115 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班乙組《材料力學》

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第 1 題25 分

  1. (25%) The three A992 steel bars shown in Figure 1 are pin-connected to a rigid member. If the applied load on the member is 15 kN, determine the force developed in each bar. Bars AB and EF each have a cross-sectional area of 50 mm², and bar CD has a cross-sectional area of 30 mm².

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核心觀念

本題考查：

  • 剛性構件的平衡條件：∑Fy=0\sum F_y=0、∑M=0\sum M=0
  • 軸向桿件的變形關係：
    δ=FLAE\delta=\frac{FL}{AE}
  • 剛性構件的相容條件：因為 CC 位於 AA、EE 中點，故
    δC=δA+δE2\delta_C=\frac{\delta_A+\delta_E}{2}

三根桿均為 A992 鋼，且長度皆為 0.5 m0.5\ \text{m}，因此 EE 與 LL 在相容方程式中會相消。

幾何關係

由圖可得：

AC=CE=0.4 mAC=CE=0.4\ \text{m}

集中力 15 kN15\ \text{kN} 作用於 AA 左側起算 0.2 m0.2\ \text{m} 處，因此其距離 AA 為 0.2 m0.2\ \text{m}。

令三根桿的拉力分別為 FABF_{AB}、FCDF_{CD}、FEFF_{EF}。

平衡方程式

取整個剛性構件為自由體圖，垂直力平衡：

FAB+FCD+FEF=15F_{AB}+F_{CD}+F_{EF}=15

對 AA 點取力矩：

0.4FCD+0.8FEF=15(0.2)0.4F_{CD}+0.8F_{EF}=15(0.2)

因此：

FCD+2FEF=7.5F_{CD}+2F_{EF}=7.5

變形相容條件

各桿的伸長量為：

δA=FABL50E,δC=FCDL30E,δE=FEFL50E\delta_A=\frac{F_{AB}L}{50E},\qquad \delta_C=\frac{F_{CD}L}{30E},\qquad \delta_E=\frac{F_{EF}L}{50E}

由剛性構件幾何關係：

δC=δA+δE2\delta_C=\frac{\delta_A+\delta_E}{2}

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第 2 題25 分

  1. (25%) The tube is made of C86100 bronze and has a rectangular cross section as shown in Figure 2. If it is subjected to the two torques, determine the average shear stress in the tube at points A and B. Also, what is the angle of twist of end C? The tube is fixed at E.

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核心觀念

本題考查薄壁封閉矩形管的扭轉。由於管壁很薄，可用剪流 qq 分析：

q=T2Am,τ=qt=T2tAmq=\frac{T}{2A_m},\qquad \tau=\frac{q}{t} =\frac{T}{2tA_m}

其中 AmA_m 為管壁中心線所包圍的平均面積。扭轉角公式為

ϕ=∑TiLi4Am2G∮dst\phi=\sum \frac{T_iL_i}{4A_m^2G} \oint\frac{ds}{t}

C86100 青銅取剪變模數

G=38 GPaG=38\ \text{GPa}

1. 平均面積與內力矩

由圖得管壁中心線尺寸：

bm=40−2(2.5)=35 mmb_m=40-2(2.5)=35\ \text{mm} hm=60−3=57 mmh_m=60-3=57\ \text{mm}

因此

Am=(35)(57)=1995 mm2≈0.00200 m2A_m=(35)(57)=1995\ \text{mm}^2 \approx 0.00200\ \text{m}^2

由截面平衡，靠近固定端 EE 的管段 DEDE 內力矩為

TDE=35 N⋅mT_{DE}=35\ \text{N}\cdot\text{m}

管段 CDCD 同時承受兩個外加力矩，因此

TCD=25+35=60 N⋅mT_{CD}=25+35=60\ \text{N}\cdot\text{m}

2. 點 AA 與點 BB 的平均剪應力

點 AA 位於側壁，厚度為

tA=5 mm=0.005 mt_A=5\ \text{mm}=0.005\ \text{m}

該截面所承受的內力矩為 TDE=35 N⋅mT_{DE}=35\ \text{N}\cdot\text{m}，故

τA=352(0.005)(0.00200)=1.75×106 Pa\tau_A =\frac{35}{2(0.005)(0.00200)} =1.75\times10^6\ \text{Pa} τA=1.75 MPa\boxed{\tau_A=1.75\ \text{MPa}}

點 BB 位於上下壁，厚度為

tB=3 mm=0.003 mt_B=3\ \text{mm}=0.003\ \text{m}

因此

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第 3 題10 分

  1. An element of the wing skin on an airplane is subjected to plane stress with normal stresses σx=120 MPa\sigma_x = 120 \text{ MPa} in tension and σy\sigma_y and shear stress τxy\tau_{xy}, as shown in Figure 3. At an angle θ=−37∘\theta = -37^\circ (i.e., 37∘37^\circ clockwise) from the x axis, the normal stress remains 120 MPa in tension; while at a counterclockwise angle θ=45∘\theta = 45^\circ, it becomes 55 MPa in compression. (Use cos⁡37∘=0.8\cos 37^\circ = 0.8 and sin⁡37∘=0.6\sin 37^\circ = 0.6 in your calculation.)

(a) Determine the stresses σy\sigma_y and τxy\tau_{xy} on this element. (10%)
(b) Determine the principal stresses and maximum shear stress on this element. (5%)
(c) Under the above stress condition, the strain gages measure the normal strains in the x and y directions as ϵx=0.0072\epsilon_x = 0.0072, ϵy=−0.0058\epsilon_y = -0.0058. Determine the Young's modulus (E)(E) and Poisson's ratio (ν)(\nu) for the material used on the wing skin. (10%)

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核心觀念

本題考查三項材料力學基本公式：

  1. 平面應力轉換公式
  2. 主應力與最大剪應力
  3. 平面應力狀態下的廣義虎克定律

取圖示 xx、yy 軸為正方向，受力面法線與 xx 軸夾角為 θ\theta，則該方向的正應力為

σθ=σxcos⁡2θ+σysin⁡2θ+2τxysin⁡θcos⁡θ\sigma_\theta =\sigma_x\cos^2\theta+\sigma_y\sin^2\theta +2\tau_{xy}\sin\theta\cos\theta

(a) 求 σy\sigma_y 與 τxy\tau_{xy}

已知

σx=120 MPa\sigma_x=120\text{ MPa}

在 θ=−37∘\theta=-37^\circ 時，

cos⁡(−37∘)=0.8,sin⁡(−37∘)=−0.6\cos(-37^\circ)=0.8,\qquad \sin(-37^\circ)=-0.6

且正應力為 120 MPa120\text{ MPa}，因此

120=120(0.8)2+σy(−0.6)2+2τxy(0.8)(−0.6)120 =120(0.8)^2+\sigma_y(-0.6)^2 +2\tau_{xy}(0.8)(-0.6)

整理得

0.36σy−0.96τxy=43.2(1)0.36\sigma_y-0.96\tau_{xy}=43.2 \tag{1}

在 θ=45∘\theta=45^\circ 時，

cos⁡45∘=sin⁡45∘=12\cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac{1}{\sqrt2}

正應力為 55 MPa55\text{ MPa} 壓縮，即 σ45∘=−55 MPa\sigma_{45^\circ}=-55\text{ MPa}：

−55=120(12)+σy(12)+τxy-55 =120\left(\frac12\right) +\sigma_y\left(\frac12\right) +\tau_{xy}

因此

0.5σy+τxy=−115(2)0.5\sigma_y+\tau_{xy}=-115 \tag{2}

由式（2）

τxy=−115−0.5σy\tau_{xy}=-115-0.5\sigma_y

代入式（1）：

0.36σy−0.96(−115−0.5σy)=43.20.36\sigma_y-0.96(-115-0.5\sigma_y)=43.2 0.84σy=−67.20.84\sigma_y=-67.2 σy=−80 MPa\sigma_y=-80\text{ MPa}

再代回式（2）：

τxy=−115−0.5(−80)=−75 MPa\tau_{xy}=-115-0.5(-80) =-75\text{ MPa}

負號表示實際應力方向與圖示正剪應力方向相反。

(b) 求主應力與最大剪應力

平面應力的平均正應力為

σavg=σx+σy2=120−802=20 MPa\sigma_{\text{avg}} =\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} =\frac{120-80}{2} =20\text{ MPa}

莫耳圓半徑為

R=(σx−σy2)2+τxy2R =\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2} R=(120−(−80)2)2+(−75)2=1002+752=125 MPaR =\sqrt{\left(\frac{120-(-80)}{2}\right)^2+(-75)^2} =\sqrt{100^2+75^2} =125\text{ MPa}

因此兩個平面主應力為

σ1=σavg+R=20+125=145 MPa\sigma_1=\sigma_{\text{avg}}+R =20+125 =145\text{ MPa}
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第 4 題10 分

  1. Consider the propped cantilever beam of length 2L with a roller support at B subjected to a uniformly distributed load with intensity q, as shown in Figure 4. Assume that the flexural rigidity EI is constant throughout the beam.

(a) Determine all the reactions, MA, RA and RB. (10%)
(b) Determine the shear force at 1.5L from the fixed support (the middle point between B and C) (5%)
(c) Determine the deflection at the right end C. (5%)
(d) Find the maximum magnitude of bending moment and its location in the beam. (5%)

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核心觀念

本題考查：

  • 靜力平衡：∑Fy=0\sum F_y=0、∑MA=0\sum M_A=0
  • 超靜定梁的變形相容條件：滾輪支承處 BB 的撓度必須為零
  • 疊加法：將均佈載重與 RBR_B 的作用分開計算
  • 彎矩、剪力與撓度的關係

以下取向上為正，均佈載重 qq 向下作用於全長 AC=2LAC=2L。撓度向下取負。

(a) 求支承反力 MAM_A、RAR_A、RBR_B

1. 以 RBR_B 作為超靜定力

固定端懸臂梁在全長 2L2L 受均佈載重 qq 時，距離固定端 AA 為 xx 的撓度為

vq(x)=−qx224EI[6(2L)2−4(2L)x+x2].v_q(x) = -\frac{q x^2}{24EI} \left[6(2L)^2-4(2L)x+x^2\right].

在 BB 點，即 x=Lx=L：

vq(L)=−qL224EI(24L2−8L2+L2)=−17qL424EI.v_q(L) = -\frac{qL^2}{24EI} \left(24L^2-8L^2+L^2\right) = -\frac{17qL^4}{24EI}.

若在 BB 點施加向上的反力 RBR_B，其造成的 BB 點撓度為

vRB(L)=RBL33EI.v_{R_B}(L)=\frac{R_B L^3}{3EI}.

由滾輪支承的變形相容條件：

vq(L)+vRB(L)=0,v_q(L)+v_{R_B}(L)=0,

因此

−17qL424EI+RBL33EI=0.-\frac{17qL^4}{24EI} + \frac{R_B L^3}{3EI} =0.

解得

RB=178qL\boxed{R_B=\frac{17}{8}qL}

方向向上。

2. 垂直力平衡

全長均佈載重合力為 2qL2qL，故

RA+RB−2qL=0.R_A+R_B-2qL=0.

代入 RBR_B：

RA=2qL−178qL=−18qL.R_A = 2qL-\frac{17}{8}qL = -\frac18 qL.

因此

RA=−18qL\boxed{R_A=-\frac18 qL}

負號表示 RAR_A 實際方向向下，大小為 18qL\dfrac18 qL。

3. 取 AA 點力矩平衡

取逆時針為正：

MA+RBL−(2qL)(L)=0.M_A+R_B L-(2qL)(L)=0.

因此

MA=2qL2−178qL2=−18qL2.M_A = 2qL^2-\frac{17}{8}qL^2 = -\frac18 qL^2.

所以

MA=−18qL2\boxed{M_A=-\frac18 qL^2}

即固定端反力矩大小為 18qL2\dfrac18qL^2，方向為順時針。

(b) 求距離固定端 1.5L1.5L 處的剪力

取截面位置

x=1.5L.x=1.5L.

截面右側只有長度 0.5L0.5L 的均佈載重，其合力為

q(0.5L)=12qL.q(0.5L)=\frac12qL.

依取正剪力慣例，截面剪力為

V(1.5L)=12qL.\boxed{V(1.5L)=\frac12qL}.

其大小為

∣V(1.5L)∣=12qL.\boxed{\left|V(1.5L)\right|=\frac12qL}.

(c) 求右端 CC 的撓度

1. 均佈載重造成的 CC 點撓度

長度為 2L2L 的懸臂梁受全長均佈載重時，自由端撓度為

vq(C)=−q(2L)48EI=−2qL4EI.v_q(C) = -\frac{q(2L)^4}{8EI} = -\frac{2qL^4}{EI}.

2. RBR_B 造成的 CC 點撓度

對於位於 x=Lx=L 的集中力，其在 x=2Lx=2L 處造成的撓度為

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