112 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《通信系統》

這題主要在測試考生對於通信系統中基本名詞、效應、新技術的理解。

a) AWGN 中的 A, W, G 的意義：

• A 代表 Additive (加成性)：表示雜訊是疊加在原始訊號上的，即接收到的訊號 $y(t) = s(t) + n(t)$，其中 $s(t)$ 是傳送訊號，$n(t)$ 是雜訊。
• W 代表 White (白雜訊)：表示雜訊的功率頻譜密度在所有頻率上都是均勻的，即 $N_0/2$ (瓦特/赫茲)。這表示雜訊在不同頻率上的功率是相等的。
• G 代表 Gaussian (高斯雜訊)：表示雜訊的機率密度函數服從高斯分佈（常態分佈）。這種分佈的特性使得其統計行為可以被精確描述，並且在許多物理過程中是常見的。

【答案】
A: Additive (加成性) - 雜訊是疊加在訊號上。
W: White (白雜訊) - 功率頻譜密度在所有頻率上是均勻的。
G: Gaussian (高斯雜訊) - 雜訊的機率分佈為高斯分佈。

b) Time-variant channel (時變頻道)：
時變頻道是指其傳輸特性（例如衰減、延遲、相位等）會隨著時間而改變的通訊頻道。在行動通訊系統中，用戶端（手機）的移動、電波的反射、繞射、散射等因素都會導致訊號傳播路徑的改變，進而影響訊號的強度和相位，使得頻道特性隨時間變化。

【答案】
時變頻道是指其傳輸特性隨時間變化的頻道。

c) Frequency-selective channel (頻率選擇性頻道)：
頻率選擇性頻道是指其傳輸特性在訊號頻寬內並非對所有頻率都相同，而是會對不同的頻率成分產生不同的衰減或相位偏移。這通常是由於訊號經過多重路徑傳播（multi-path propagation）所導致。不同路徑的訊號到達接收端的時間延遲不同，當這些延遲大到足以讓訊號的週期性在訊號頻寬內產生明顯的相位變化時，就會出現頻率選擇性。例如，同一訊號的某些頻率成分可能因為建設性干涉而增強，而另一些頻率成分則可能因為破壞性干涉而減弱，形成一個「零點」(null) 或「峰值」(peak) 的頻率響應。

【答案】
頻率選擇性頻道是指其傳輸特性在訊號頻寬內隨頻率而異，通常由多重路徑傳播引起。

d) Ellon Mask 開發的衛星通訊系統：
Elon Musk（馬斯克）開發的衛星通訊系統是 Starlink (星鏈)。

【答案】
Starlink (星鏈)

核心觀念

本題考查平方律元件產生傳統振幅調變（conventional AM）的原理，以及 AM 訊號的頻寬、發射機與接收機架構。

平方律元件為

$$y_{\text{out}}=a_1v_{\text{in}}+a_2v_{\text{in}}^2$$

輸入訊號包含基頻訊息與載波：

$$v_{\text{in}}=m(t)+\cos(2\pi f_ct)$$

其中 $m(t)$ 的頻寬為 $W$。傳統 AM 訊號可寫成

$$s_{\text{AM}}(t)=A_c[1+\mu m(t)]\cos(2\pi f_ct)$$

為避免過度調變，包絡必須始終非負，因此需滿足

$$|\mu m(t)|\leq 1$$

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解題方法

將輸入代入平方律元件，展開後依頻率位置分離各項：

• 基頻附近：$m(t)$、$m^2(t)$
• 載波附近：$\cos(2\pi f_ct)$ 與 $m(t)\cos(2\pi f_ct)$
• $2f_c$ 附近：$\cos(4\pi f_ct)$

再使用以 $f_c$ 為中心的帶通濾波器，保留載波與兩側帶，即可得到傳統 AM 訊號。

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(a) 逐步產生傳統 AM 訊號

第一步：產生輸入訊號

將訊息訊號與載波相加：

$$v_{\text{in}}(t)=m(t)+\cos(2\pi f_ct)$$

第二步：通過平方律元件

$$y_{\text{out}}(t) =a_1\left[m(t)+\cos(2\pi f_ct)\right] +a_2\left[m(t)+\cos(2\pi f_ct)\right]^2$$

展開平方項：

$$\begin{aligned} y_{\text{out}}(t) ={}&a_1m(t)+a_1\cos(2\pi f_ct)\\ &+a_2m^2(t) +2a_2m(t)\cos(2\pi f_ct)\\ &+a_2\cos^2(2\pi f_ct) \end{aligned}$$

利用

$$\cos^2(2\pi f_ct) =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(4\pi f_ct)$$

可得

$$\begin{aligned} y_{\text{out}}(t) ={}&a_1m(t)+a_2m^2(t)+\frac{a_2}{2}\\ &+\left[a_1+2a_2m(t)\right]\cos(2\pi f_ct)\\ &+\frac{a_2}{2}\cos(4\pi f_ct) \end{aligned}$$

第三步：使用帶通濾波器

帶通濾波器以 $f_c$ 為中心，只保留載波附近的頻率成分：

$$s_{\text{AM}}(t) =\left[a_1+2a_2m(t)\right]\cos(2\pi f_ct)$$

整理為

$$s_{\text{AM}}(t) =a_1\left[1+\frac{2a_2}{a_1}m(t)\right]\cos(2\pi f_ct)$$

因此其 AM 調變指數為

$$\mu=\frac{2a_2}{a_1}$$

載波振幅為 $a_1$，訊息造成的調變項振幅係數為 $2a_2$。

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(b) 傳統 AM 發射機方塊圖

m(t) ─────────┐
              ├── 加法器 ──> 平方律元件 ──> 帶通濾波器 ──> AM 輸出
載波 cos(2πfct)┘                         中心頻率 fc

各區塊功能如下：

1. 加法器：形成 $m(t)+\cos(2\pi f_ct)$。
2. 平方律元件：產生基頻、載波、雙側帶及二倍載波頻率成分。
3. 帶通濾波器：保留 $f_c$ 附近的載波與雙側帶，濾除基頻及 $2f_c$ 成分。

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(c) 傳統 AM 接收機方塊圖

接收 AM 訊號 ──> 帶通濾波器 ──> 包絡檢波器 ──> 低通濾波器 ──> m(t)
                  中心頻率 fc

各區塊功能如下：

1. 帶通濾波器：選取目標 AM 頻道，去除鄰近頻道與雜訊。
2. 包絡檢波器：擷取 AM 訊號的包絡。
3. 低通濾波器：去除載波及高頻成分，保留訊息頻率範圍。

接收訊號為

本題主要考察三種不同幅度調變 (AM) 的數學表達式、包絡檢波的適用性，以及相干檢波的原理。

核心觀念：DSB-SC, Conventional AM, SSB 的數學模型，包絡檢波器 (ED) 的工作原理，相干檢波器 (Coherent Detector) 的工作原理。

a) Double-sided band suppressed carrier (DSB-SC) modulation：
DSB-SC 調變的特點是將訊息訊號 $m(t)$ 直接與載波訊號 $A_c\cos(2\pi f_c t)$ 相乘。它沒有載波成分，因此稱為「載波抑制」(Suppressed Carrier)。
訊號表達式：
$s_{DSB-SC}(t) = m(t) \cdot c(t) = m(t) A_c \cos(2\pi f_c t)$
通常，若題目未特別強調載波幅度 $A_c$，常簡寫為 $s_{DSB-SC}(t) = m(t) \cos(2\pi f_c t)$。

【答案】
$s_{DSB-SC}(t) = A_c m(t) \cos(2\pi f_c t)$

b) Conventional AM modulation：
傳統 AM (Conventional AM) 調變是在 DSB-SC 的基礎上，加上一個載波訊號。其形式為 $A_c(1 + k_a m(t))\cos(2\pi f_c t)$。
其中 $k_a$ 是調變指數，且為避免過調變，通常假設 $\max|k_a m(t)| \le 1$。
訊號表達式：
$s_{AM}(t) = A_c(1 + k_a m(t))\cos(2\pi f_c t)$
展開後為：
$s_{AM}(t) = A_c\cos(2\pi f_c t) + A_c k_a m(t)\cos(2\pi f_c t)$
第一個項是載波，第二個項是調變訊號與載波的乘積。

【答案】
$s_{AM}(t) = A_c(1 + k_a m(t))\cos(2\pi f_c t)$

c) Single-sided band (SSB) modulation：
SSB 調變只保留邊帶中的一個，通常是上邊帶 (USB) 或下邊帶 (LSB)。
SSB 訊號的產生通常涉及 Hilbert 轉換。
若要產生上邊帶 (USB)，則將 $m(t)$ 與 $\cos(2\pi f_c t)$ 相乘，並減去 $\tilde{m}(t)$（$m(t)$ 的 Hilbert 轉換）與 $\sin(2\pi f_c t)$ 的乘積。
USB 訊號表達式：
$s_{USB}(t) = A_c \left[ m(t)\cos(2\pi f_c t) - \tilde{m}(t)\sin(2\pi f_c t) \right]$

若要產生下邊帶 (LSB)，則將 $m(t)$ 與 $\cos(2\pi f_c t)$ 相乘，並加上 $\tilde{m}(t)$ 與 $\sin(2\pi f_c t)$ 的乘積。
LSB 訊號表達式：
$s_{LSB}(t) = A_c \left[ m(t)\cos(2\pi f_c t) + \tilde{m}(t)\sin(2\pi f_c t) \right]$

題目中未指定是 USB 或 LSB，一般情況下，SSB 可以指其中一種，或是兩者的總稱。若只寫一種，USB 是常見的預設。

【答案】
$s_{SSB}(t) = A_c \left[ m(t)\cos(2\pi f_c t) - \tilde{m}(t)\sin(2\pi f_c t) \right]$ (上邊帶 USB)
或
$s_{SSB}(t) = A_c \left[ m(t)\cos(2\pi f_c t) + \tilde{m}(t)\sin(2\pi f_c t) \right]$ (下邊帶 LSB)

d) 包絡檢波器 (ED) 的適用性：
包絡檢波器只能用於解調具有特定形式的調變訊號，即其包絡線能夠直接反映調變訊號。
對於標準 AM 訊號 $s_{AM}(t) = A_c(1 + k_a m(t))\cos(2\pi f_c t)$，如果避免過調變 ($|k_a m(t)| \le 1$)，則 $1 + k_a m(t) \ge 0$。
此時，訊號的包絡線是 $|s_{AM}(t)| = |A_c(1 + k_a m(t))| |\cos(2\pi f_c t)|$。
在調變指數小於等於 1 的情況下，訊號的包絡線 $|A_c(1 + k_a m(t))|$ 總是正的，並且其變化與 $m(t)$ 的變化成正比。包絡檢波器可以正確地恢復出 $m(t)$。

對於 DSB-SC 訊號 $s_{DSB-SC}(t) = A_c m(t) \cos(2\pi f_c t)$，其包絡線是 $|s_{DSB-SC}(t)| = |A_c m(t)| |\cos(2\pi f_c t)|$。
如果 $m(t)$ 包含負值，則 $A_c m(t) \cos(2\pi f_c t)$ 的符號會隨著 $m(t)$ 和 $\cos(2\pi f_c t)$ 的符號而變化。
包絡檢波器實際上檢測的是訊號的絕對值包絡線，它會將負的訊號部分也「翻轉」成正的。
例如，若 $m(t)$ 是個單極性訊號，則 $m(t) \ge 0$，則 DSB-SC 可被 ED 解調。但若 $m(t)$ 是雙極性訊號，則 $m(t)$ 可能有負值，此時 ED 無法正確恢復 $m(t)$。
具體來說，若 $m(t)$ 的值會變成負，則 $A_c m(t) \cos(2\pi f_c t)$ 的符號也會變化，包絡線 $|A_c m(t)| |\cos(2\pi f_c t)|$ 並不直接等於 $|m(t)|$。
ED 檢測的是 $|A_c m(t) \cos(2\pi f_c t)|$ 的包絡。當 $m(t)$ 為負時，此包絡線不是 $|m(t)|$。
因此，DSB-SC 訊號（若 $m(t)$ 是雙極性訊號）不能被包絡檢波器正確解調。

對於 SSB 訊號 $s_{SSB}(t) = A_c \left[ m(t)\cos(2\pi f_c t) \mp \tilde{m}(t)\sin(2\pi f_c t) \right]$。
SSB 訊號的包絡線 $|s_{SSB}(t)|$ 雖然在頻域上只包含一個邊帶，但在時域上，其包絡線 $|A_c \left[ m(t)\cos(2\pi f_c t) \mp \tilde{m}(t)\sin(2\pi f_c t) \right]|$ 並不是簡單地與 $m(t)$ 成正比。
SSB 訊號的包絡線是 $|A_c \sqrt{m^2(t) + \tilde{m}^2(t)}|$，它與 $m(t)$ 的幅度成正比，但 $\tilde{m}(t)$ 的存在使得其行為複雜，並且其包絡線的變化不直接對應於 $m(t)$ 的符號變化。
更關鍵的是，SSB 訊號的包絡線 $|s_{SSB}(t)|$ 並不是 $A_c(1+k m(t))$ 的形式。
因此，SSB 訊號也不能被包絡檢波器正確解調。

總結：

• DSB-SC：不能被包絡檢波器正確解調（除非 $m(t)$ 是單極性訊號）。
• Conventional AM：可以被包絡檢波器正確解調（條件是無過調變）。
• SSB：不能被包絡檢波器正確解調。

【答案】
可以被包絡檢波器解調的訊號是：Conventional AM。
原因：Conventional AM 訊號 $s_{AM}(t) = A_c(1 + k_a m(t))\cos(2\pi f_c t)$，在無過調變時 ($|k_a m(t)| \le 1$)，其包絡線 $|A_c(1 + k_a m(t))|$ 始終為正，且其變化與 $m(t)$ 成正比，因此包絡檢波器可以恢復出 $m(t)$。
不能被包絡檢波器解調的訊號是：DSB-SC 和 SSB。
原因：DSB-SC (若 $m(t)$ 雙極性) 和 SSB 的訊號包絡線 $|s(t)|$ 並非直接由 $m(t)$ 的值決定（例如，當 $m(t)$ 值為負時，其包絡線不代表 $|m(t)|$），而是與 $|m(t)|$ 或 $\sqrt{m^2(t) + \tilde{m}^2(t)}$ 成正比，且其變化不直接對應於 $m(t)$ 的符號變化，因此包絡檢波器無法正確恢復出 $m(t)$。

e) 使用本地參考載波 $\cos(2\pi f_c t + \theta)$ 進行解調：
這種解調方式稱為相干檢波 (Coherent Detection)。相干檢波的原理是將接收到的調變訊號與一個本地產生的參考載波相乘，然後通過一個低通濾波器來恢復原始訊息訊號。
相干解調的成功與否，取決於本地參考載波與原始載波之間的相位差 $\theta$。

• DSB-SC 訊號：$s_{DSB-SC}(t) = A_c m(t) \cos(2\pi f_c t)$
  與本地載波 $\cos(2\pi f_c t + \theta)$ 相乘並通過 LPF 後：

本題主要考察頻率調變 (FM) 和相位調變 (PM) 的數學表達式、產生與接收方塊圖，以及兩者之間的轉換關係、接收器濾波器設計，最後探討 FM 比 PM 更廣泛使用的原因。

核心觀念：FM, PM 的數學模型，FM/PM 產生器與接收器的方塊圖，FM 與 PM 的相互轉換，FM 接收器的濾波器，FM/PM 的抗雜訊能力比較。

a) 使用相位調變器 (Phase Modulator) 產生頻率調變 (FM) 訊號的表達式：
頻率調變 (FM) 的訊號形式為 $s_{FM}(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + 2\pi \int_{-\infty}^{t} f_i(\tau) d\tau)$，其中 $f_i(t)$ 是瞬時頻率，且 $f_i(t) = f_c + k_f m(t)$。
相位調變 (PM) 的訊號形式為 $s_{PM}(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + \phi(t))$，其中 $\phi(t) = k_p m(t)$。

要用相位調變器產生 FM 訊號，我們需要讓相位調變器的相位輸入 $\phi(t)$ 與 FM 訊號的相位變化成正比。
FM 訊號的瞬時相位是 $\phi_{FM}(t) = 2\pi \int_{-\infty}^{t} f_i(\tau) d\tau = 2\pi \int_{-\infty}^{t} (f_c + k_f m(\tau)) d\tau = 2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau$。
PM 調變器的相位輸入是 $\phi_{PM}(t) = k_p m_{input}(t)$。
為了讓 PM 調變器產生 FM 訊號，我們需要將 $m_{input}(t)$ 設計成能讓 PM 的輸出相位與 FM 的相位相同。
即，我們需要讓 $k_p m_{input}(t) = 2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau$。
顯然，這無法直接透過 PM 來達成，因為 PM 的相位變化與 $m(t)$ 成正比，而 FM 的相位變化與 $m(t)$ 的積分成正比。

然而，我們可以透過一個積分器來處理訊息訊號 $m(t)$，然後將積分後的訊號輸入到相位調變器。
如果我們將 $m(t)$ 進行積分，得到 $\int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau$。
然後將這個積分後的訊號作為相位調變器的輸入訊號。
令 PM 調變器的輸入為 $m_{input}(t) = K \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau$，其中 $K$ 是一個常數。
那麼 PM 調變器的輸出為 $s_{PM}(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + k_p m_{input}(t))$。
$s_{PM}(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + k_p K \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau)$。
這個形式與 FM 訊號的相位形式 $A_c \cos(2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau)$ 相同。
我們可以選擇 $k_p K = 2\pi k_f$。
通常，FM 的調變指數 $\beta_f = \frac{k_f \max|m(t)|}{\Delta f_{max}} = \frac{k_f \max|m(t)|}{W}$ (這裡的 $W$ 是指訊息頻寬，不是頻偏)。
PM 的調變指數 $\beta_p = k_p \max|m_{input}(t)|$。
如果我們令 $m_{input}(t) = \frac{2\pi k_f}{k_p} \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau$，則 PM 調變器產生的訊號就等同於 FM 訊號。
所以，產生 FM 訊號的過程是：將原始訊息訊號 $m(t)$ 通過一個積分器，然後將積分後的訊號輸入到相位調變器。

【答案】
將訊息訊號 $m(t)$ 通過一個積分器，得到 $\int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau$。
然後將積分後的訊號 $m_{input}(t) = \frac{2\pi k_f}{k_p} \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau$ 輸入到相位調變器。
相位調變器的輸出即為 FM 訊號：$s_{FM}(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + k_p m_{input}(t)) = A_c \cos(2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau)$。

b) 使用相位調變器產生 FM 訊號的接收器方塊圖：
這個問題有點奇怪，因為題目問的是「接收器結構來產生 FM 訊號」。
通常，產生 FM 訊號是在發射端。接收端是為了解調 FM 訊號。
如果題目是問「產生 FM 訊號的發射器方塊圖」，那麼就是將 a) 的過程畫成方塊圖。
如果題目是問「接收 FM 訊號並將其轉換成一個相位調變訊號」，這也是不尋常的。

假設題目意指「產生 FM 訊號的發射端方塊圖」：

graph LR
    A[Message Signal m(t)] --> B{Integrator};
    B --> C{Gain (2πkf/kp)};
    C --> D{Phase Modulator};
    E[Carrier Signal Ac cos(2πfct)] --> D;
    D --> F[FM Signal s_FM(t)];

方塊圖說明：

1. 訊息訊號 $m(t)$ 輸入到積分器 (Integrator)。
2. 積分器的輸出 $\int m(t) dt$ 通過一個增益級 (Gain)，其增益為 $\frac{2\pi k_f}{k_p}$。
3. 經過增益後的訊號作為相位調變器 (Phase Modulator) 的相位輸入。
4. 相位調變器同時接收載波訊號 $A_c \cos(2\pi f_c t)$，並輸出 FM 訊號 $s_{FM}(t)$。

如果題目真的意指「接收器結構」，那麼可能是在問如何從接收到的 FM 訊號中，透過某種方式（例如先解調成 $m(t)$，再進行積分和相位調變）來「重現」一個 FM 訊號。但這在實際應用中沒有意義。

假設題目為「產生 FM 訊號的發射端方塊圖」：
【答案】
請參考上述方塊圖。

c) 使用頻率調變器 (Frequency Modulator) 產生相位調變 (PM) 訊號的表達式：
PM 訊號為 $s_{PM}(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + k_p m(t))$。
FM 訊號為 $s_{FM}(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + 2\pi \int_{-\infty}^{t} f_i(\tau) d\tau)$。
要用頻率調變器產生 PM 訊號，我們需要讓頻率調變器的輸入訊號 $f_i(t)$ 能夠產生 PM 訊號的相位。
PM 訊號的相位是 $\phi_{PM}(t) = 2\pi f_c t + k_p m(t)$。
FM 訊號的相位是 $\phi_{FM}(t) = 2\pi f_c t + 2\pi \int_{-\infty}^{t} f_i(\tau) d\tau$。
為了使 $s_{FM}(t)$ 等同於 $s_{PM}(t)$，我們需要：
$2\pi \int_{-\infty}^{t} f_i(\tau) d\tau = k_p m(t)$
對兩邊微分：
$2\pi f_i(t) = k_p \frac{dm(t)}{dt}$
$f_i(t) = \frac{k_p}{2\pi} \frac{dm(t)}{dt}$