熱量變化。
   $Q_{oil} = \dot{m}_{oil} c_{p,oil} (T_{h,in} - T_{h,out})$
   $Q_{oil} = 2 \text{ kg/s} \times 2.20 \text{ kJ/kg} \cdot ^\circ\text{C} \times (150^\circ\text{C} - 40^\circ\text{C})$
   $Q_{oil} = 2 \times 2.20 \times 110$
   $Q_{oil} = 4.40 \times 110 = 484$ kW。
   這個熱量就是熱交換器中傳遞的總熱量。

此區塊為考試封面資訊，非

核心觀念

本題考查：

• 壓縮機的等熵效率
• 理想氣體空氣性質表
• 穩定流動能量方程式
• 絕熱壓縮所需輸入功率

由圖 3：

質量流率為：

$\dot m=0.2\ \mathrm{kg/s}$

解題方法

先以等熵壓縮狀態 $2s$ 求出理想出口狀態，再利用壓縮機等熵效率求實際出口狀態。

由空氣性質表，在 $T_1=285\ \mathrm{K}$：

$h_1=285.14\ \mathrm{kJ/kg},\qquad P_{r1}=1.1584$

等熵過程滿足：

$\frac{P_2}{P_1}=\frac{P_{r,2s}}{P_{r1}}$

因此：

$P_{r,2s}=1.1584\left(\frac{800}{100}\right)=9.2672$

由表格：

線性內插得：

壓縮機等熵效率定義為：

$\eta_c=\frac{h_{2s}-h_1}{h_2-h_1}=0.80$

所以實際出口焓為：

$h_2=h_1+\frac{h_{2s}-h_1}{0.8}$

由表格中 $T=560\ \mathrm{K}$ 與 $570\ \mathrm{K}$ 的焓值：

$h_{560}=565.17,\qquad h_{570}=575.59\ \mathrm{kJ/kg}$

內插得：

核心觀念

本題考查穩態流動能量方程式，以及連續方程式：

噴嘴通常忽略軸功與位能變化，但本題明確指出有散熱，因此：

連續方程式為：

由圖取入口面積：

解題方法

由過熱蒸汽表查得：

• 入口：$P_1=800\ \text{kPa},\ T_1=450^\circ\text{C}$

• 出口：$P_2=200\ \text{kPa},\ T_2=350^\circ\text{C}$

（2）質量流率

題目選項雖寫成 volume flow rate，但單位為 $\text{kg/s}$，因此實際上是質量流率：

取最接近選項：

（1）出口速度

每公斤蒸汽的散熱量為：

將能量方程式改寫為：

因此：

代入：

所以：

（3）出口面積

由連續方程式：

代入：

故依題目圖示及熱力性質計算：

核心觀念

本題考查：

• 活塞無摩擦且未接觸彈簧時，系統壓力維持定值。
• 活塞接觸線性彈簧後，壓力隨位移線性增加。
• 活塞邊界功：
  $W=\int P\,dV$
• 飽和混合物品質：
  $x=\frac{v-v_f}{v_g-v_f}$

假設活塞重量與外界負載使未接觸彈簧時的壓力維持在 $300\ \text{kPa}$。

解題方法

1. 各狀態體積與比體積

初始體積：

彈簧開始作用時：

彈簧作用後，活塞再上升 $0.30\ \text{m}$，因此體積增加：

最終體積：

最終比體積：

2. 最終壓力

彈簧造成的壓力增加量為：

其中

所以：

因此：

故第（1）題選：

3. 最終品質

由 $525\ \text{kPa}$ 飽和水表，取近似值：

最終狀態為濕蒸汽，品質：

代入：

因此：

故第（2）題選：

題目掃描中的選項若排版為 $13.0,14.1,15.4,\ldots$，應依熱力學計算解讀為 $1.30\%,1.41\%,1.54\%,\ldots$；若逐字視為 $13.0\%$，則選項會與題目數據不相容。

4. 邊界功

狀態 1 到狀態 2：尚未接觸彈簧

壓力維持 $300\ \text{kPa}$：

狀態 2 到狀態 3：彈簧作用

壓力由 $300\ \text{kPa}$ 線性增加至 $525\ \text{kPa}$，因此功為梯形面積：

總功：

核心觀念

本題考查：

• 壓縮機的等熵效率
• 理想氣體空氣性質表
• 穩定流動能量方程式
• 絕熱壓縮所需輸入功率

由圖 3：

質量流率為：

$\dot m=0.2\ \mathrm{kg/s}$

解題方法

先以等熵壓縮狀態 $2s$ 求出理想出口狀態，再利用壓縮機等熵效率求實際出口狀態。

由空氣性質表，在 $T_1=285\ \mathrm{K}$：

$h_1=285.14\ \mathrm{kJ/kg},\qquad P_{r1}=1.1584$

等熵過程滿足：

$\frac{P_2}{P_1}=\frac{P_{r,2s}}{P_{r1}}$

因此：

$P_{r,2s}=1.1584\left(\frac{800}{100}\right)=9.2672$

由表格：

線性內插得：

壓縮機等熵效率定義為：

$\eta_c=\frac{h_{2s}-h_1}{h_2-h_1}=0.80$

所以實際出口焓為：

$h_2=h_1+\frac{h_{2s}-h_1}{0.8}$

由表格中 $T=560\ \mathrm{K}$ 與 $570\ \mathrm{K}$ 的焓值：

$h_{560}=565.17,\qquad h_{570}=575.59\ \mathrm{kJ/kg}$

內插得：

核心觀念

本題考查穩態流動能量方程式，以及連續方程式：

噴嘴通常忽略軸功與位能變化，但本題明確指出有散熱，因此：

連續方程式為：

由圖取入口面積：

解題方法

由過熱蒸汽表查得：

• 入口：$P_1=800\ \text{kPa},\ T_1=450^\circ\text{C}$

• 出口：$P_2=200\ \text{kPa},\ T_2=350^\circ\text{C}$

（2）質量流率

題目選項雖寫成 volume flow rate，但單位為 $\text{kg/s}$，因此實際上是質量流率：

取最接近選項：

（1）出口速度

每公斤蒸汽的散熱量為：

將能量方程式改寫為：

因此：

代入：

所以：

（3）出口面積

由連續方程式：

代入：

故依題目圖示及熱力性質計算：

核心觀念

本題考查：

• 活塞無摩擦且未接觸彈簧時，系統壓力維持定值。
• 活塞接觸線性彈簧後，壓力隨位移線性增加。
• 活塞邊界功：
  $W=\int P\,dV$
• 飽和混合物品質：
  $x=\frac{v-v_f}{v_g-v_f}$

假設活塞重量與外界負載使未接觸彈簧時的壓力維持在 $300\ \text{kPa}$。

解題方法

1. 各狀態體積與比體積

初始體積：

彈簧開始作用時：

彈簧作用後，活塞再上升 $0.30\ \text{m}$，因此體積增加：

最終體積：

最終比體積：

2. 最終壓力

彈簧造成的壓力增加量為：

其中

所以：

因此：

故第（1）題選：

3. 最終品質

由 $525\ \text{kPa}$ 飽和水表，取近似值：

最終狀態為濕蒸汽，品質：

代入：

因此：

故第（2）題選：

題目掃描中的選項若排版為 $13.0,14.1,15.4,\ldots$，應依熱力學計算解讀為 $1.30\%,1.41\%,1.54\%,\ldots$；若逐字視為 $13.0\%$，則選項會與題目數據不相容。

4. 邊界功

狀態 1 到狀態 2：尚未接觸彈簧

壓力維持 $300\ \text{kPa}$：

狀態 2 到狀態 3：彈簧作用

壓力由 $300\ \text{kPa}$ 線性增加至 $525\ \text{kPa}$，因此功為梯形面積：

總功：