115 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《控制系統》

核心觀念

本題使用梅森增益公式。若前進路徑增益為 $P_k$、其餘因子為 $\Delta_k$，則

$$\frac{Y_{\mathrm{out}}}{Y_{\mathrm{in}}} = \frac{\sum_k P_k\Delta_k}{\Delta}$$

其中 $\Delta$ 由所有單一回路增益計算；若沒有彼此不接觸的回路，就只有 $1-\sum_i L_i$。

解題方法

圖中的主幹為 $Y_1\to Y_2\to Y_3\to Y_4\to Y_5\to Y_6\to Y_7$，兩端支路增益為 $1$；另外有 $Y_2\to Y_5$ 的 $G_6$、$Y_4\to Y_6$ 的 $G_5$，以及由 $Y_5$、$Y_6$ 回到前方節點的 $H_1,H_2,H_3$。

依箭頭方向列出七個回路增益：

$$\begin{aligned} L_1&=G_2G_3H_1, & L_2&=G_1G_2G_3H_2,\\ L_3&=G_1G_2G_3G_4H_3, & L_4&=G_6H_2,\\ L_5&=G_6G_4H_3, & L_6&=G_1G_2G_5H_3,\\ L_7&=G_6H_1G_2G_5H_3. \end{aligned}$$

七個回路彼此都接觸，因此沒有不接觸回路的乘積項。各前進路徑也都與所有回路相接，故各路徑餘因子 $\Delta_k=1$。因此

$$\Delta = 1-G_2G_3H_1-G_1G_2G_3H_2-G_1G_2G_3G_4H_3 -G_6H_2-G_6G_4H_3-G_1G_2G_5H_3-G_6H_1G_2G_5H_3$$

(1) 求 $\dfrac{Y_7}{Y_1}$

由 $Y_1$ 到 $Y_7$ 的前進路徑增益為

$$\begin{aligned} P_1&=G_1G_2G_3G_4,\\ P_2&=G_1G_2G_5,\\ P_3&=G_6G_4,\\ P_4&=G_6H_1G_2G_5. \end{aligned}$$

第四條路徑是 $Y_2\to Y_5\to Y_3\to Y_4\to Y_6\to Y_7$，依序經過 $G_6,H_1,G_2,G_5$，再經過增益為 $1$ 的末端支路。套用梅森增益公式：

核心觀念

以電容電壓 $v_C$ 和電感電流 $i_L$ 作為狀態變數。電容與電阻 $R_2$ 並聯，因此輸出電壓 $y=v_C$。利用節點電流定律求 $v_C$ 的微分方程，再以迴路電壓定律求 $i_L$ 的微分方程。

解題方法

在輸出節點套用節點電流定律：

$$i_L=i_C+i_{R_2} =C\frac{dv_C}{dt}+\frac{v_C}{R_2}$$

整理得：

$$\frac{dv_C}{dt} =-\frac{1}{R_2C}v_C+\frac{1}{C}i_L$$

沿輸入迴路套用迴路電壓定律：

$$u=R_1i_L+L\frac{di_L}{dt}+v_C$$

整理得：

$$\frac{di_L}{dt} =-\frac{1}{L}v_C-\frac{R_1}{L}i_L+\frac{1}{L}u$$

(1) 狀態空間表示式

令狀態向量 $\mathbf{x}=[v_C\;\;i_L]^T$，則：

$$\dot{\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} -\dfrac{1}{R_2C} & \dfrac{1}{C}\\[4pt] -\dfrac{1}{L} & -\dfrac{R_1}{L} \end{bmatrix} \mathbf{x} + \begin{bmatrix} 0\\[2pt] \dfrac{1}{L} \end{bmatrix}u$$

輸出方程為：

$$y= \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{x} +0u$$

(2) 信號流程圖

兩個狀態變數分別由積分器輸出；積分器輸入是各狀態微分方程右側的加權總和。

核心觀念

此題考查相位超前補償器的設計。圖中為單位負回授系統，受控體為

$$G(s)=\frac{5}{s(s+1)}.$$

開迴路傳遞函數為 $L(s)=C(s)G(s)$。單位斜坡輸入的穩態誤差由速度誤差常數決定：

$$K_v=\lim_{s\to 0}sL(s),\qquad e_{\mathrm{ss}}=\frac{1}{K_v}.$$

相位餘裕則在增益交越頻率 $\omega_c$ 處計算：

$$|L(j\omega_c)|=1,\qquad \mathrm{PM}=180^\circ+\angle L(j\omega_c).$$

解題方法

採用標準相位超前補償器形式

$$C(s)=K\frac{Ts+1}{\alpha Ts+1},\qquad 0<\alpha<1.$$

此形式的直流增益為 $K$，且能在適當頻率提供正相位。

先由斜坡穩態誤差規格決定 $K$。因為

$$K_v=\lim_{s\to 0}s\left[C(s)\frac{5}{s(s+1)}\right]=5K,$$

所以 $e_{\mathrm{ss}}\le 0.05$ 要求

$$\frac{1}{5K}\le 0.05 \quad\Longrightarrow\quad K\ge 4.$$

取 $K=4$，即可恰好滿足穩態誤差規格。接著選定增益交越頻率 $\omega_c=5\ \mathrm{rad/s}$，使補償器的相位超前恰好補足所需相位。

在 $\omega_c=5$ 處，受控體相位為

$$\angle G(j5)=-90^\circ-\tan^{-1}(5).$$

要使相位餘裕為 $45^\circ$，補償器需提供的相位為

$$\phi=45^\circ+\tan^{-1}(5)-90^\circ =\tan^{-1}(5)-45^\circ \approx 33.69^\circ.$$

令 $x=\omega_cT$。在交越頻率處，開迴路增益條件 $|L(j5)|=1$ 給出

核心觀念

1. 廣義根軌跡（Generalized Root Locus / Parameter Root Locus）：
   當系統特徵方程式中的未知參數（此處為極點位置參數 $p$）並非傳統的正向增益 $K$，而是系統參數時，須將閉迴路特徵方程式重組為標準根軌跡形式：
   $1 + p \cdot G_{eq}(s) = 0$
   藉此以 $p$ 作為增益繪製根軌跡圖。
2. 閉迴路穩定度判據：
   • 閉迴路系統穩定的充要條件為所有閉迴路極點皆位於左半平面（LHP）。
   • 虛軸交點對應臨界穩定，可利用 Routh-Hurwitz 穩定度準則或代入 $s = j\omega$ 求得對應的臨界參數值。

---

解題方法與完整推導

(1) 依參數 $p$ 繪製根軌跡圖

步驟 1：建立以 $p$ 為變數的等效特徵方程式

閉迴路特徵方程式為 $1 + G(s) = 0$：
$1 + \frac{s-1}{(s+1)(s+2)(s+p)} = 0$

兩邊同乘以 $(s+1)(s+2)(s+p)$：
$(s+1)(s+2)(s+p) + (s-1) = 0$

展開並分離含 $p$ 的項與不含 $p$ 的項：
$(s^2 + 3s + 2)(s+p) + (s-1) = 0$
$(s^3 + 3s^2 + 2s + s - 1) + p(s^2 + 3s + 2) = 0$
$(s^3 + 3s^2 + 3s - 1) + p(s+1)(s+2) = 0$

將上式改寫成以 $p$ 為增益的標準根軌跡形式：
$1 + p \cdot \frac{(s+1)(s+2)}{s^3 + 3s^2 + 3s - 1} = 0$

令等效開迴路轉移函數為：
$G_{eq}(s) = \frac{(s+1)(s+2)}{s^3 + 3s^2 + 3s - 1}$

步驟 2：決定等效開迴路極點與零點

• 等效零點（Zeros）：$n_z = 2$
  $z_1 = -1,\quad z_2 = -2$
• 等效極點（Poles）：$n_p = 3$
  解方程式 $s^3 + 3s^2 + 3s - 1 = 0$。
  利用題目所附提示：$x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = 0$ 之根為：
  $p_1 = 0.2599,\quad p_{2,3} = -1.63 \pm 1.0911j$

---

步驟 3：繪製正根軌跡（$p > 0$）

1. 實軸上的軌跡：
   依奇數法則（實軸上某區間右側的實數極、零點總數為奇數）：
   • 實軸上的等效極點為 $0.2599$，零點為 $-1$ 與 $-2$。
   • 軌跡存在區間：$[-1, 0.2599]$ 以及 $(-\infty, -2]$。
2. 漸近線（Asymptotes）：
   • 漸近線支數：$n_p - n_z = 3 - 2 = 1$。
   • 漸近線角度：
     $\theta = \frac{180^\circ}{3 - 2} = 180^\circ$
   • 軌跡沿負實軸趨向 $-\infty$。
3. 分離點與聚合點（Breakaway / Break-in points）：
   由方程式 $p = -\frac{s^3 + 3s^2 + 3s - 1}{s^2 + 3s + 2}$，令 $\frac{dp}{ds} = 0$：
   $\frac{d}{ds}\left[\frac{s^3 + 3s^2 + 3s - 1}{s^2 + 3s + 2}\right] = 0$
   $(3s^2 + 6s + 3)(s^2 + 3s + 2) - (s^3 + 3s^2 + 3s - 1)(2s + 3) = 0$
   展開並化簡：
   $3(s+1)^2 (s+1)(s+2) - [(s+1)^3 - 2](2s+3) = 0$
   令 $u = s+1$，上式可寫為：
   $3u^3(u+1) - (u^3 - 2)(2u+1) = 0$
   $3u^4 + 3u^3 - (2u^4 + u^3 - 4u - 2) = 0$
   $u^4 + 2u^3 + 4u + 2 = 0$
   因實軸區間 $[-1, 0.2599]$ 連接極點 $0.2599$ 與零點 $-1$，且 $(-\infty, -2]$ 自零點 $-2$ 向左延伸至 $-\infty$，故實軸上無正根軌跡的分離／聚合點。複數極點對 $s = -1.63 \pm 1.0911j$ 直接彎向實軸外的左半平面，並在左半平面趨近零點 $s = -2$ 及漸近線，另一支軌跡由 $s = 0.2599$ 沿實軸向左終止於 $s = -1$。

---

步驟 4：繪製負根軌跡（$p < 0$）

若考慮 $p < 0$（互補根軌跡，Complementary Root Locus）：

• 實軸上的軌跡：右側實數極、零點總數為偶數的區間：
  $[0.2599, \infty)\quad \text{與}\quad [-2, -1]$
• 漸近線角度：
  $\theta = \frac{0^\circ}{1} = 0^\circ \quad (\text{向正實軸 } +\infty \text{ 延伸})$

核心觀念

先化簡內迴路，再分析外層單位負回授。穩定性可由閉迴路特徵方程判斷；單位斜坡的穩態誤差則使用速度誤差常數 $K_v$。最大超越量為 $0$ 的條件，可由標準二階系統的阻尼比判定。

解題方法

由圖可知，$k_2$ 經負回授接到第二個加總點，與前向植物 $1/(s+1)$ 形成內迴路。該內迴路等效為

$$\frac{Y(s)}{V(s)} = \frac{\frac{1}{s+1}}{1+\frac{k_2}{s+1}} = \frac{1}{s+1+k_2},$$

其中 $V(s)$ 是 $k_1/s$ 的輸出。因此，外層單位回授的前向傳遞函數為

$$G(s)=\frac{k_1}{s(s+1+k_2)}.$$

(1) 系統穩定範圍

外層閉迴路特徵方程為

$$1+G(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad s^2+(1+k_2)s+k_1=0.$$

二階特徵方程穩定的條件是各係數皆為正，因此

$$k_1>0,\qquad 1+k_2>0.$$

故穩定範圍為

$$\boxed{k_1>0,\qquad k_2>-1.}$$

(2) 單位斜坡輸入的穩態誤差

系統有一個積分器，屬於第一型系統。速度誤差常數為

$$K_v=\lim_{s\to 0}sG(s) =\lim_{s\to 0}\frac{k_1}{s+1+k_2} =\frac{k_1}{1+k_2}.$$

單位斜坡輸入的穩態誤差為 $e_{\mathrm{ss}}=1/K_v$，所以