109 年 國立成功大學工程科學系碩士班丁組《工程力學》

此題考驗向量的分解與合成。需要將給定的兩個向量分解到 $x$ 和 $y$ 方向，然後將它們的 $x$ 分量相加得到合向量的 $x$ 分量。

向量 $\vec{A}$ 的大小為 $10$ m，與 $x$ 軸正向的夾角為 $45^\circ$。
因此，$\vec{A}$ 的 $x$ 分量為：
$A_x = |\vec{A}| \cos(45^\circ) = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ m

此題考驗靜摩擦力的概念，特別是當有垂直向上的拉力時，最大靜摩擦力的變化。物體剛要移動時，動摩擦力等於最大靜摩擦力。

首先，分析物體受力：
重力 $W = 50$ N (向下)
地面支持力 $N$ (向上)
水平拉力 $F_{pull} = 8$ N (向右)
垂直向上的拉力 $F$ (向上)
靜摩擦力 $f_s$ (向左，阻止運動)

當物體靜止時，垂直方向受力平衡：
$N + F - W = 0$
$N = W - F = 50 - F$

最大靜摩擦力 $f_{s,max}$ 與正向力 $N$ 成正比：
$f_{s,max} = \mu_s N = 0.4 (50 - F)$

此題考驗向量叉積 (cross product) 和點積 (dot product) 的基本性質。題目定義 $\vec{R}$ 為 $\vec{S}$ 和 $\vec{T}$ 的叉積，且 $\vec{S}$ 和 $\vec{T}$ 的夾角 $\theta \neq 90^\circ$。我們要判斷哪個敘述是錯誤的。

首先，我們來分析叉積 $\vec{R} = \vec{S} \times \vec{T}$ 的性質：

1. 大小: 叉積的向量大小定義為 $|\vec{R}| = |\vec{S}| |\vec{T}| \sin\theta$，其中 $\theta$ 是 $\vec{S}$ 和 $\vec{T}$ 之間的夾角。
2. 方向: $\vec{R}$ 的方向垂直於 $\vec{S}$ 和 $\vec{T}$ 所決定的平面，並且遵循右手定則。
3. 交換律: 叉積不滿足交換律，而是滿足反交換律：$\vec{S} \times \vec{T} = -(\vec{T} \times \vec{S})$。

點積 $\vec{A} \cdot \vec{B}$ 的性質：

1. 幾何意義: $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos\phi$，其中 $\phi$ 是 $\vec{A}$ 和 $\vec{B}$ 之間的夾角。
2. 垂直性: 如果兩個向量垂直，它們的點積為零。

現在我們逐一檢驗選項：

(A) $|\vec{R}| = |\vec{S}| |\vec{T}| \sin\theta$
這是叉積向量大小的標準定義。由於 $\theta \neq 90^\circ$，$\sin\theta \neq 0$，所以 $|\vec{R}|$ 是非零的。這個敘述是正確的。

(B) $-\vec{R} = \vec{T} \times \vec{S}$
根據叉積的反交換律，$\vec{S} \times \vec{T} = -(\vec{T} \times \vec{S})$。所以，$\vec{R} = -(\vec{T} \times \vec{S})$，或者說 $-\vec{R} = \vec{T} \times \vec{S}$。這個敘述是正確的。

核心觀念

本題考查：

• 剛體平衡：$\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$、$\sum M=0$
• 靜摩擦限制：
  $|F|\leq \mu_s N$
• 接觸點 $B$ 的法向力與摩擦力
• 兩木板幾何比例：由 $3$-$4$-$5$ 三角形可得木板方向餘弦為 $3/5$、$4/5$

令每塊木板重量為

$W=16.3g$

木板長度為 $5\,\text{m}$，且 $D$ 位於高度 $2\,\text{m}$，故其水平座標距離 $A$ 為 $1.5\,\text{m}$。

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解題方法

設接觸點 $B$ 的法向力為 $N_B$，摩擦力為 $F_B$。取左木板 $AB$，對 $A$ 點取矩：

$5N_B-1.5P-1.5W=0$

因此

$N_B=\frac{3}{10}(P+W)$

再對右木板 $BC$ 的 $C$ 點取矩，可得

$-1.4N_B+4.8F_B+1.5W=0$

代入 $N_B$：

$F_B=\frac{7}{80}P-\frac{18}{80}W$

由於稍後接觸點 $C$ 的摩擦條件會限制 $P$ 很小，因此此時 $F_B<0$，其大小為

$|F_B|=\frac{18W-7P}{80}$

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接觸點 $C$ 的摩擦限制

由右木板的垂直力平衡，可得地面正向力

$N_C=W+\frac{3}{5}N_B+\frac{4}{5}F_B$

代入前述結果：

$$N_C=W+\frac{3}{5}\left[\frac{3}{10}(P+W)\right] +\frac{4}{5}\left[\frac{7}{80}P-\frac{18}{80}W\right]$$

整理得

$N_C=\frac14P+W$

地面摩擦力大小為

核心觀念

本題使用：

1. 彈簧定律：$F_s=k\Delta$。
2. 彈簧伸長量：$\Delta=L-L_0$。
3. 剛體平衡條件：取 $B$ 點力矩，可消除鉸支承反力。
4. 力矩公式：$M=r_xF_y-r_yF_x$。

依圖取 $AB=BC=BD=l$，且桿重忽略不計。

解題方法

令 $B$ 為原點，$x$ 軸水平向右、$y$ 軸鉛直向上。桿與水平夾角為 $\theta$，因此

$$A=(-l\cos\theta,-l\sin\theta),$$ $$C=(l\cos\theta,l\sin\theta),$$ $$D=(0,-l).$$

1. 求彈簧原長

當桿 $ABC$ 水平時，$\theta=0$，此時

$$C=(l,0),\qquad D=(0,-l).$$

因此彈簧未伸長時的長度為

$$L_0=CD=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2}\,l.$$

2. 求彈簧目前長度

當桿轉至角度 $\theta$ 時，

$$\overrightarrow{DC} = \bigl(l\cos\theta,\;l(1+\sin\theta)\bigr).$$

所以

$$L=CD =l\sqrt{\cos^2\theta+(1+\sin\theta)^2}.$$

利用 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$，

$$L=l\sqrt{2(1+\sin\theta)}.$$

彈簧伸長量為

$$\Delta=L-L_0 = l\left[\sqrt{2(1+\sin\theta)}-\sqrt2\right].$$

故彈簧力大小為

此題考驗牛頓第二運動定律在直線運動中的應用。需要考慮電梯的加速度和重力。

系統：電梯。
質量 $m = 1000$ kg。
加速度 $a = 2.5 \text{ m/s}^2$ (向上，因為速度在增加且是上升)。
受力：

1. 繩索拉力 $T$ (向上)。
2. 重力 $W = mg$ (向下)。

根據牛頓第二運動定律 $\sum F = ma$：
在垂直方向上，合力為 $T - W$。
由於電梯正在上升且加速度向上，合力方向向上。
所以，$T - W = ma$。

此題考驗一維彈性碰撞的動量守恆和能量守恆定律。

已知條件：

• 碰撞是彈性碰撞。
• 碰撞是一維正面碰撞 (head-on)。
• 碰撞前：
  • 球 A：質量 $m_A = m$，速度 $v_A = v$。
  • 球 B：質量 $m_B = 1.5m$，速度 $v_B = 0$ (靜止)。
• 碰撞後：
  • 球 A：質量 $m_A = m$，速度 $v_A'$ (待求)。
  • 球 B：質量 $m_B = 1.5m$，速度 $v_B'$ (待求)。

根據動量守恆定律：
碰撞前的總動量 = 碰撞後的總動量
$m_A v_A + m_B v_B = m_A v_A' + m_B v_B'$
$m(v) + (1.5m)(0) = m v_A' + (1.5m) v_B'$
$mv = m v_A' + 1.5m v_B'$
兩邊同除以 $m$：
$v = v_A' + 1.5 v_B'$ (方程式 1)

根據彈性碰撞的相對速度關係（或能量守恆）：
對於一維彈性碰撞，碰撞前的相對速度大小等於碰撞後的相對速度大小。
$v_A - v_B = -(v_A' - v_B')$

核心觀念

質點對點 $O$ 的角動量大小為

$$H_O = |\mathbf r \times \mathbf p| = mvr\sin\theta$$

其中：

• $m=6.0\ \text{kg}$
• $v=2.0\ \text{m/s}$
• $r=12\ \text{m}$
• $\theta$ 為位置向量與速度方向的夾角

也可使用力矩臂表示：

$$H_O = mv d$$

其中 $d$ 是點 $O$ 到質點直線運動路徑的垂直距離。

解題方法

圖中質點的速度向右，質點到 $O$ 的連線長度為 $12\ \text{m}$，且該連線與水平線夾角為 $30^\circ$。

因此，點 $O$ 到水平運動路徑的垂直距離為

$$d=12\sin 30^\circ =12\left(\frac12\right) =6\ \text{m}$$

核心觀念

本題考查：

• 純滾動條件：輪心速度大小為 $v_C=R\omega_1$。
• 剛體平面運動速度公式：
  $\vec v_A=\vec v_C+\vec\omega_1\times\vec r_{A/C}$
• 桿件兩端相對速度關係：
  $\vec v_B=\vec v_A+\vec\omega_{AB}\times\vec r_{B/A}$
• 點 $B$ 沿水平面 $H_2$ 滑動，因此 $v_{B_y}=0$。

取向右為 $\mathbf i$、向上為 $\mathbf j$，逆時針為正。

幾何關係

由圖得輪半徑

$R=0.45\text{ m}$

輪心到 $A$ 的水平距離為 $0.3\text{ m}$，且 $CA=0.42\text{ m}$，因此

$$\vec r_{A/C} =-0.3\mathbf i-\sqrt{0.42^2-0.3^2}\mathbf j$$

計算得

$$\sqrt{0.42^2-0.3^2}=0.2939\text{ m}$$

故

$$\vec r_{A/C} =-0.3\mathbf i-0.2939\mathbf j$$

桿長為 $1.3\text{ m}$，圖中斜率為 $5:12$，因此

$$\vec r_{B/A}=1.2\mathbf i-0.5\mathbf j$$

解題方法

輪子向右純滾動，故輪心速度為

$$\vec v_C=R\omega_1\mathbf i =(0.45)(1.5)\mathbf i =0.675\mathbf i\text{ m/s}$$

順時針角速度為負：

$$\vec\omega_1=-1.5\mathbf k$$

因此

$$\vec v_A =\vec v_C+\vec\omega_1\times\vec r_{A/C}$$

其中

核心觀念

本題考查平面剛體動力學，使用：

1. 質心平移運動方程式
   $\sum F_x=ma_{Gx},\qquad \sum F_y=ma_{Gy}$

2. 取質心 $G$ 的轉動方程式
   $\sum M_G=I_G\alpha$

3. 剛體加速度關係式，以及接觸點 $C$ 始終位於水平地面上的條件
   $a_{Cy}=0$

4. 動摩擦力
   $F_k=\mu_kN$

因為 $C$ 向右滑動，地面对桿的摩擦力向左。

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幾何與已知量

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，逆時針為正。

桿長 $L=6\text{ m}$，質量 $m=50\text{ kg}$，因此質心 $G$ 位於距離 $C$ 為 $3\text{ m}$ 處。

由圖：

$y_G=3\sin80^\circ=2.9544\text{ m}$

$x_{G/C}=-3\cos80^\circ=-0.5209\text{ m}$

且 $B$ 的高度為 $2\text{ m}$。重力為

$W=mg=50(9.81)=490.5\text{ N}$

質心轉動慣量：

$$I_G=\frac{1}{12}mL^2 =\frac{1}{12}(50)(6^2) =150\text{ kg}\cdot\text{m}^2$$

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解題方法

1. 質心的鉛直加速度

剛體上 $G$ 與 $C$ 的加速度關係為

$$\mathbf a_G = \mathbf a_C +\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{G/C} -\omega^2\mathbf r_{G/C}$$

因為 $C$ 沿水平地面滑動，所以

$a_{Cy}=0$

取鉛直方向分量：

$$a_{Gy} = \alpha x_{G/C}-\omega^2y_G$$

代入 $\omega=1\text{ rad/s}$：

$$a_{Gy} = -(3\cos80^\circ)\alpha -3\sin80^\circ$$ $$\boxed{a_{Gy}=-0.5209\alpha-2.9544}$$

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2. 水平方向與鉛直方向受力方程式

摩擦力大小為

$F_k=0.3N$

水平方向：

$$500-0.3N=50a_{Gx}$$

鉛直方向：

$$N-490.5=50a_{Gy}$$

代入 $a_{Gy}$：

$$N-490.5 = 50(-0.5209\alpha-2.9544)$$

因此

$$\boxed{N=342.7788-26.0472\alpha}$$

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3. 對質心 $G$ 取力矩

外力 $P$ 對 $G$ 的力矩，其力臂為 $G$ 與 $B$ 的鉛直距離：

$$d_P=3\sin80^\circ-2=0.9544\text{ m}$$

因此