109 年 國立成功大學工程科學系碩士班己組《控制系統》

核心觀念

本題考查：

• 負回授系統的閉迴路傳遞函數。
• 追蹤正弦輸入所需的內部模型原理。
• 抑制階躍干擾所需的積分作用。
• Routh–Hurwitz criterion 穩定性判斷。

令被控體為

$$G(s)=\frac{1}{s+3}$$

回授為單位負回授。

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(1) 求 $Y(s)$

由方塊圖可得誤差信號

$$E(s)=R(s)-Y(s)$$

控制器輸出為

$$U(s)=C(s)E(s)=C(s)\bigl[R(s)-Y(s)\bigr]$$

干擾 $D(s)$ 加在被控體輸入端，因此

$$Y(s)=G(s)\bigl[U(s)+D(s)\bigr]$$

代入 $G(s)=1/(s+3)$：

$$Y(s)=\frac{1}{s+3} \left\{ C(s)\bigl[R(s)-Y(s)\bigr]+D(s) \right\}$$

整理得

$$(s+3)Y(s)=C(s)R(s)-C(s)Y(s)+D(s)$$

因此

$$\bigl[s+3+C(s)\bigr]Y(s) = C(s)R(s)+D(s)$$

所以

$$\boxed{ Y(s)= \frac{C(s)}{s+3+C(s)}R(s) + \frac{1}{s+3+C(s)}D(s) }$$

亦可寫成標準形式：

$$\boxed{ Y(s)= \frac{G(s)C(s)}{1+G(s)C(s)}R(s) + \frac{G(s)}{1+G(s)C(s)}D(s) }$$

其中：

• $R(s)$ 至輸出的閉迴路傳遞函數為 $\dfrac{G(s)C(s)}{1+G(s)C(s)}$。
• $D(s)$ 至輸出的干擾傳遞函數為 $\dfrac{G(s)}{1+G(s)C(s)}$。

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(2) 設計控制器 $C(s)$

設計要求

輸入為

$$r(t)=\sin 2t$$

干擾為單位階躍：

$$d(t)=u(t), \qquad D(s)=\frac{1}{s}$$

追蹤正弦輸入

誤差為

$$E(s)=R(s)-Y(s)$$

由負回授系統可得

$$\frac{E(s)}{R(s)} = \frac{1}{1+G(s)C(s)}$$

若要使系統能夠消除頻率 $\omega=2$ 的正弦追蹤誤差，控制器必須包含內部模型

$$s^2+4$$

因此 $C(s)$ 的分母需包含 $s^2+4$。

抑制階躍干擾

干擾至輸出的傳遞函數為

$$\frac{Y(s)}{D(s)} = \frac{G(s)}{1+G(s)C(s)} = \frac{1}{s+3+C(s)}$$

要消除階躍干擾的穩態影響，控制器需具有積分器，因此分母還需包含 $s$。

故可選擇控制器形式為

$$C(s)= K\frac{s^2+bs+c}{s(s^2+4)}$$

其中 $K>0$，$b,c$ 用於調整閉迴路穩定性。

取簡單參數

$$K=1,\qquad b=1,\qquad c=1$$

得到

$$\boxed{ C(s)=\frac{s^2+s+1}{s(s^2+4)} }$$

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驗證正弦追蹤

令迴路傳遞函數為

$$L(s)=G(s)C(s) = \frac{s^2+s+1}{(s+3)s(s^2+4)}$$

誤差傳遞函數為

核心觀念

依右圖，方塊內的「$x$-$y$ 輸入輸出關係」表示非線性函數 $y=f(x)$；回授線實際取自輸出 $y$，因此

$$e=r-y,\qquad x=ke,\qquad y=f(x).$$

左圖的非線性特性為

$$f(x)= \begin{cases} 10(x+1), & x<-1,\\ 0, & -1\le x\le 1,\\ 5(x-1), & x>1. \end{cases}$$

解題方法

由 $x=k(r-y)$ 可得

$$r=y+\frac{x}{k}.$$

令 $k=10$，因此

$$r=y+\frac{x}{10}.$$

(1) $k=10$ 時的 $y$-$r$ 關係

左側線段：$x<-1$

此時

$$y=10(x+1)=10x+10.$$

代入 $r=y+\dfrac{x}{10}$：

$$r=10x+10+\frac{x}{10} =\frac{101}{10}x+10.$$

因此

$$x=\frac{10r-100}{101},$$

且

$$y=10x+10 =\frac{100r+10}{101}.$$

由 $x<-1$ 可得 $r<-0.1$，所以

$$y=\frac{100r+10}{101},\qquad r<-\frac{1}{10}.$$

中央平坦區：$-1\le x\le 1$

此時

$$y=0.$$

又因為 $x=10(r-y)=10r$，所以

$$-1\le 10r\le 1 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{10}\le r\le\frac{1}{10}.$$

故

$$y=0,\qquad -\frac{1}{10}\le r\le\frac{1}{10}.$$

右側線段：$x>1$

此時

$$y=5(x-1)=5x-5.$$

代入 $r=y+\dfrac{x}{10}$：

$$r=5x-5+\frac{x}{10} =\frac{51}{10}x-5.$$

因此

$$x=\frac{10r+50}{51},$$

且

$$y=5x-5 =\frac{50r-5}{51}.$$

由 $x>1$ 可得 $r>0.1$，所以

$$y=\frac{50r-5}{51},\qquad r>\frac{1}{10}.$$

因此，$y$ 對 $r$ 的關係為

核心觀念

單位回授系統的開迴路轉移函數為

$$L(s)=G(s)=\frac{k}{s(s+1)(s+2)}$$

閉迴路轉移函數為

$$T(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}$$

本題使用的主要觀念如下：

• 增益交越頻率 $\omega_{gc}$：滿足 $|L(j\omega_{gc})|=1$。
• 相位交越頻率 $\omega_{pc}$：滿足 $\angle L(j\omega_{pc})=-180^\circ$。
• 相位裕度：

$$PM=180^\circ+\angle L(j\omega_{gc})$$

• 增益裕度：

$$GM=\frac{1}{|L(j\omega_{pc})|}$$

若以分貝表示：

$$GM_{\mathrm{dB}}=20\log_{10}(GM)$$

• 頻寬通常定義為閉迴路振幅降至低頻增益的 $1/\sqrt{2}$，亦即 $-3$ dB 所對應的頻率。
• Routh-Hurwitz criterion 可由特徵方程式係數判斷閉迴路系統穩定範圍。

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(1) 相位裕度為 $45^\circ$ 時的 $k$

解題方法

先由相位裕度決定增益交越頻率，再利用增益交越條件求 $k$。

開迴路頻率響應為

$$L(j\omega)=\frac{k}{j\omega(j\omega+1)(j\omega+2)}$$

其相位為

$$\angle L(j\omega) =-90^\circ-\tan^{-1}(\omega)-\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{2}\right)$$

相位裕度為 $45^\circ$，因此在增益交越頻率處：

$$45^\circ=180^\circ+\angle L(j\omega_{gc})$$

所以

$$\angle L(j\omega_{gc})=-135^\circ$$

代入相位式：

$$-90^\circ-\tan^{-1}(\omega_{gc}) -\tan^{-1}\left(\frac{\omega_{gc}}{2}\right) =-135^\circ$$

得到

$$\tan^{-1}(\omega_{gc}) +\tan^{-1}\left(\frac{\omega_{gc}}{2}\right) =45^\circ$$

兩邊取正切：

$$\frac{\omega_{gc}+\omega_{gc}/2} {1-\omega_{gc}^2/2}=1$$

整理得

$$\frac{3\omega_{gc}}{2}=1-\frac{\omega_{gc}^2}{2}$$ $$\omega_{gc}^2+3\omega_{gc}-2=0$$

取正根：

$$\omega_{gc}=\frac{\sqrt{17}-3}{2} \approx 0.5616\ \text{rad/s}$$

在增益交越頻率處，必須滿足

$$|L(j\omega_{gc})|=1$$

而

$$|L(j\omega)| = \frac{k} {\omega\sqrt{\omega^2+1}\sqrt{\omega^2+4}}$$

因此

$$k = \omega_{gc}\sqrt{\omega_{gc}^2+1} \sqrt{\omega_{gc}^2+4}$$

代入 $\omega_{gc}\approx0.5616$：

$$k\approx 0.5616\sqrt{1.3153}\sqrt{4.3153} \approx1.338$$

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(2) $k=2$ 時的增益裕度

解題方法

先求相位交越頻率，再計算該頻率下的開迴路增益。

相位交越條件為

$$\angle L(j\omega_{pc})=-180^\circ$$

因此

$$-90^\circ-\tan^{-1}(\omega_{pc}) -\tan^{-1}\left(\frac{\omega_{pc}}{2}\right) =-180^\circ$$

得到

$$\tan^{-1}(\omega_{pc}) +\tan^{-1}\left(\frac{\omega_{pc}}{2}\right) =90^\circ$$

當兩角和為 $90^\circ$ 時，正切加法公式的分母為零：

$$1-\frac{\omega_{pc}^2}{2}=0$$

所以

$$\omega_{pc}=\sqrt{2}\ \text{rad/s}$$

在 $\omega_{pc}=\sqrt{2}$ 時，

此題主要考察根軌跡 (Root Locus) 的繪製與分析，包括漸近線、分離角、穩定區域以及特定阻尼比條件下的 $k$ 值範圍。

核心觀念：

• 根軌跡的繪製規則：極點、零點、實軸軌跡、相交點、漸近線、分離角、閉迴路穩定區域。
• 根軌跡與系統穩定性的關係。
• 根軌跡與極點阻尼比的關係。

開迴路傳遞函數為 $G(s) = \frac{k}{(s+2)(s^2 + 2s+2)}$。
閉迴路傳遞函數為 $T(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)} = \frac{k}{(s+2)(s^2+2s+2)+k}$.
閉迴路系統的特徵方程式為 $(s+2)(s^2+2s+2)+k = 0$.
$s^3 + 2s^2 + 2s + 2s^2 + 4s + 4 + k = 0$.
$s^3 + 4s^2 + 6s + (4+k) = 0$.

開迴路極點：
$s=-2$.
$s^2+2s+2=0 \implies s = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = \frac{-2 \pm j2}{2} = -1 \pm j$.
所以，開迴路極點為 $p_1 = -2$, $p_2 = -1+j$, $p_3 = -1-j$.
開迴路零點：無 (因為 $k>0$)。
極點數 $n=3$, 零點數 $m=0$.

（1）繪製根軌跡圖。

• 實軸上的根軌跡：
  在 $s$ 軸上，尋找滿足 $1+G(s)=0$ 的點。
  $1 + \frac{k}{(s+2)(s^2+2s+2)} = 0$.
  $(s+2)(s^2+2s+2) = -k$.
  由於 $k>0$, $(s+2)(s^2+2s+2)$ 必須為負值。
  令 $f(s) = (s+2)(s^2+2s+2) = s^3+4s^2+6s+4$.
  我們需要 $f(s) < 0$.
  尋找 $f(s)$ 的根：$s=-2$ 是其中一個根。
  $s^2+2s+2$ 的根是 $-1 \pm j$.
  $f(s)$ 的根是 $-2$, $-1+j$, $-1-j$.
  在實軸上，我們需要考慮 $s < -2$ 和 $-2 < s < -1$.
  當 $s < -2$: $s+2 < 0$, $s^2+2s+2 > 0$ (因為實根為 $-1 \pm j$, 拋物線開口向上)。所以 $f(s) < 0$. 根軌跡存在於 $s < -2$.
  當 $-2 < s < -1$: $s+2 > 0$, $s^2+2s+2 > 0$. 所以 $f(s) > 0$. 根軌跡不存在於 $-2 < s < -1$.
  當 $s > -1$: $s+2 > 0$, $s^2+2s+2 > 0$. 所以 $f(s) > 0$. 根軌跡不存在於 $s > -1$.
  所以，實軸上的根軌跡在 $s < -2$。

• 漸近線 (Asymptotes)：
  數量: $n-m = 3-0 = 3$ 條。
  中心點 (Centroid): $\sigma_a = \frac{\sum \text{極點} - \sum \text{零點}}{n-m} = \frac{(-2) + (-1+j) + (-1-j)}{3} = \frac{-2-1-1}{3} = \frac{-4}{3} \approx -1.333$.
  角度: $\theta_a = \frac{(2\nu+1)180^\circ}{n-m}$, $\nu = 0, 1, 2$.
  $\nu=0: \theta_a = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.
  $\nu=1: \theta_a = \frac{3 \times 180^\circ}{3} = 180^\circ$.
  $\nu=2: \theta_a = \frac{5 \times 180^\circ}{3} = 300^\circ$ (或 $-60^\circ$).

• 根軌跡與漸近線的交點：
  當 $k \to \infty$, 根軌跡會趨近漸近線。
  漸近線為 $60^\circ$, $180^\circ$, $300^\circ$.
  中心點為 $-4/3$.

• 分離角 (Departure Angle)：
  根軌跡從複數極點 $-1 \pm j$ 出發。
  極點 $p_2 = -1+j$.
  根軌跡從 $p_2$ 出發的角度 $\phi_d$。
  $\phi_d = 180^\circ - \sum \angle (\text{極點到零點}) + \sum \angle (\text{零點到極點})$.
  這裡沒有零點。
  $\phi_d = 180^\circ - [\angle(p_2 - p_1) + \angle(p_2 - p_3)]$.
  $p_1 = -2$. $p_2 = -1+j$. $p_3 = -1-j$.
  $p_2 - p_1 = (-1+j) - (-2) = 1+j$. $\angle(1+j) = 45^\circ$.
  $p_2 - p_3 = (-1+j) - (-1-j) = 2j$. $\angle(2j) = 90^\circ$.
  $\phi_d = 180^\circ - [45^\circ + 90^\circ] = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
  對於極點 $p_3 = -1-j$, 分離角也是 $45^\circ$ (共軛極點)。

• 根軌跡與虛軸的交點：
  使用 Routh-Hurwitz 穩定判準。
  特徵方程式: $s^3 + 4s^2 + 6s + (4+k) = 0$.
  Routh 表：

  $s^3$	1	6
  $s^2$	4	$4+k$
  $s^1$	$b_1$	0
  $s^0$	$b_0$	0

  $b_1 = \frac{4 \times 6 - 1 \times (4+k)}{4} = \frac{24 - 4 - k}{4} = \frac{20-k}{4}$.
  $b_0 = k$.

  穩定性要求：第一列所有元素大於零。
  $1>0$, $4>0$.
  $b_1 = \frac{20-k}{4} > 0 \implies 20-k > 0 \implies k < 20$.
  $b_0 = k > 0$.
  所以，系統穩定的 $k$ 值範圍是 $0 < k < 20$.

  虛軸交點發生在 $s^1$ 行為零時，即 $b_1=0$.
  $\frac{20-k}{4} = 0 \implies k = 20$.
  當 $k=20$ 時，特徵方程式為 $s^3+4s^2+6s+24=0$.
  $s^2$ 行為 $4s^2 + (4+20) = 4s^2 + 24$.
  輔助方程式為 $4s^2 + 24 = 0 \implies s^2 = -6 \implies s = \pm j\sqrt{6}$.
  所以，根軌跡與虛軸的交點為 $\pm j\sqrt{6}$.
  虛軸交點頻率 $\omega_c = \sqrt{6} \approx 2.45$.

• 繪製根軌跡圖：

  1. 標出極點 $p_1=-2$, $p_2=-1+j$, $p_3=-1-j$. 無零點。
  2. 實軸軌跡在 $s < -2$.
  3. 漸近線：中心點 $-4/3$, 角度 $60^\circ, 180^\circ, 300^\circ$.
  4. 根軌跡從 $p_2, p_3$ 分離，角度為 $45^\circ$.
  5. 根軌跡與虛軸交點為 $\pm j\sqrt{6}$.
  6. 繪製三條漸近線，從實軸軌跡 $s<-2$ 開始，向左下方 ($300^\circ$), 向左 ($180^\circ$), 向左上方 ($60^\circ$) 延伸。
  7. 根軌跡從 $-1+j$ 出發，沿 $60^\circ$ 漸近線向左上方延伸，並在虛軸 $\omega=\sqrt{6}$ 處與另一條軌跡相遇。

此題主要考驗對狀態空間表示法的理解，以及如何組合串聯和並聯系統的狀態空間表示式。

核心觀念：

• 狀態空間表示式：$\dot{x} = Ax + Bu$, $y = Cx + Du$.
• 串聯系統的組合。
• 並聯系統的組合。

已知 $G_1$ 的狀態空間表示式為：
$\dot{x}_1 = A_1 x_1 + B_1 u_1$
$y_1 = C_1 x_1$
其中 $x_1$ 是 $n_1$ 維狀態向量，$u_1$ 是輸入，$y_1$ 是輸出。

已知 $G_2$ 的狀態空間表示式為：
$\dot{x}_2 = A_2 x_2 + B_2 u_2$
$y_2 = C_2 x_2$
其中 $x_2$ 是 $n_2$ 維狀態向量，$u_2$ 是輸入，$y_2$ 是輸出。

（1）串聯系統的狀態空間表示式。

系統結構：$u_1 \to G_1 \to y_1 (=u_2) \to G_2 \to y_2$.
總輸入為 $u = u_1$.
總輸出為 $y = y_2$.
狀態向量為 $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$.

系統方程為：

1. $\dot{x}_1 = A_1 x_1 + B_1 u_1$
2. $y_1 = C_1 x_1$
3. $\dot{x}_2 = A_2 x_2 + B_2 u_2$
4. $y_2 = C_2 x_2$

將 $u_1 = u$ 和 $u_2 = y_1$ 代入：

1. $\dot{x}_1 = A_1 x_1 + B_1 u$
2. $y_1 = C_1 x_1$
3. $\dot{x}_2 = A_2 x_2 + B_2 y_1 = A_2 x_2 + B_2 (C_1 x_1)$
4. $y = y_2 = C_2 x_2$

將方程重新整理成標準的狀態空間形式：
$\dot{x} = \begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix}$
$\dot{x}_1 = A_1 x_1 + 0 x_2 + B_1 u$
$\dot{x}_2 = B_2 C_1 x_1 + A_2 x_2 + 0 u$

所以，狀態方程矩陣為：
$A = \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ B_2 C_1 & A_2 \end{bmatrix}$
$B = \begin{bmatrix} B_1 \\ 0 \end{bmatrix}$

輸出方程為：
$y = C x$
$y = 0 x_1 + C_2 x_2$

所以，輸出矩陣為：
$C = \begin{bmatrix} 0 & C_2 \end{bmatrix}$
$D = 0$ (因為沒有直接從輸入 $u$ 到輸出 $y$ 的路徑)。

【答案】 (1)
狀態空間表示式為：