109 年 國立成功大學工程科學系碩士班丁組《材料力學》

本題為概念題，主要測試考生對材料力學基本名詞的理解程度。需逐一解釋各名詞的定義與物理意義。

(a) 0.2% offset yield stress (0.2% 偏移降伏應力)
定義：當材料應力-應變曲線進入塑性變形階段後，其斜率會逐漸減小。0.2% 偏移降伏應力是指，從應變軸上 0.002 (或 0.2%) 處畫一條與彈性階段直線（斜率為彈性模數 $E$）平行的線，此線與應力-應變曲線的交點所對應的應力值。這個值用來近似定義材料從彈性行為轉變為塑性行為的應力界線，尤其適用於沒有明顯屈服點的材料（如某些鋁合金）。

(b) Strain hardening (應變硬化)
定義：又稱為加工硬化 (work hardening)，是指金屬材料在塑性變形過程中，其強度和硬度隨應變增加而提高的現象。這是由於位錯 (dislocations) 在晶體內部運動受阻，位錯密度增加，位錯之間的交互作用增強，進而抵抗進一步的塑性變形。在應力-應變曲線中，表現為彈性極限後，應力持續增加，但應變的增加率卻逐漸減小。

(c) Anisotropic material (非均向性材料)
定義：指材料的力學性質（如彈性模數、強度、熱膨脹係數等）在不同方向上具有顯著差異的材料。例如，木材的強度沿紋理方向遠大於垂直紋理方向；纖維增強複合材料的性質也高度依賴於纖維的方向。與之相對的是均向性材料 (isotropic material)，其性質在所有方向上都相同。

(d) Fatigue limit (疲勞極限)
定義：對於某些材料（特別是鋼），在反覆載重作用下，即使應力水準低於其靜態降伏強度，材料最終仍可能發生斷裂。疲勞極限是指一個應力水準，低於此水準時，材料可以承受無限次的載重循環而不發生疲勞破壞。若應力水準高於疲勞極限，則材料會因疲勞而失效，失效所需的循環次數與應力振幅有關。

(e) Elastic section modulus (彈性斷面係數)
定義：在樑的彎曲理論中，彈性斷面係數 $S$ 是指斷面慣性矩 $I$ 除以斷面上最遠離中性軸的距離 $c$。即 $S = I/c$。它是一個與斷面幾何形狀有關的參數，用於計算樑在彎曲作用下的最大彎曲應力。最大彎曲應力 $\sigma_{max} = M_{max} / S$，其中 $M_{max}$ 是最大彎矩。

(f) Maximum-distortion-energy criterion (最大扭曲能準則)
定義：這是一種用於預測金屬材料在單軸、雙軸或三軸應力狀態下發生塑性變形的準則，也稱為 von Mises 準則。該準則認為，當材料內的扭曲形變能 (distortional strain energy) 達到某個臨界值時，材料就會開始發生塑性變形。對於單軸拉伸，此準則與 0.2% 偏移降伏應力有相同的預測結果。對於多軸應力狀態，其數學表達式為 $\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_3 + \sigma_3^2 - \sigma_2\sigma_3 = \sigma_y^2$ (其中 $\sigma_y$ 是單軸降伏應力)。

核心觀念

本題考查：

• 剛性桿的靜力平衡。
• 軸向桿件變形公式：
  $\delta=\frac{FL}{AE}$
• 剛性桿繞固定鉸支承 $B$ 轉動時，各點位移與距離 $B$ 的距離成正比。

由圖得：

$AB=0.45\ \text{m},\quad BC=0.30\ \text{m},\quad BD=0.30+0.20=0.50\ \text{m}$

$L_{CE}=0.60\ \text{m}=600\ \text{mm},\quad L_{DF}=0.75\ \text{m}=750\ \text{mm}$

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解題方法

$A$ 點受向下 $45\ \text{kN}$ 作用後，剛性桿繞 $B$ 逆時針轉動，因此 $C,D$ 點向上移動，使兩根垂直鋁桿伸長。故兩桿皆受拉力。

桿件截面積為

$$A_{CE}=\frac{\pi(12)^2}{4}=113.10\ \text{mm}^2$$ $$A_{DF}=\frac{\pi(18)^2}{4}=254.47\ \text{mm}^2$$

(a) 各桿內力

設

• $F_{CE}$：桿 $CE$ 的拉力
• $F_{DF}$：桿 $DF$ 的拉力

先由剛性桿的變形相容條件：

$$\frac{\delta_D}{\delta_C}=\frac{BD}{BC} =\frac{0.50}{0.30}=\frac{5}{3}$$

又因為

$$F_{CE}=\frac{EA_{CE}}{L_{CE}}\delta_C,\qquad F_{DF}=\frac{EA_{DF}}{L_{DF}}\delta_D$$

所以

$$\frac{F_{DF}}{F_{CE}} = \frac{A_{DF}/L_{DF}}{A_{CE}/L_{CE}} \frac{\delta_D}{\delta_C}$$

代入數值：

$$\frac{F_{DF}}{F_{CE}} = \frac{(254.47/750)}{(113.10/600)} \left(\frac{5}{3}\right) =3$$

因此

$$F_{DF}=3F_{CE}$$

本題考查複合材料軸在扭轉作用下的應力與變形分析。

核心觀念：

1. 扭轉變形相容性： 複合材料軸在扭轉時，其內核和外層的扭轉角度必須相同。
2. 應力與扭矩的關係： 圓形斷面軸的剪應力與扭矩、斷面係數的關係。
3. 材料性質： 鋼和鋁的剪切模數不同。

解題步驟：

已知條件：

• 複合材料軸長度 $L = 2.5$ m。
• 總外徑 $D_{outer} = 72$ mm $\Rightarrow$ 總外半徑 $r_{outer} = 36$ mm $= 0.036$ m。
• 鋼芯直徑 $d_{steel} = 54$ mm $\Rightarrow$ 鋼芯半徑 $r_{steel} = 27$ mm $= 0.027$ m。
• 鋼的剪切模數 $G_{steel} = 77$ GPa $= 77 \times 10^9$ Pa。
• 鋁的剪切模數 $G_{aluminum} = 27$ GPa $= 27 \times 10^9$ Pa。
• 施加的扭矩 $T = 4$ kN·m $= 4000$ N·m。

步驟 1：計算鋼芯和鋁層的極慣性矩 (Polar Moment of Inertia)。
對於實心圓柱體，極慣性矩 $J = \frac{\pi}{2} r^4$。
鋼芯（內核）的極慣性矩：
$J_{steel} = \frac{\pi}{2} r_{steel}^4 = \frac{\pi}{2} (0.027 \text{ m})^4 = 1.0498 \times 10^{-6} \text{ m}^4$。

對於空心圓柱體（或複合材料的某一層），其極慣性矩是外層極慣性矩減去內層極慣性矩。
鋁層的內半徑 $r_{aluminum, inner} = r_{steel} = 0.027$ m。
鋁層的外半徑 $r_{aluminum, outer} = r_{outer} = 0.036$ m。
鋁層的極慣性矩：
$J_{aluminum} = \frac{\pi}{2} (r_{aluminum, outer}^4 - r_{aluminum, inner}^4) = \frac{\pi}{2} ((0.036 \text{ m})^4 - (0.027 \text{ m})^4)$
$J_{aluminum} = \frac{\pi}{2} (1.6796 \times 10^{-6} - 0.5314 \times 10^{-6}) \text{ m}^4 = \frac{\pi}{2} (1.1482 \times 10^{-6}) \text{ m}^4 = 1.8042 \times 10^{-6} \text{ m}^4$。

步驟 2：分析扭矩在鋼芯和鋁層中的分佈。
假設總扭矩 $T$ 在鋼芯和鋁層中被分配為 $T_{steel}$ 和 $T_{aluminum}$，即 $T = T_{steel} + T_{aluminum}$。
根據扭轉公式 $\tau = \frac{G}{r} \frac{T L}{J}$，剪應力 $\tau$ 與扭矩 $T$ 和半徑 $r$ 成正比，與極慣性矩 $J$ 成反比。
同時，由 $\tau = G r \frac{d\phi}{dx}$，可知 $\frac{T L}{J} = G r \frac{d\phi}{dx}$。
由於軸的扭轉角度 $\phi$ 在整個長度上是相同的，即 $\frac{d\phi}{dx}$ 是常數。
令 $\theta = \frac{d\phi}{dx}$ 為單位長度的扭轉角度。
則 $\tau = G r \theta$。
對於鋼芯，$\tau_{steel} = G_{steel} r \theta$。
對於鋁層，$\tau_{aluminum} = G_{aluminum} r \theta$。

我們知道扭矩 $T = \int_A \rho \tau dA = \int_A \rho (G \rho \theta) dA = \theta \int_A G \rho^2 dA$。
其中 $\rho$ 是離軸心的距離，$dA$ 是微小面積。
$\int_A \rho^2 dA$ 就是極慣性矩 $J$。
所以，$T = \theta G J$。
因此，$T_{steel} = \theta G_{steel} J_{steel}$ 且 $T_{aluminum} = \theta G_{aluminum} J_{aluminum}$。

步驟 3：計算扭轉角度 $\theta$ (單位長度)。
總扭矩 $T = T_{steel} + T_{aluminum} = \theta G_{steel} J_{steel} + \theta G_{aluminum} J_{aluminum}$。

核心觀念

本題考查懸臂式簡支樑的：

• 支承反力計算
• 剪力圖與彎矩圖判斷
• 最大彎矩位置
• 彎曲應力與斷面係數的關係

圖中 $A$ 為鉸支承、$D$ 為滾支承，$DB$ 為長度 $1.5\ \text{m}$ 的右側懸臂段。均佈載重 $48\ \text{kN/m}$ 作用於整段 $AB$，總長度為

$$AB=6+1.5=7.5\ \text{m}$$

集中力 $90\ \text{kN}$ 作用於距離 $A$ 點 $2.7\ \text{m}$ 的 $C$ 點。

彎曲應力公式為

$$\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}}{S}$$

因此所需斷面係數為

$$S_{\text{req}}=\frac{M_{\max}}{\sigma_{\text{all}}}$$

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解題方法

1. 計算支承反力

均佈載重合力為

$$W=48(7.5)=360\ \text{kN}$$

作用位置在 $AB$ 中點，距離 $A$ 為 $3.75\ \text{m}$。

取 $A$ 點力矩：

$$\sum M_A=0$$ $$D_y(6)-360(3.75)-90(2.7)=0$$

因此

$$D_y=\frac{360(3.75)+90(2.7)}{6} =265.5\ \text{kN}$$

再由鉛直力平衡：

$$A_y+D_y-360-90=0$$ $$A_y=450-265.5=184.5\ \text{kN}$$

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2. 判斷最大彎矩

在 $A$ 至 $C$ 段，距離 $A$ 為 $x$ 的截面彎矩為

$$M(x)=184.5x-\frac{48x^2}{2}$$

在 $C$ 點：

$$M_C=184.5(2.7)-\frac{48(2.7)^2}{2}$$ $$M_C=323.19\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

在 $C$ 至 $D$ 段，集中力會使剪力降低 $90\ \text{kN}$。$D$ 點左側的彎矩為

$$M_D=184.5(6)-90(6-2.7)-\frac{48(6)^2}{2}$$ $$M_D=-54.0\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

因此：

• $C$ 點為正彎矩極大位置；
• $D$ 點為負彎矩位置；
• 最大絕對值彎矩為

$$M_{\max}=323.19\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

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本題考查懸臂樑在集中載荷和集中力矩作用下的變形分析，主要使用積分法或疊加法。

核心觀念：

1. 樑的彎曲微分方程式： $EI \frac{d^2y}{dx^2} = M(x)$。
2. 邊界條件： 鉸支點 A ($y=0, M=0$)，滾支承 B ($y=0$)。
3. 積分法求解： 通過對彎矩圖積分兩次，並利用邊界條件求解積分常數，得到樑的撓度曲線 $y(x)$。

解題步驟：

已知條件：

• 樑 AB 為均質樑 (prismatic beam)，長度為 L。
• A 端為鉸支點 (pinned support)，B 端為滾支承 (roller support)。
• 在 A 端作用一逆時針彎矩 $M_0 = \frac{2PL}{3}$。
• 在 D 點 (距離 A 點 $\frac{2L}{3}$) 作用一向下集中載荷 P。

步驟 1：求解支反力。
由於 A 端為鉸支點，B 端為滾支承，且 A 端有集中力矩 $M_0$。
設 A 端支反力為 $R_A$ (垂直向上)，B 端支反力為 $R_B$ (垂直向上)。
對樑 AB 進行力矩平衡，以 A 點為參考點，逆時針為正。
$\sum M_A = 0$:
$M_0 - P \times (\frac{2L}{3}) - R_B \times L = 0$
$\frac{2PL}{3} - \frac{2PL}{3} - R_B L = 0$
$0 - R_B L = 0 \Rightarrow R_B = 0$。

這意味著 B 端的支反力為零，這是不尋常的，但根據題目給定的力矩和載荷，這是數學上的結果。
垂直力平衡：
$\sum F_y = 0$:
$R_A - P = 0 \Rightarrow R_A = P$。

步驟 2：建立彎矩方程式 $M(x)$。
從 A 端開始，設距離 A 點為 $x$。

對於 $0 \le x \le \frac{2L}{3}$ (AD 段)：
此段的彎矩由 A 端的力矩 $M_0$ 和 P 點的力 P 產生。
$M(x) = M_0 - P(x)$ （如果 $M_0$ 是作用在 A 端的力矩，則它直接影響彎矩，若為反力矩則需注意符號）。
題目說明 $M_0$ 作用在 A 端，是逆時針的彎矩。
$M(x) = M_0 - P x = \frac{2PL}{3} - P x$。

對於 $\frac{2L}{3} \le x \le L$ (DB 段)：
$M(x) = M_0 - P (\frac{2L}{3}) - R_B (x-L)$
由於 $R_B = 0$，且 $M_0 - P (\frac{2L}{3}) = 0$，
所以，在 DB 段，$M(x) = 0$。

步驟 3：利用積分法求解撓度曲線 $y(x)$。
樑的彎曲微分方程式：$EI \frac{d^2y}{dx^2} = M(x)$。

對於 $0 \le x \le \frac{2L}{3}$ (AD 段)：
$EI \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2PL}{3} - P x$
積分一次得到斜率 $\frac{dy}{dx}$：
$EI \frac{dy}{dx} = \int (\frac{2PL}{3} - P x) dx = \frac{2PL}{3} x - \frac{1}{2} P x^2 + C_1$。
積分兩次得到撓度 $y(x)$：
$EI y(x) = \int (\frac{2PL}{3} x - \frac{1}{2} P x^2 + C_1) dx = \frac{1}{2} \frac{2PL}{3} x^2 - \frac{1}{6} P x^3 + C_1 x + C_2$
$EI y(x) = \frac{PL}{3} x^2 - \frac{1}{6} P x^3 + C_1 x + C_2$。

對於 $\frac{2L}{3} \le x \le L$ (DB 段)：
$EI \frac{d^2y}{dx^2} = M(x) = 0$。
積分一次得到斜率：
$EI \frac{dy}{dx} = C_3$。
積分兩次得到撓度：
$EI y(x) = C_3 x + C_4$。

步驟 4：應用邊界條件求解常數 $C_1, C_2, C_3, C_4$。
邊界條件：

1. 在 A 端 ($x=0$)，鉸支點：$y(0) = 0$。
   代入 AD 段的 $y(x)$ 方程式：$EI y(0) = \frac{PL}{3} (0)^2 - \frac{1}{6} P (0)^3 + C_1 (0) + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 0$。
2. 在 B 端 ($x=L$)，滾支承：$y(L) = 0$。
   代入 DB 段的 $y(x)$ 方程式：$EI y(L) = C_3 L + C_4 = 0$。
3. 在 C 點 ($x = \frac{2L}{3}$)，AD 段和 DB 段的斜率必須連續：
   $EI \frac{dy}{dx}|_{x=\frac{2L}{3}, AD} = EI \frac{dy}{dx}|_{x=\frac{2L}{3}, DB}$。
   $\frac{2PL}{3} (\frac{2L}{3}) - \frac{1}{2} P (\frac{2L}{3})^2 + C_1 = C_3$
   $\frac{4PL^2}{9} - \frac{1}{2} P (\frac{4L^2}{9}) + C_1 = C_3$
   $\frac{4PL^2}{9} - \frac{2PL^2}{9} + C_1 = C_3$
   $\frac{2PL^2}{9} + C_1 = C_3$。
4. 在 C 點 ($x = \frac{2L}{3}$)，AD 段和 DB 段的撓度必須連續：