113 年 國立成功大學工程科學系碩士班丁組《材料力學》

此題考查樑受彎曲時，鋼筋配置對抵抗彎矩能力的影響。在純彎曲情況下，樑抵抗彎矩的能力主要取決於鋼筋的合力臂 (lever arm) 以及鋼筋的屈服強度。合力臂越大，抵抗彎矩的能力越強。

觀察各選項的鋼筋配置圖，M₂ 代表彎矩。合力臂是受拉鋼筋合力點到受壓鋼筋合力點之間的距離。

此題考查材料在受拉情況下的極限承載能力，特別是當材料為線彈性-完美塑性材料時。題目中提到「極限負載 (ultimate load)」，對於線彈性-完美塑性材料在拉伸情況下，其極限負載即為屈服負載。

首先，我們需要計算橫截面積 $A$。
題目給出的尺寸是寬度 45mm 和長度 150mm。這裡的「長度 150mm」應該是指橫截面的另一個尺寸，即橫截面為 45mm x 150mm 的矩形。
$A = 45 \text{ mm} \times 150 \text{ mm} = 6750 \text{ mm}^2$

接著，我們需要將屈服強度 $\sigma_y$ 轉換為 $N/mm^2$ (MPa)。
$\sigma_y = 360 \text{ MPa} = 360 \text{ N/mm}^2$

核心觀念

本題考查矩形截面梁在「等向性、線彈性－理想彈塑性材料」下的最大彎矩，也就是塑性彎矩（plastic moment）或極限彎矩（ultimate bending moment）。

當截面完全進入塑性狀態時：

• 上半部承受壓應力 $+\sigma_y$
• 下半部承受拉應力 $-\sigma_y$
• 應力大小皆達降伏強度 $\sigma_y$

因此，矩形截面的塑性彎矩為

$$M_p=\frac{\sigma_y b h^2}{4}$$

其中：

• $\sigma_y$：降伏強度
• $b$：截面寬度
• $h$：截面高度

依前題直桿截面尺寸，取

$$b=45\ \text{mm},\qquad h=15\ \text{mm}$$

且

$$\sigma_y=360\ \text{MPa}=360\ \text{N/mm}^2$$

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解題方法

完全塑化時，矩形截面的上、下半部各形成一個均勻應力區。

上半部壓力合力為

$$C=\sigma_y\left(b\frac{h}{2}\right)$$

下半部拉力合力為

$$T=\sigma_y\left(b\frac{h}{2}\right)$$

兩個合力的作用線分別位於上下半部的形心，因此兩者間距為

$$\frac{h}{4}+\frac{h}{4}=\frac{h}{2}$$

所以最大彎矩為

$$M_u=M_p=T\left(\frac{h}{2}\right)$$

代入 $T$：

$$M_p=\sigma_y\left(b\frac{h}{2}\right)\left(\frac{h}{2}\right)$$

整理得

$$M_p=\frac{\sigma_y b h^2}{4}$$

代入數值：

$$M_p =\frac{(360)(45)(15)^2}{4} \ \text{N·mm}$$ $$M_p =\frac{(360)(45)(225)}{4} =911250\ \text{N·mm}$$

單位換算：

$$1\ \text{kN·cm}=10000\ \text{N·mm}$$

因此

$$M_p=\frac{911250}{10000} =91.125\ \text{kN·cm}$$

故最大彎矩為

$$M_u=91.125\ \text{kN·cm}$$

補充而言，矩形截面開始降伏時的彎矩為

$$M_y=\frac{\sigma_y b h^2}{6}$$

而完全塑化彎矩與初降伏彎矩之比為

核心觀念

梁的彎曲正應力為

$$\sigma=\frac{My}{I}$$

最大彎曲應力發生在距離中性軸最遠處，因此

$$\sigma_{\max}=\frac{Mc}{I}=\frac{M}{S}$$

其中：

• $M$：彎矩，四種截面相同；
• $I$：截面對彎曲軸的二次面積矩；
• $c$：中性軸至最外側纖維的距離；
• $S=I/c$：截面模數。

題目比較的是相同面積、相同載重下的彎曲應力，因此截面模數 $S$ 越小，最大彎曲應力越大。

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解題方法

四種截面面積皆為

$$A=15\times 15=225$$

以圖示水平方向為彎曲軸，分別比較各截面的截面模數。

(A) 正方形截面

$$I_A=\frac{15(15)^3}{12}=4218.75$$ $$c_A=\frac{15}{2}=7.5$$

因此

$$S_A=\frac{I_A}{c_A}=562.5$$

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(B) 對稱工字形截面

截面由上下兩個 $15\times5$ 翼板及中間 $5\times15$ 腹板組成。

上下翼板對中央中性軸的貢獻為

$$2\left[\frac{15(5)^3}{12} +75(10)^2\right]$$

腹板的貢獻為

$$\frac{5(15)^3}{12}$$

所以

$$I_B=2\left[\frac{15(5)^3}{12}+75(10)^2\right] +\frac{5(15)^3}{12} =16718.75$$

總高度為 $25$，故

$$c_B=12.5$$ $$S_B=\frac{16718.75}{12.5}=1337.5$$

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(C) T 形截面

以底部為基準，形心位置為

$$\bar y= \frac{75(2.5)+150(20)}{225} =14.167$$

總高度為 $35$，上側至中性軸距離為

$$c_{\text{上}}=35-14.167=20.833$$

下側距離為 $14.167$，因此最大應力發生在上側。

此題考查樑在變分載重作用下的撓度計算，屬於材料力學中的樑彎曲問題。樑為簡支樑，載重為餘弦分佈的變分均佈載重。

樑的彎曲微分方程為：
$EI \frac{d^2v}{dx^2} = M(x)$
其中 $E$ 是材料的彈性模數，$I$ 是斷面的慣性矩，$v(x)$ 是樑在 $x$ 位置的垂直撓度，$M(x)$ 是樑在 $x$ 位置的彎矩。

首先，我們需要確定簡支樑在這種載重下的彎矩函數 $M(x)$。
載重 $q(x) = q_0 \sin(\frac{\pi x}{L})$。
由於是簡支樑，在 $x=0$ 和 $x=L$ 處支承。
支點反力 $R_A$ 和 $R_B$。
$R_A = R_B = \frac{1}{2} \int_0^L q(x) dx = \frac{1}{2} \int_0^L q_0 \sin(\frac{\pi x}{L}) dx$
$R_A = \frac{q_0}{2} [-\frac{L}{\pi} \cos(\frac{\pi x}{L})]_0^L = \frac{q_0}{2} (-\frac{L}{\pi} \cos(\pi) - (-\frac{L}{\pi} \cos(0)))$
$R_A = \frac{q_0}{2} (-\frac{L}{\pi}(-1) + \frac{L}{\pi}(1)) = \frac{q_0}{2} (\frac{L}{\pi} + \frac{L}{\pi}) = \frac{q_0}{2} (\frac{2L}{\pi}) = \frac{q_0 L}{\pi}$。
所以 $R_A = R_B = \frac{q_0 L}{\pi}$。

彎矩 $M(x)$ 可以通過對從左邊支點開始的載重進行積分來計算：
$M(x) = R_A x - \int_0^x q(\xi) (\xi) d\xi$ (錯誤，應該是 $M(x) = R_A x - \int_0^x q(\xi)(x-\xi) d\xi$)
更簡單的方法是：
$M(x) = R_A x - \int_0^x q(\xi) (\text{距離} x \text{ 的積分}) d\xi$
考慮從支點 A 到點 x 的彎矩：
$M(x) = R_A x - \int_0^x q(\xi) (x-\xi) d\xi$
$M(x) = \frac{q_0 L}{\pi} x - \int_0^x q_0 \sin(\frac{\pi \xi}{L}) (x-\xi) d\xi$

這個積分計算比較複雜。我們知道樑的彎曲微分方程的積分形式，也可以直接求解。
$EI \frac{d^4v}{dx^4} = -q(x) = -q_0 \sin(\frac{\pi x}{L})$
對上式積分四次，並利用邊界條件和支點條件來確定積分常數。

邊界條件：
在 $x=0$ 和 $x=L$ 處，撓度 $v=0$。
在 $x=0$ 和 $x=L$ 處，彎矩 $M=0$。
$M(x) = EI \frac{d^2v}{dx^2}$
$\frac{dM}{dx} = V(x)$ (剪力)
$\frac{dV}{dx} = -q(x)$

積分四次：
$\frac{d^3v}{dx^3} = -\frac{1}{EI} \int q_0 \sin(\frac{\pi x}{L}) dx = -\frac{1}{EI} (-\frac{q_0 L}{\pi} \cos(\frac{\pi x}{L})) + C_1 = \frac{q_0 L}{\pi EI} \cos(\frac{\pi x}{L}) + C_1$
$\frac{d^2v}{dx^2} = \frac{1}{EI} \int (\frac{q_0 L}{\pi} \cos(\frac{\pi x}{L}) + C_1) dx = \frac{1}{EI} (\frac{q_0 L^2}{\pi^2} \sin(\frac{\pi x}{L}) + C_1 x) + C_2$

應力集中係數 (Stress Concentration Factor) 是材料力學中用於描述在構件幾何形狀不連續處（如孔洞、缺口、階梯變化等）附近，局部應力比遠離這些區域的平均應力（或名義應力）高出多少倍的參數。

定義：
應力集中係數，通常用符號 $k_t$ (理論應力集中係數) 或 $k_{ts}$ (對於剪切) 表示，定義為：
$k_t = \frac{\sigma_{max}}{\sigma_{nom}}$
其中：
$\sigma_{max}$ 是在幾何缺陷處測得的最高局部應力。
$\sigma_{nom}$ 是在遠離缺陷區域的平均應力或名義應力。名義應力通常根據簡化的幾何形狀（忽略缺陷）和整體載荷計算得到。

計算方法：
應力集中係數的計算方法有多種，取決於問題的複雜度和所需的精度：

1. 理論分析 (Theoretical Analysis): 對於某些簡單的幾何形狀（如圓孔、圓缺口在平面內的應力集中），可以使用解析方法，如複變函數法、棋盤法 (Courant's method) 等，推導出精確的理論解。例如，在無限大平板中心有一個圓孔，受均勻拉伸載荷 $\sigma_{nom}$，則圓孔邊緣的垂直應力 $\sigma_{max} = 3\sigma_{nom}$，因此 $k_t = 3$。

2. 有限元素法 (Finite Element Method, FEM): 對於複雜的幾何形狀，FEM 是一種強大且常用的數值分析工具。

低碳鋼在室溫下受到機械載荷時，產生塑性變形的主要原因是位錯 (dislocation) 的滑移 (slip)。

以下是詳細的解釋：

1. 材料微觀結構： 低碳鋼屬於金屬材料，其晶體結構是面心立方 (FCC) 或體心立方 (BCC)。在這些晶體結構中，原子並非完美排列，而是存在著稱為「位錯」的線狀缺陷。位錯的存在使得原子鍵的斷裂和重組可以在較低的應力下發生。

2. 位錯滑移： 當施加的機械載荷（如拉伸、壓縮、彎曲）超過材料的屈服強度時，晶體中的位錯就會開始運動。位錯的運動意味著晶體內部原子層之間的相對滑移。這種滑移不是一次性地斷裂和重組所有原子鍵，而是通過位錯的逐步移動來實現，因此所需的能量（應力）遠低於整體斷裂和重組所有原子鍵所需的能量。

應力-應變圖 (Stress-Strain Diagram) 描述了材料在受力時的應力與應變之間的關係。對於圖中所示的典型金屬材料（如低碳鋼）的應力-應變曲線，屈服應力 (Yield Stress) 是指材料開始發生顯著塑性變形時所對應的應力值。

識別與定義：

1. 彈性區域 (Elastic Region): 曲線的起始部分通常是線性的，表示材料處於彈性變形狀態。在此階段，應力與應變成正比（符合虎克定律），移除載荷後，材料會恢復到原始形狀。

2. 屈服點 (Yield Point) 或屈服強度 (Yield Strength):

   • 明確屈服點 (Upper and Lower Yield Points): 對於某些材料（如低碳鋼），在彈性區域結束後，會出現一個明顯的「屈服點」。在這個點之後，應力會略微下降（上屈服點），然後在一個較低的應力水平上保持相對恆定（下屈服點），此時材料發生顯著的塑性變形。圖中所示的曲線似乎顯示了一個明確的屈服點，在這個點之後，曲線開始變得平緩，應力增長趨於緩慢。
   • 0.2% 偏移法 (0.2% Offset Method): 對於許多材料（如不鏽鋼、鋁合金），其應力-應變曲線在彈性區域結束後沒有明顯的屈服點，而是呈現一個光滑的過渡。此時，通常採用「0.2% 偏移法」來定義屈服強度。

飛機窗戶採用橢圓形（或圓角矩形）設計，主要是基於結構力學的原理，以確保在飛行過程中承受巨大的內外壓差時的結構完整性與安全性。

主要原因：

1. 應力集中最小化 (Minimizing Stress Concentration):

   • 尖角是應力集中源： 在任何有尖角的結構中，應力會高度集中在這些尖角處。在飛機機艙內外存在顯著的壓力差（在高空時，機艙內壓力遠大於外部氣壓）。如果窗戶是矩形，則其四個角將成為應力高度集中的區域。
   • 橢圓形/圓角設計的優勢： 橢圓形或圓角矩形沒有尖角。相較於尖角，圓弧形狀能夠更均勻地分散應力。應力會沿著窗戶的圓弧形邊緣平滑地傳播，避免在特定點產生過高的局部應力，從而降低裂紋萌生和擴展的風險。

2. 提高結構強度與剛度 (Enhancing Structural Strength and Stiffness):

   • 均勻應力分佈： 橢圓形狀有利於使應力在窗戶周邊更均勻地分佈。這意味著材料的強度能被更有效地利用，整個窗戶結構的承載能力得到提升。

此題考查圓形實心軸在變分扭矩作用下的扭轉變形。需要計算兩端之間的相對扭轉角。

1. 確定扭矩分佈函數 $t(x)$：
題目說明扭矩從左端（假設為 $x=0$）的 $t_a$ linearly 分佈到右端（$x=L$）的 0。
因此，扭矩函數 $t(x)$ 可以表示為：
$t(x) = t_a (1 - \frac{x}{L})$
其中 $x$ 是從固定端 A 開始的軸向距離，範圍是 $0 \le x \le L$。

2. 彎曲微分方程：
對於圓形實心軸，扭轉角 $\phi$ 與扭矩 $t$ 的關係由以下微分方程給出：
$\frac{d\phi}{dx} = \frac{t(x)}{GI_p}$
其中 $G$ 是剪切模數， $I_p$ 是軸的極慣性矩。

3. 計算極慣性矩 $I_p$：
對於直徑為 $d$ 的圓形實心軸，其極慣性矩為：
$I_p = \frac{\pi d^4}{32}$

4. 積分求扭轉角 $\phi(x)$：
將扭矩函數 $t(x)$ 代入微分方程：
$\frac{d\phi}{dx} = \frac{t_a (1 - \frac{x}{L})}{G (\frac{\pi d^4}{32})} = \frac{32 t_a}{\pi G d^4} (1 - \frac{x}{L})$

對上式進行積分，以求得扭轉角 $\phi(x)$：
$\phi(x) = \int \frac{32 t_a}{\pi G d^4} (1 - \frac{x}{L}) dx$
$\phi(x) = \frac{32 t_a}{\pi G d^4} \int (1 - \frac{x}{L}) dx$
$\phi(x) = \frac{32 t_a}{\pi G d^4} (x - \frac{x^2}{2L}) + C$
其中 $C$ 是積分常數。

5. 確定積分常數 C：
題目中提到 A 是固定端，這意味著在 $x=0$ 處，扭轉角為零（$\phi(0) = 0$）。
將 $x=0$ 和 $\phi(0)=0$ 代入上式：

核心觀念

本題應用：

1. 靜力平衡求地面反力。
2. 圓環各截面的彎矩分布。
3. 彎曲應變能
   $U=\int\frac{M^2}{2EI}\,ds$
4. Castigliano 定理
   $\delta_A=\frac{\partial U}{\partial P}$

題目僅給定彎曲剛度 $EI$，因此只考慮彎曲變形，忽略軸向與剪切變形。

解題方法

設圓環下方接觸地面的點為 $B$，且取向下為位移正方向。由垂直方向平衡：

$$R_B=P$$

其中 $R_B$ 為地面對圓環的垂直反力。

令 $\theta$ 為由頂點 $A$ 沿圓環任一側量下來的角度，則

$$0\leq\theta\leq\pi$$

圓環半徑為 $r$，截面弧長微分為

$$ds=r\,d\theta$$

在角度 $\theta$ 處切開圓環，取上方弧段作自由體。外力 $P$ 的作用線與切面之水平距離為 $r\sin\theta$，因此截面彎矩大小為

$$M(\theta)=Pr\sin\theta$$

左右兩側完全對稱，所以總彎曲應變能為