109 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班乙組《材料力學》

本題主要考查材料力學中樑的彎曲問題，重點在於利用樑的撓曲線微分方程式和邊界條件來求解樑的變形與內力。Part 1 要求推導懸臂樑的撓度與載重之間的線性關係，Part 2 則將此結果應用於兩個樑接觸的邊界問題。

Part 1: 推導懸臂樑的撓度與載重關係

懸臂樑的撓曲線微分方程式為：
$EI \frac{d^4v}{dx^4} = w(x)$
其中 $v(x)$ 是樑在 $x$ 位置的撓度，$w(x)$ 是分佈載重。
在此問題中，載重是一個集中力 $P$ 作用在自由端（$x=L$）。我們可以將此集中力視為一個在 $x=L$ 位置的單位階躍函數乘以 $P$，或者更直接地，我們從樑的彎矩方程式出發。

樑的彎矩 $M(x)$ 與撓曲線的關係為：
$EI \frac{d^2v}{dx^2} = M(x)$

對於一個長度為 $L$ 的懸臂樑，自由端受到向下的力 $P$，固定端在 $x=0$。
在距離固定端 $x$ 處的彎矩 $M(x)$ 可以表示為：
$M(x) = -P(L-x)$
（負號表示彎矩使樑受壓纖維在上，拉伸纖維在下，符合懸臂樑的彎曲情況）

因此，撓曲線微分方程式為：
$EI \frac{d^2v}{dx^2} = -P(L-x)$

積分一次得到剪力 $V(x)$ 的關係（雖然我們不需要直接積分兩次）：
$EI \frac{dv}{dx} = \int -P(L-x) dx = -P(Lx - \frac{x^2}{2}) + C_1$
其中 $C_1$ 是積分常數。

積分兩次得到撓度 $v(x)$ 的關係：
$EI v(x) = \int [-P(Lx - \frac{x^2}{2}) + C_1] dx = -P(\frac{Lx^2}{2} - \frac{x^3}{6}) + C_1x + C_2$
其中 $C_2$ 是積分常數。

現在我們需要應用邊界條件來求解 $C_1$ 和 $C_2$。
對於懸臂樑，固定端的邊界條件為：

1. 在固定端 $x=0$ 時，撓度為零：$v(0) = 0$。
2. 在固定端 $x=0$ 時，斜率為零：$\frac{dv}{dx}(0) = 0$。

應用邊界條件 1 ($v(0)=0$)：
$EI v(0) = -P(\frac{L(0)^2}{2} - \frac{0^3}{6}) + C_1(0) + C_2 = 0$
$0 + 0 + C_2 = 0 \implies C_2 = 0$

應用邊界條件 2 ($\frac{dv}{dx}(0)=0$)：
$EI \frac{dv}{dx}(0) = -P(L(0) - \frac{0^2}{2}) + C_1 = 0$
$0 + C_1 = 0 \implies C_1 = 0$

所以，撓度方程式為：
$EI v(x) = -P(\frac{Lx^2}{2} - \frac{x^3}{6})$
$v(x) = -\frac{P}{EI} (\frac{Lx^2}{2} - \frac{x^3}{6})$

自由端的撓度 $\delta$ 是在 $x=L$ 時的撓度 $v(L)$。
$v(L) = -\frac{P}{EI} (\frac{L(L)^2}{2} - \frac{L^3}{6})$
$v(L) = -\frac{P}{EI} (\frac{L^3}{2} - \frac{L^3}{6})$
$v(L) = -\frac{P}{EI} (\frac{3L^3 - L^3}{6})$
$v(L) = -\frac{P}{EI} (\frac{2L^3}{6})$
$v(L) = -\frac{PL^3}{3EI}$

我們定義 $\delta$ 為自由端的向下撓度，所以 $\delta = -v(L)$。
$\delta = \frac{PL^3}{3EI}$
這就導出了自由端撓度 $\delta$ 與集中力 $P$ 之間的線性關係。
$\delta = (\frac{L^3}{3EI}) P$
其中 $\frac{L^3}{3EI}$ 是撓度與力的比例係數。

Part 2: 兩個樑接觸的邊界問題

此部分涉及兩個樑在自由端接觸的情況。假設力 $F$ 作用在樑 2 的自由端（假設樑 2 是帶有 $F$ 的那個，且 $F$ 使樑 2 向下變形）。由於兩個樑的自由端無預載且無摩擦接觸，當樑 2 向下變形接觸到樑 1 時，兩者自由端的撓度會相等。

我們已經從 Part 1 知道，對於一個懸臂樑，承受自由端向下的力 $P$，其自由端的撓度為 $\delta = \frac{PL^3}{3EI}$。

現在我們有兩個樑：
樑 1: 長度 $L_1$, 勁度 $E_1I_1$
樑 2: 長度 $L_2$, 勁度 $E_2I_2$

力 $F$ 作用在樑 2 的自由端，向下。
由於樑 1 和樑 2 在自由端接觸，它們的自由端撓度必須相等。
設樑 1 的固定端反力為 $R_1$ (向上)，樑 2 的固定端反力為 $R_2$ (向上)。
當力 $F$ 作用在樑 2 的自由端時，它會使樑 2 向下彎曲。
同時，樑 1 的自由端受到樑 2 反作用力（假設接觸點產生向下反力 $F_{contact}$）。
樑 2 的自由端也會受到樑 1 的反作用力（向上，大小為 $F_{contact}$）。

我們需要釐清力 $F$ 的作用點。題目說 "the force $F$, vertical to the beams, is applied at the free-to-rotate end of one beam"。

核心觀念

本題考查薄壁封閉圓筒的扭轉剪應力，以及圓孔造成的應力集中。

薄壁封閉圓筒承受扭矩 $T$ 時，剪流為

$$q=\frac{T}{2A_m}$$

其中 $A_m$ 為通過壁厚中線所包圍的面積。對半徑為 $R$ 的圓筒，

$$A_m=\pi R^2$$

因此未開孔時的名義剪應力為

$$\tau_0=\frac{q}{t} =\frac{T}{2\pi R^2t}$$

由於

$$\frac{t}{R}=0.02,\qquad \frac{r}{R}=0.05$$

圓筒壁相對於半徑很薄，孔洞附近可近似視為「受純剪力的平板圓孔問題」。

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1）應力集中性質與位置

扭轉造成的遠場應力主要是軸向—環向剪應力 $\tau_{x\theta}$。然而在圓孔邊界上，孔洞表面必須滿足無外力邊界條件，因此原本均勻分布的剪流會在孔邊重新分布，形成局部很大的應力集中。

對圓孔附近取局部平面座標：

• $x$ 軸：圓筒軸向；
• $y$ 軸：圓筒環向；
• 遠場應力：純剪應力 $\tau_{xy}=\tau_0$。

圓孔邊界上的徑向應力與切向剪應力為零，但會產生很大的切向正應力。對半徑為 $r$ 的圓孔，孔邊切向正應力可近似表示為

$$\sigma_{\theta\theta}(r,\phi) =-4\tau_0\sin 2\phi$$

其中 $\phi$ 是孔邊位置相對於筒軸方向的角度。

因此最大應力發生在

$$|\sin 2\phi|=1$$

也就是

$$\phi=45^\circ,\ 135^\circ,\ 225^\circ,\ 315^\circ$$

這些位置是孔周圍相對於軸向與環向呈對角線的四個點。

簡圖如下：

                 軸向 x
                   ↑
             ●     |     ●
                \  |  /
環向 y  ←--------- ○ --------→
                /  |  \
             ●     |     ●

其中 $○$ 為圓孔，四個 $●$ 為主要應力集中位置。

此處的主要應力集中不是單純的剪應力增大，而是由遠場純剪應力轉換成孔邊的拉、壓切向正應力：

• 相鄰兩個對角位置為最大拉應力；
• 另外兩個對角位置為最大壓應力。

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2）以 $T$、$R$、$t$ 表示最大應力

未開孔時的名義剪應力為

本題考查軸向載荷作用下的桿件力學行為，包括軸向勁度、應變能密度以及破壞模式討論。

Part (a): 軸向勁度 $k$

軸向勁度 $k$ 定義為抵抗軸向變形所需的力與所產生的軸向變形之比，即 $k = \frac{P}{\delta}$。
對於一個長度為 $L$，橫截面積為 $A$，楊氏模數為 $E$ 的線性彈性桿件，當承受軸向拉力 $P$ 時，其軸向伸長量 $\delta$ 可以由虎克定律推導得出。

應力 $\sigma = \frac{P}{A}$。
應變 $\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{P}{AE}$。
軸向變形 $\delta = \epsilon L = \frac{PL}{AE}$。

因此，軸向勁度 $k$ 為：
$k = \frac{P}{\delta} = \frac{P}{\frac{PL}{AE}} = \frac{AE}{L}$。

Part (b): 應變能密度

應變能密度（Strain Energy Density, $u$）定義為單位體積內的應變能。
桿件中的總應變能 $U$ 可以表示為：
$U = \frac{1}{2} P \delta$ (對於線性彈性材料)
將 $\delta = \frac{PL}{AE}$ 代入：
$U = \frac{1}{2} P (\frac{PL}{AE}) = \frac{P^2 L}{2AE}$。

桿件的體積 $V = AL$。
應變能密度 $u = \frac{U}{V} = \frac{\frac{P^2 L}{2AE}}{AL} = \frac{P^2}{2AE^2}$。

另一種表達方式是通過應力 $\sigma$ 和應變 $\epsilon$：
$u = \frac{1}{2} \sigma \epsilon$
將 $\sigma = \frac{P}{A}$ 和 $\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{P}{AE}$ 代入：
$u = \frac{1}{2} (\frac{P}{A}) (\frac{P}{AE}) = \frac{P^2}{2A^2E}$。
這與上面的結果一致，只是形式略有不同。通常，我們更常用 $\sigma$ 和 $E$ 來表示應變能密度：
$u = \frac{1}{2} \sigma \epsilon = \frac{1}{2} \sigma (\frac{\sigma}{E}) = \frac{\sigma^2}{2E}$。
將 $\sigma = \frac{P}{A}$ 代入，得到 $u = \frac{(P/A)^2}{2E} = \frac{P^2}{2A^2E}$。

核心觀念

本題使用薄壁構件的剪流公式

$$q=\tau t=\frac{VQ}{I_x},$$

其中：

• $V$：截面所受的垂直剪力；
• $I_x$：截面對水平對稱軸的面積慣性矩；
• $Q$：切割位置一側面積對中性軸的一次面積矩。

由於 $t\ll h$，翼板自身的慣性矩可忽略，並將薄壁面積近似為「長度乘厚度」。

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解題方法

(a) 水平對稱軸的面積慣性矩

腹板位於水平中性軸上，其慣性矩為

$$I_{\text{web}}=\frac{th^3}{12}.$$

上下兩片翼板各自面積為 $bt$，其形心距水平中性軸約為 $h/2$。利用平行軸定理：

$$I_{\text{flanges}} =2(bt)\left(\frac{h}{2}\right)^2 =\frac{bth^2}{2}.$$

因此

$$\boxed{ I_x=\frac{th^3}{12}+\frac{bth^2}{2} }$$

亦可寫成

$$\boxed{ I_x=\frac{th^2(h+6b)}{12} }.$$

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(b) 翼板合力與最大剪流

1. 翼板剪流與合力 $F_f$

以上翼板為例，令 $s$ 自由端起沿翼板方向量至腹板，$0\le s\le b$。

切割位置外側的面積約為 $st$，其距離中性軸約為 $h/2$，故

$$Q_f=st\left(\frac{h}{2}\right).$$

因此翼板上的剪流為

$$q_f(s) =\frac{VQ_f}{I_x} =\frac{Vsth}{2I_x}.$$

剪流在自由端為零，在腹板接合處最大：

$$q_{f,\max}=\frac{Vbth}{2I_x}.$$

翼板上的剪流呈三角形分布，所以每一片翼板的合力為

$$F_f=\int_0^b q_f(s)\,ds =\int_0^b \frac{Vsth}{2I_x}\,ds.$$

因此

$$\boxed{ F_f=\frac{Vtb^2h}{4I_x} }.$$

代入 $I_x$ 後：

$$\boxed{ F_f=\frac{3Vb^2}{h(h+6b)} }.$$