112 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《訊號與系統》

本題主要考驗對週期訊號奇偶性的定義及其在卷積運算下的性質。

一個離散時間訊號 $f[n]$ 被定義為：

1. 偶訊號 (even signal)，若 $f[n] = f[-n]$ 對所有 $n$ 成立。
2. 奇訊號 (odd signal)，若 $f[n] = -f[-n]$ 對所有 $n$ 成立。

卷積的定義為：$y[n] = x[n] * h[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]$。

題目給定 $x[n]$ 是奇訊號，所以 $x[n] = -x[-n]$。
題目給定 $h[n]$ 是奇訊號，所以 $h[n] = -h[-n]$。

我們要判斷 $y[n]$ 是偶訊號還是奇訊號。我們來計算 $y[-n]$：
$y[-n] = x[-n] * h[-n]$
$y[-n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[-n-k]$

本題考驗對離散時間系統平移性質的理解。

卷積運算的平移性質指出，如果 $y[n] = x[n] * h[n]$，那麼對於任意整數 $n_0$，
$y[n-n_0] = x[n-n_0] * h[n-n_0]$。

我們需要驗證 $y[n - 2022] = x[n - 2000] * h[n - 22]$ 是否成立。
已知 $y[n] = x[n] * h[n]$。
根據卷積的平移性質，將 $n$ 替換為 $n-2022$，我們得到：
$y[n-2022] = x[n-2022] * h[n-2022]$。

現在我們比較 $x[n-2022] * h[n-2022]$ 和 $x[n - 2000] * h[n - 22]$。
顯然，這兩個表達式不相等，因為平移的量不同。
$n-2022 \neq n-2000$
$n-2022 \neq n-22$

因此， $y[n - 2022]$ 不等於 $x[n - 2000] * h[n - 22]$。

更具體的推導如下：
令 $y[n] = x[n] * h[n]$。
則 $y[n-2022] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-2022-k]$。
令 $m = k+2022$，則 $k = m-2022$。
$y[n-2022] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m-2022] h[n-m]$。

核心觀念

本題考查離散時間系統的五項基本性質：

• 單位脈衝輸入 $\delta[n]$ 的響應
• 因果性
• 可逆性
• 線性
• 時間不變性

系統定義為

$$y[n]=\sum_{k=4n-1}^{4n+1}x[k]$$

表示輸出 $y[n]$ 會加總輸入序列中索引為 $4n-1$、$4n$、$4n+1$ 的三個樣本。

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a. 輸入為 $\delta[n]$ 時的輸出

令

$$x[k]=\delta[k]$$

則

$$y[n]=\sum_{k=4n-1}^{4n+1}\delta[k]$$

只有當加總範圍包含 $k=0$ 時，輸出才會等於 $1$。因此需滿足

$$4n-1\leq 0\leq 4n+1$$

整理得

$$-\frac{1}{4}\leq n\leq \frac{1}{4}$$

由於 $n$ 必須是整數，唯一符合的值為 $n=0$。所以

$$y[0]=1$$

其餘所有整數 $n$ 皆有 $y[n]=0$，因此

$$\boxed{y[n]=\delta[n]}$$

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b. 是否為因果系統

因果系統的定義是：在任何時間 $n$，輸出 $y[n]$ 只能依賴現在與過去的輸入，也就是只能依賴 $x[k]$，其中 $k\leq n$。

本系統使用的輸入索引範圍為

$$4n-1\leq k\leq 4n+1$$

其中最大索引為 $4n+1$。以 $n=0$ 為例：

$$y[0]=\sum_{k=-1}^{1}x[k] =x[-1]+x[0]+x[1]$$

輸出 $y[0]$ 依賴未來輸入 $x[1]$，而 $1>0$。因此系統需要使用未來資訊。

$$\boxed{\text{此系統非因果}}$$

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c. 是否為可逆系統

系統可逆的條件是：不同的輸入必須產生不同的輸出。若存在兩個不同輸入具有相同輸出，系統便不可逆。

本系統只會使用索引落在下列區間的輸入：

$$[4n-1,\;4n+1]$$

這些區間涵蓋索引同餘於 $3,0,1\pmod 4$ 的樣本，但索引同餘於 $2\pmod 4$ 的樣本完全不會被使用。例如 $x[2]$、$x[6]$、$x[-2]$ 等樣本都不會出現在任何輸出加總式中。

取兩組輸入：

$$x_1[n]=0$$

以及

$$x_2[n]=\delta[n-2]$$

兩者不同，但因為 $x_2[n]$ 只在索引 $n=2$ 時非零，而 $x[2]$ 不會出現在任何加總範圍內，所以兩者皆產生

$$y[n]=0$$

因此不同輸入會產生相同輸出，無法由 $y[n]$ 唯一還原 $x[n]$。

$$\boxed{\text{此系統不可逆}}$$

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d. 是否為線性系統

線性系統必須同時滿足：

1. 加法性
2. 齊次性

對任意輸入 $x_1[n]$、$x_2[n]$ 與常數 $a,b$，令

$$x[n]=a x_1[n]+b x_2[n]$$

則系統輸出為

核心觀念

離散時間信號的離散時間傅立葉轉換（DTFT）定義為

$$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}.$$

由於

$$e^{-j(\omega+2\pi)n}=e^{-j\omega n}e^{-j2\pi n}=e^{-j\omega n},$$

其中 $n$ 為整數，因此所有離散時間信號的頻譜必須滿足 $2\pi$ 週期性：

$$X(e^{j(\omega+2\pi)})=X(e^{j\omega}).$$

本題的關鍵是檢查給定函數是否具有 $2\pi$ 週期性。

解題方法

給定函數為

$$X(\omega)=\frac{\sin(6\omega)}{\sin(\omega/2)}.$$

將 $\omega$ 換成 $\omega+2\pi$：

$$X(\omega+2\pi) = \frac{\sin\left(6(\omega+2\pi)\right)} {\sin\left((\omega+2\pi)/2\right)}.$$

分別化簡分子與分母：

$$\sin\left(6\omega+12\pi\right)=\sin(6\omega),$$

以及

$$\sin\left(\frac{\omega}{2}+\pi\right) = -\sin\left(\frac{\omega}{2}\right).$$

因此

$$X(\omega+2\pi) = -\frac{\sin(6\omega)}{\sin(\omega/2)} = -X(\omega).$$

此函數具有 $4\pi$ 週期性，而非 $2\pi$ 週期性。除非在特殊頻率使得 $X(\omega)=0$，否則有

$$X(\omega+2\pi)\neq X(\omega).$$

核心觀念

本題考查週期訊號的 Fourier series，以及 Parseval 定理。

週期為 $2\pi$ 的訊號，其複指數 Fourier series 寫成

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} C_k e^{jkt},$$

其中 Fourier series coefficient 為

$$C_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x(t)e^{-jkt}\,dt.$$

由於 $x(t)=t^2$ 為偶函數，因此其 Fourier series 只有 cosine 項，且所有 sine coefficient 皆為 $0$。

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解題方法

(a) 求 Fourier series coefficients

求 $C_0$

$$C_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2\,dt$$

因為 $t^2$ 為偶函數，

$$C_0=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi t^2\,dt =\frac{1}{\pi}\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^\pi =\frac{\pi^2}{3}.$$

求 $C_k$，其中 $k\neq 0$

$$C_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2e^{-jkt}\,dt.$$

將指數函數展開：

$$e^{-jkt}=\cos kt-j\sin kt.$$

因為 $t^2\sin kt$ 為奇函數，其在 $[-\pi,\pi]$ 的積分為 $0$，因此

$$C_k=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi t^2\cos(kt)\,dt.$$

計算積分：

$$\int t^2\cos(kt)\,dt = \frac{t^2\sin(kt)}{k} +\frac{2t\cos(kt)}{k^2} -\frac{2\sin(kt)}{k^3}.$$

代入 $0$ 與 $\pi$：

$$\int_0^\pi t^2\cos(kt)\,dt = \frac{2\pi\cos(k\pi)}{k^2}.$$

由於 $k$ 為整數，$\cos(k\pi)=(-1)^k$，故

$$C_k = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{2\pi(-1)^k}{k^2} = \frac{2(-1)^k}{k^2}.$$

因此

$$\boxed{ C_0=\frac{\pi^2}{3},\qquad C_k=\frac{2(-1)^k}{k^2},\quad k\neq 0 }$$

相對應的實數形式 Fourier series 為

$$x(t)=\frac{\pi^2}{3} +4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^2}\cos(kt).$$

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(b) 求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}$

核心觀念

本題考查：

1. 週期為 $2\pi$ 的三角形式傅立葉級數。
2. 偶函數的對稱性：偶函數只有餘弦項，正弦係數皆為 $0$。
3. 傅立葉級數在連續點收斂至函數值。
4. 利用傅立葉級數求無窮級數
   $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(2k)}{k}.$

採用傅立葉級數表示式

$$x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} \left[a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt)\right],$$

其中

$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x(t)\,dt,$$ $$a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x(t)\cos(kt)\,dt, \qquad b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x(t)\sin(kt)\,dt.$$

由題目可知 $x(t)$ 為偶函數，因此

$$b_k=0.$$

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解題方法

(a) 求傅立葉級數係數

在區間 $[-\pi,\pi]$ 中，

$$x(t)= \begin{cases} 1, & |t|\leq 2,\\ 4, & 2<|t|<\pi. \end{cases}$$

由偶函數性質，可將積分範圍縮為 $[0,\pi]$。

求 $a_0$

$$\begin{aligned} a_0 &=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x(t)\,dt\\ &=\frac{2}{\pi} \left[ \int_0^2 1\,dt+\int_2^\pi 4\,dt \right]\\ &=\frac{2}{\pi}\left[2+4(\pi-2)\right]\\ &=\frac{2}{\pi}(4\pi-6)\\ &=8-\frac{12}{\pi}. \end{aligned}$$

因此常數項為

$$\frac{a_0}{2}=4-\frac{6}{\pi}.$$

求 $a_k$

$$\begin{aligned} a_k &=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x(t)\cos(kt)\,dt\\ &=\frac{2}{\pi} \left[ \int_0^2\cos(kt)\,dt +4\int_2^\pi\cos(kt)\,dt \right]. \end{aligned}$$

分別計算：

$$\int_0^2\cos(kt)\,dt=\frac{\sin(2k)}{k},$$

以及

$$\begin{aligned} \int_2^\pi\cos(kt)\,dt &=\left.\frac{\sin(kt)}{k}\right|_2^\pi\\ &=\frac{\sin(k\pi)-\sin(2k)}{k}\\ &=-\frac{\sin(2k)}{k}, \end{aligned}$$

因為 $k$ 為正整數，故 $\sin(k\pi)=0$。

所以

本題考驗對傅立葉轉換性質及常見轉換對的應用。

我們需要找到 $X(j\omega)$ 的逆傅立葉轉換 $x(t)$。
$x(t) = \mathcal{F}^{-1}\{X(j\omega)\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$。

我們知道一些常見的傅立葉轉換對：

1. $e^{-at} u(t) \leftrightarrow \frac{1}{a+j\omega}$, for $a > 0$.
2. $t e^{-at} u(t) \leftrightarrow \frac{1}{(a+j\omega)^2}$, for $a > 0$.
3. $t^2 e^{-at} u(t) \leftrightarrow \frac{2}{(a+j\omega)^3}$, for $a > 0$.

我們的 $X(j\omega) = \frac{2}{(3 + j\omega)^3}$ 與第三個轉換對的形式非常相似。
對比 $X(j\omega)$ 和 $\frac{2}{(a+j\omega)^3}$，我們可以發現 $a=3$。
因此，其逆傅立葉轉換為 $x(t) = t^2 e^{-3t} u(t)$。

另一種方法是利用微分性質。
我們知道 $\mathcal{F}\{t f(t)\} = j \frac{d}{d\omega} F(j\omega)$。
或者 $\mathcal{F}^{-1}\{j \frac{d}{d\omega} F(j\omega)\} = t f(t)$。
$\mathcal{F}^{-1}\{ \frac{d}{d\omega} F(j\omega) \} = \frac{t}{j} f(t) = -j t f(t)$。

考慮 $\frac{1}{3+j\omega} \leftrightarrow e^{-3t} u(t)$。
對 $j\omega$ 微分，我們需要小心。
令 $Y(j\omega) = \frac{1}{3+j\omega}$。
$\frac{d}{d\omega} Y(j\omega) = \frac{d}{d\omega} (3+j\omega)^{-1} = -1 (3+j\omega)^{-2} \cdot j = \frac{-j}{(3+j\omega)^2}$。
所以 $\frac{1}{(3+j\omega)^2} = \frac{j}{-j} \frac{d}{d\omega} Y(j\omega) = -j \frac{d}{d\omega} Y(j\omega)$。
$x_2(t) = \mathcal{F}^{-1}\{\frac{1}{(3+j\omega)^2}\} = \mathcal{F}^{-1}\{-j \frac{d}{d\omega} Y(j\omega)\}$。
使用性質 $\mathcal{F}^{-1}\{\frac{d}{d\omega} F(j\omega)\} = -j t f(t)$。