115 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《通信系統》

這題是關於行動通信系統、調變技術、衛星通信以及訊號頻寬的綜合性概念題。

(a) 第四代行動通信系統的名稱是 LTE (Long-Term Evolution) 或更廣泛地稱為 4G。

(b) 第四代行動通信系統主要使用 OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) 作為其無線存取技術，並結合了 MIMO (Multiple-Input Multiple-Output) 技術來提升頻譜效率和系統容量。在多重存取方面，OFDM 結合了分時多重存取 (TDMA)、分頻多重存取 (FDMA) 和分碼多重存取 (CDMA) 的概念，但其核心是將一個寬頻通道劃分為多個窄頻子載波，每個子載波獨立調變，實現了正交性，減少了符間干擾。

(c) 廣播系統之所以廣泛使用頻率調變 (FM) 而非相位調變 (PM)，主要原因在於：

1. 接收端的解調複雜度與成本： FM 接收機的設計相對簡單且成本較低，它主要依賴於鑑頻器 (discriminator) 或斜率偵測器 (slope detector) 來將頻率變化轉換為振幅變化，進而解調出訊號。而 PM 接收機需要積分器來將相位變化轉換為頻率變化，再進行解調，這會增加電路複雜度。
2. 對訊號振幅變化的不敏感性： FM 系統對接收訊號的振幅變化不敏感，這使得它能更好地抵抗雜訊和干擾，因為廣播環境中訊號衰減和路徑效應是不可避免的。PM 系統理論上也是對振幅不敏感的，但實際應用中，FM 的設計更容易實現這種特性。
3. 音質考量： 在音訊廣播中，FM 能夠提供比 AM 更寬的頻寬，從而獲得更高的音質。雖然 PM 也能實現寬頻調變，但 FM 在實際應用中更容易達到所需的音訊品質。
4. 歷史發展與標準化： FM 廣播技術發展較早，並成為國際標準，這也促進了其廣泛應用。

(d) 使用低地球軌道 (LEO) 衛星進行全球衛星行動通訊的主要原因包括：

1. 較低的傳播延遲： LEO 衛星距離地球表面較近（通常在 500 到 2000 公里之間），相較於地球同步軌道 (GEO) 衛星（約 36000 公里），訊號傳播的往返時間（延遲）大大縮短。這對於需要即時互動的行動通訊至關重要，可以減少通話時的延遲感。
2. 較低的發射功率需求： 由於距離較近，LEO 衛星只需要較低的發射功率即可與地面終端設備建立連線，這有助於減小終端設備的尺寸、功耗和成本。

此題考驗對週期訊號傅立葉級數的計算能力，需要識別訊號的特性並應用傅立葉級數的定義。

觀察圖 1 中的週期訊號 $x(t)$。
訊號是週期性的，週期 $T = 2$。
因此，基頻角頻率 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi$。
訊號 $x(t)$ 的波形如下：
在 $-1 \le t \le 1$ 的區間內，$x(t)$ 是一個三角波，其峰值為 1。
該區間的函數可以表示為：
當 $0 \le t \le 1$ 時，$x(t) = 1 - t$。
當 $-1 \le t \le 0$ 時，$x(t) = 1 + t$。
所以，在 $-1 \le t \le 1$ 區間內，$x(t) = 1 - |t|$。

由於 $x(t)$ 是偶函數（關於 y 軸對稱），其傅立葉級數展開式將只包含直流分量 $a_0$ 和餘弦項 $a_n$。
$x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n\omega_0 t)$

1. 計算直流分量 $a_0$：
   $a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) dt = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x(t) dt$
   由於訊號在 $[-1, 1]$ 區間內是 $1-|t|$，且這就是一個週期，所以積分範圍可以取為 $[-1, 1]$。
   $a_0 = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} (1 - |t|) dt$
   由於 $1-|t|$ 是偶函數，積分範圍可以縮小並乘以 2：
   $a_0 = \frac{1}{2} \times 2 \int_{0}^{1} (1 - t) dt = \int_{0}^{1} (1 - t) dt$
   $a_0 = [t - \frac{t^2}{2}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{2}) - (0 - 0) = \frac{1}{2}$

2. 計算餘弦係數 $a_n$：
   $a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \cos(n\omega_0 t) dt = \frac{2}{2} \int_{-1}^{1} x(t) \cos(n\pi t) dt = \int_{-1}^{1} (1 - |t|) \cos(n\pi t) dt$
   由於 $(1 - |t|) \cos(n\pi t)$ 是偶函數，積分範圍可以縮小並乘以 2：
   $a_n = 2 \int_{0}^{1} (1 - t) \cos(n\pi t) dt$

   我們需要計算 $\int_{0}^{1} (1 - t) \cos(n\pi t) dt$。
   使用分部積分法：$\int u dv = uv - \int v du$。
   令 $u = 1-t \implies du = -dt$
   令 $dv = \cos(n\pi t) dt \implies v = \frac{1}{n\pi} \sin(n\pi t)$

   $\int_{0}^{1} (1 - t) \cos(n\pi t) dt = \left[ (1-t) \frac{1}{n\pi} \sin(n\pi t) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{n\pi} \sin(n\pi t) (-dt)$

此題考驗對希爾伯特轉換 (Hilbert Transform) 的定義及其性質的理解與證明能力。

希爾伯特轉換的定義為：
$\hat{x}(t) = \frac{1}{\pi} \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\tau)}{t - \tau} d\tau$
其中 p.v. 表示主值積分 (Cauchy principal value)，以處理 $t = \tau$ 時的奇異點。

(a) 證明：若 $x(t)$ 為偶函數，則 $\hat{x}(t)$ 為奇函數。
已知 $x(t) = x(-t)$ (偶函數)。
根據希爾伯特轉換的定義：
$\hat{x}(t) = \frac{1}{\pi} \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\tau)}{t - \tau} d\tau$
我們需要計算 $\hat{x}(-t)$：
$\hat{x}(-t) = \frac{1}{\pi} \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\tau)}{-t - \tau} d\tau$
令 $\sigma = -\tau$。則 $d\sigma = -d\tau$。當 $\tau \to \infty$ 時，$\sigma \to -\infty$；當 $\tau \to -\infty$ 時，$\sigma \to \infty$。
$\hat{x}(-t) = \frac{1}{\pi} \text{p.v.} \int_{\infty}^{-\infty} \frac{x(-\sigma)}{-t - (-\sigma)} (-d\sigma)$
$\hat{x}(-t) = \frac{1}{\pi} \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(-\sigma)}{-t + \sigma} d\sigma$
因為 $x(t)$ 是偶函數，所以 $x(-\sigma) = x(\sigma)$。
$\hat{x}(-t) = \frac{1}{\pi} \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\sigma)}{\sigma - t} d\sigma$
$\hat{x}(-t) = \frac{1}{\pi} \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\sigma)}{-(\dot{t} - \sigma)} d\sigma$
$\hat{x}(-t) = -\frac{1}{\pi} \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\sigma)}{t - \sigma} d\sigma$
$\hat{x}(-t) = -\hat{x}(t)$
因此，若 $x(t)$ 為偶函數，則 $\hat{x}(t)$ 為奇函數。

(b) 證明：若 $x(t) = \cos(\omega_0 t)$，則 $\hat{x}(t) = \sin(\omega_0 t)$。
令 $x(t) = \cos(\omega_0 t)$。
$\hat{x}(t) = \frac{1}{\pi} \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(\omega_0 \tau)}{t - \tau} d\tau$
我們知道 $\cos(\theta) = \text{Re}\{e^{j\theta}\}$。
$\hat{x}(t) = \frac{1}{\pi} \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\text{Re}\{e^{j\omega_0 \tau}\}}{t - \tau} d\tau$
$\hat{x}(t) = \text{Re}\left\{ \frac{1}{\pi} \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{j\omega_0 \tau}}{t - \tau} d\tau \right\}$
考慮複數積分 $\oint_C \frac{e^{j\omega_0 z}}{t - z} dz$。
我們可以使用複數分析中的留數定理來計算這個積分。

此題考驗對連續時間傅立葉轉換 (CTFT) 的基本性質及常見訊號的傅立葉轉換公式的應用。

(a) 尋找 $x(t) = \sin(5t)\sin(7t)$ 的傅立葉轉換。
我們可以使用三角函數的積化和差公式：
$\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$
令 $A=7t$ 且 $B=5t$ (順序不影響結果，但有助於得到正頻率差)。
$x(t) = \sin(7t)\sin(5t) = \frac{1}{2}[\cos(7t-5t) - \cos(7t+5t)]$
$x(t) = \frac{1}{2}[\cos(2t) - \cos(12t)]$

我們知道 $\cos(\omega_0 t)$ 的傅立葉轉換為 $\pi[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]$。
因此，
$X(\omega) = \mathcal{F}\{\frac{1}{2}\cos(2t)\} - \mathcal{F}\{\frac{1}{2}\cos(12t)\}$
$X(\omega) = \frac{1}{2} \mathcal{F}\{\cos(2t)\} - \frac{1}{2} \mathcal{F}\{\cos(12t)\}$
$X(\omega) = \frac{1}{2} \pi[\delta(\omega - 2) + \delta(\omega + 2)] - \frac{1}{2} \pi[\delta(\omega - 12) + \delta(\omega + 12)]$
$X(\omega) = \frac{\pi}{2} [\delta(\omega - 2) + \delta(\omega + 2) - \delta(\omega - 12) - \delta(\omega + 12)]$

此題考驗對標準調幅 (AM) 訊號結構的理解、調變指數的計算以及功率分配的分析。

標準調幅 (DSB-LC, Double Sideband-Large Carrier) 的輸出訊號形式為：
$s(t) = A_c [1 + k_a m(t)] \cos(\omega_c t)$
其中 $A_c$ 是載波振幅，$\omega_c$ 是載波角頻率，$k_a$ 是振幅敏感度， $m(t)$ 是調變訊號。
展開後為：
$s(t) = A_c \cos(\omega_c t) + A_c k_a m(t) \cos(\omega_c t)$
$s(t) = c(t) + A_c k_a m(t) \cos(\omega_c t)$

觀察給定的輸出訊號 $u(t)$:
$u(t) = 5 \cos(280\pi t) + 25 \cos(300\pi t) + 5 \cos(320\pi t)$

a) 確定調變訊號 $m(t)$ 和載波訊號 $c(t)$。
首先，識別載波訊號。載波訊號的頻率通常是調變訊號頻率的數倍，且在 AM 訊號中，載波項的振幅相對較大。
觀察頻率：$280\pi$ (對應頻率 $140$ Hz)，$300\pi$ (對應頻率 $150$ Hz)，$320\pi$ (對應頻率 $160$ Hz)。
這裡的頻率 $300\pi$ 顯然是載波頻率，因為它位於另外兩個頻率的中心，且其振幅 25 也是最大的。
所以，載波訊號 $c(t)$ 的頻率是 $150$ Hz，對應角頻率 $\omega_c = 300\pi$。
載波的振幅 $A_c$ 是 25。
$c(t) = 25 \cos(300\pi t)$。

接著，剩下的部分應該是邊帶訊號。
$u(t) - c(t) = 5 \cos(280\pi t) + 5 \cos(320\pi t)$
這兩項是調變訊號與載波相乘產生的邊帶。
$5 \cos(280\pi t)$ 是下邊帶 (Lower Sideband, LSB)，頻率為 $150 - 10 = 140$ Hz。
$5 \cos(320\pi t)$ 是上邊帶 (Upper Sideband, USB)，頻率為 $150 + 10 = 160$ Hz。
邊帶的頻率差是 $\Delta \omega = 320\pi - 300\pi = 20\pi$，或 $300\pi - 280\pi = 20\pi$。
所以，調變訊號的頻率是 $10$ Hz，對應角頻率 $\omega_m = 20\pi$。

我們知道邊帶的產生來自 $A_c k_a m(t) \cos(\omega_c t)$。
如果 $m(t) = \cos(\omega_m t)$，則
$A_c k_a \cos(\omega_m t) \cos(\omega_c t) = \frac{1}{2} A_c k_a [\cos((\omega_c - \omega_m)t) + \cos((\omega_c + \omega_m)t)]$
對應到我們的訊號：
$\frac{1}{2} A_c k_a \cos(20\pi t) = 5 \cos(280\pi t) + 5 \cos(320\pi t)$
所以，$\frac{1}{2} A_c k_a = 5$。
由於 $A_c = 25$，我們有 $\frac{1}{2} (25) k_a = 5$。
$12.5 k_a = 5$
$k_a = \frac{5}{12.5} = \frac{50}{125} = \frac{2}{5} = 0.4$。

調變訊號 $m(t)$ 的形式是 $\cos(\omega_m t)$，且其振幅是 1 (因為我們只考慮 $m(t)$ 的形式，而不是 $A_c k_a m(t)$)。
因此，
$m(t) = \cos(20\pi t)$
$c(t) = 25 \cos(300\pi t)$

b) 確定調變指數 (modulation index)。
調變指數 $\mu$ (或 $k_a$ 在某些定義中) 的標準定義是：
$\mu = \frac{A_c k_a A_m}{A_c} = k_a A_m$
其中 $A_m$ 是調變訊號 $m(t)$ 的最大振幅。
在這裡，$m(t) = \cos(20\pi t)$，所以 $A_m = 1$。
$k_a = 0.4$。
所以，調變指數 $\mu = k_a A_m = 0.4 \times 1 = 0.4$。

此題涉及角度調變 (Angle Modulation) 的概念，包括調變訊號的功率、頻率偏差、相位偏差、頻寬計算，以及判斷訊號類型。

角度調變訊號的一般形式為 $s(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + \phi(t))$。
給定的訊號是 $u(t) = 200 \cos(2\pi f_c t + 3 \sin(500\pi t))$，其中 $f_c = 10$ MHz。

a) 確定平均發射功率。
訊號的功率與振幅的平方成正比。
訊號的振幅是 $A = 200$。
平均發射功率 $P_{avg} = \frac{A^2}{2R}$，假設負載電阻 $R=1 \Omega$。
$P_{avg} = \frac{200^2}{2} = \frac{40000}{2} = 20000$ 瓦特。

b) 確定峰值相位偏差 (peak-phase deviation)。
相位函數 $\phi(t) = 2\pi f_c t + 3 \sin(500\pi t)$。
調變訊號的相位是 $\phi(t) - 2\pi f_c t = 3 \sin(500\pi t)$。
峰值相位偏差 $\phi_{peak}$ 是調變訊號的峰值。
調變訊號為 $3 \sin(500\pi t)$。
其最大值是 $3 \times 1 = 3$ 弧度。
所以，峰值相位偏差 $\phi_{peak} = 3$ 弧度。

c) 確定峰值頻率偏差 (peak-frequency deviation)。
頻率偏差 $\Delta f$ 是調變訊號相位函數對時間的微分再除以 $2\pi$。
$f(t) = f_c + \frac{1}{2\pi} \frac{d\phi(t)}{dt}$
$\frac{d\phi(t)}{dt} = \frac{d}{dt} [2\pi f_c t + 3 \sin(500\pi t)]$
$\frac{d\phi(t)}{dt} = 2\pi f_c + 3 \times (500\pi) \cos(500\pi t)$
$\frac{d\phi(t)}{dt} = 2\pi f_c + 1500\pi \cos(500\pi t)$

頻率偏差是 $\Delta f(t) = \frac{1}{2\pi} \frac{d\phi(t)}{dt} - f_c$
$\Delta f(t) = \frac{1}{2\pi} [2\pi f_c + 1500\pi \cos(500\pi t)] - f_c$
$\Delta f(t) = f_c + 750 \cos(500\pi t) - f_c$
$\Delta f(t) = 750 \cos(500\pi t)$

峰值頻率偏差 $\Delta f_{peak}$ 是 $\Delta f(t)$ 的最大絕對值。
$\Delta f_{peak} = \max |750 \cos(500\pi t)| = 750 \times 1 = 750$ Hz。

d) 使用 Carson's Rule 計算調變訊號的頻寬。
Carson's Rule 的公式為 $BW \approx 2( \Delta f_{peak} + W )$，其中 $W$