114 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《訊號與系統》

本題考查一階 RC 電路的暫態響應。Part (a) 要求計算輸入為脈衝函數時的輸出，Part (b) 則要求利用拉氏轉換求解具有初始條件的線性微分方程。

(a) 計算脈衝響應

根據題目給定的單位階躍響應 $y_{us}(t) = (1-e^{-\frac{t}{RC}})u(t)$，我們知道系統的傳遞函數 $H(s)$ 可以透過對單位階躍響應取拉氏轉換得到。
$Y_{us}(s) = \mathcal{L}\{(1-e^{-\frac{t}{RC}})u(t)\} = \mathcal{L}\{u(t)\} - \mathcal{L}\{e^{-\frac{t}{RC}}u(t)\}$
$Y_{us}(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s + \frac{1}{RC}}$
$Y_{us}(s) = \frac{s + \frac{1}{RC} - s}{s(s + \frac{1}{RC})} = \frac{\frac{1}{RC}}{s(s + \frac{1}{RC})}$

傳遞函數 $H(s)$ 定義為輸出拉氏轉換除以輸入拉氏轉換，即 $H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$。
對於單位階躍響應，輸入為 $u(t)$，其拉氏轉換為 $X(s) = \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s}$。
因此，
$H(s) = \frac{Y_{us}(s)}{X(s)} = \frac{\frac{\frac{1}{RC}}{s(s + \frac{1}{RC})}}{\frac{1}{s}} = \frac{1}{s + \frac{1}{RC}}$

現在，我們需要計算當輸入為脈衝函數 $\delta(t)$ 時的輸出 $y(t)$。輸入 $\delta(t)$ 的拉氏轉換為 $X(s) = \mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$。
所以，輸出 $y(t)$ 的拉氏轉換為 $Y(s) = H(s)X(s) = \frac{1}{s + \frac{1}{RC}} \times 1 = \frac{1}{s + \frac{1}{RC}}$。
對 $Y(s)$ 進行反拉氏轉換，我們得到：
$y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s + \frac{1}{RC}}\} = e^{-\frac{t}{RC}}u(t)$

【答案】$y(t) = e^{-\frac{t}{RC}}u(t)$

(b) 利用拉氏轉換求解具有初始條件的微分方程

給定的微分方程為：
$\frac{dy(t)}{dt} + \frac{1}{RC}y(t) = \frac{1}{RC}x(t)$
其中 $RC = 0.2 \, s$，初始條件 $y(0^-) = -1$，輸入 $x(t) = -e^{-2t}$。
我們需要使用單邊拉氏轉換。

首先，對微分方程兩邊取單邊拉氏轉換：

本題考查系統的線性特性判斷。判斷一個系統是否線性，需要驗證其是否同時滿足疊加性 (Superposition) 和齊次性 (Homogeneity)。疊加性是指若輸入為 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ 時，輸出分別為 $y_1(t)$ 和 $y_2(t)$，則當輸入為 $a x_1(t) + b x_2(t)$ 時，輸出應為 $a y_1(t) + b y_2(t)$。齊次性是疊加性的特例，即若輸入為 $ax(t)$，輸出應為 $ay(t)$。在圖形上，線性系統的輸入輸出關係通常是一條通過原點的直線。

(a) 系統 1 的線性判斷

從圖 2 中觀察系統 1 的輸入輸出曲線。這是一條通過原點的直線，其斜率為 $k$。
對於系統 1，輸出 $y(t)$ 與輸入 $x(t)$ 的關係可以表示為：
$y(t) = kx(t)$

我們來驗證這個關係是否滿足線性的疊加性：
假設有兩個輸入 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$，它們對應的輸出分別為 $y_1(t) = kx_1(t)$ 和 $y_2(t) = kx_2(t)$。
現在考慮一個新的輸入 $x_3(t) = a x_1(t) + b x_2(t)$，其中 $a$ 和 $b$ 是任意常數。
則系統 1 輸出的預期值應為 $y_3(t) = a y_1(t) + b y_2(t) = a(kx_1(t)) + b(kx_2(t)) = k(ax_1(t) + bx_2(t)) = kx_3(t)$。
由於系統 1 的實際輸出 $y_3(t)$ 也滿足 $y_3(t) = kx_3(t)$，因此系統 1 滿足疊加性。

此外，齊次性是疊加性的一個特例。若輸入為 $ax(t)$，則輸出為 $k(ax(t)) = a(kx(t)) = ay(t)$，滿足齊次性。

因此，系統 1 是一個線性系統。

【答案】是，系統 1 是線性的。因為其輸入輸出關係為 $y(t) = kx(t)$，滿足線性系統的疊加性與齊次性。

(b) 系統 2 的線性判斷

從圖 2 中觀察系統 2 的輸入輸出曲線。這是一條與 y 軸交於 $y_c$ 點的直線，且斜率為 $k$。
對於系統 2，輸出 $y(t)$ 與輸入 $x(t)$ 的關係可以表示為：
$y(t) = kx(t) + y_c$

本題考查系統因果性 (Causality) 的概念。因果系統的輸出僅取決於當前和過去的輸入，而不依賴於未來的輸入。非因果系統則至少依賴於未來輸入的一部分。

因果系統 (Causal System) 的例子：

1. RC 電路 (如題 1 所示)：
   一個一階 RC 電路的輸出電壓 $y(t)$ 與輸入電壓 $x(t)$ 的關係通常可以表示為一個微分方程，例如 $\frac{dy(t)}{dt} + \frac{1}{RC}y(t) = \frac{1}{RC}x(t)$。
   如果我們計算其脈衝響應 $h(t) = \frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}u(t)$，其中 $u(t)$ 是單位階躍函數。由於脈衝響應 $h(t)$ 在 $t < 0$ 時為零，表示系統的響應只發生在輸入之後或同時，所以這是因果系統。
   或者，從微分方程來看，在求解時，如果我們知道 $y(t)$ 的值，它必然是由過去的輸入 $x(\tau)$ ($\tau \le t$) 積分得到的，因此是因果的。

2. 一維 FIR 濾波器 (有限脈衝響應滤波器)：
   一個離散時間的 FIR 濾波器可以表示為 $y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k]$。
   這裡的輸出 $y[n]$ 只取決於當前輸入 $x[n]$ 和過去的輸入 $x[n-1], x[n-2], \dots, x[n-M]$。它不依賴於任何未來的值 $x[n+1], x[n+2], \dots$。因此，FIR 濾波器是因果系統。

3. 延遲系統 (Delay System)：
   一個延遲系統的輸出是輸入的延遲版本，例如 $y(t) = x(t-T)$，其中 $T > 0$。

本題考查離散時間信號的卷積 (convolution) 以及 z 轉換。要求計算兩個信號卷積後的 z 轉換。根據 z 轉換的性質，兩個信號的卷積的 z 轉換等於它們各自 z 轉換的乘積。

首先，我們需要分別計算兩個信號的 z 轉換。
令 $x_1[n] = n(\frac{1}{2})^n u[n]$，其 z 轉換為 $X_1(z)$。
令 $x_2[n] = (\frac{1}{4})^n u[-n]$，其 z 轉換為 $X_2(z)$。
則 $x[n] = x_1[n] * x_2[n]$ 的 z 轉換為 $X(z) = X_1(z)X_2(z)$。

第一步：計算 $X_1(z) = \mathcal{Z}\{n(\frac{1}{2})^n u[n]\}$

我們知道基本 z 轉換對：
$\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a}$, 區域收斂 (ROC) 為 $|a||z^{-1}| < 1 \implies |z| > |a|$。
$\mathcal{Z}\{nu[n]\} = \frac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2} = \frac{z}{(z-1)^2}$, ROC 為 $|z| > 1$。

利用 z 轉換的微分性質：$\mathcal{Z}\{na^n u[n]\} = -z \frac{d}{dz} \mathcal{Z}\{a^n u[n]\}$。
或者，更直接地，我們知道 $\mathcal{Z}\{na^n u[n]\} = \frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2} = \frac{az}{(z-a)^2}$。
在這裡，$a = \frac{1}{2}$。
所以，
$X_1(z) = \mathcal{Z}\{n(\frac{1}{2})^n u[n]\} = \frac{\frac{1}{2}z}{(z-\frac{1}{2})^2}$
$X_1(z) = \frac{\frac{1}{2}z}{(z-\frac{1}{2})^2} = \frac{z/2}{(z-1/2)^2}$
其 ROC 為 $|z| > \frac{1}{2}$。

第二步：計算 $X_2(z) = \mathcal{Z}\{(\frac{1}{4})^n u[-n]\}$

信號 $u[-n]$ 是非因果的。
我們知道 $\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \frac{1}{1-az^{-1}}$，ROC 為 $|z| > |a|$。
對於 $u[-n]$，我們有 $\mathcal{Z}\{a^n u[-n]\}$。
令 $m = -n$，則 $n = -m$。

本題考查連續時間信號的卷積 (convolution)。根據卷積的定義，兩個信號 $x(t)$ 和 $h(t)$ 的卷積 $y(t)$ 為：
$y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau)d\tau$

給定的信號為：
$x(t) = e^{-t}u(t)$
$h(t) = \delta(t+1)-\delta(t)+3\delta(t+3)$

其中 $u(t)$ 是單位階躍函數，$\delta(t)$ 是單位脈衝函數。

我們可以直接利用脈衝函數的性質來計算卷積。脈衝函數 $\delta(t-t_0)$ 的性質是，對於任何函數 $f(t)$，有 $\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\delta(t-\tau-t_0)d\tau = f(t-t_0)$。
或者，更常見的寫法是 $\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau = f(t)$。
這個性質表明，脈衝函數 $\delta(t)$ 相當於一個「取樣」函數，它會將被乘的函數在脈衝出現的位置取樣。

卷積的另一種計算方式是利用其分配律：
$y(t) = x(t) * h(t) = x(t) * (\delta(t+1)-\delta(t)+3\delta(t+3))$
$y(t) = x(t) * \delta(t+1) - x(t) * \delta(t) + 3(x(t) * \delta(t+3))$

現在我們計算各項：

本題考查離散時間信號的卷積 (convolution)。給定了兩個離散時間信號 $x[n]$ 和 $h[n]$ 的圖形，需要計算它們的卷積 $y[n] = x[n] * h[n]$。

首先，我們需要從圖形中提取出這兩個信號的數學表達式。

信號 $x[n]$：
從圖 3 中可以看出，$x[n]$ 在 $n = -4, -3, -2, -1, 0$ 這幾個點有值，其他點為零。
$x[-4] = 1$
$x[-3] = 1$
$x[-2] = 1$
$x[-1] = 1$
$x[0] = 1$
因此，$x[n]$ 可以表示為：
$x[n] = u[n] - u[n-5]$ （這是一個長度為 5 的矩形脈衝，從 $n=0$ 到 $n=4$，值為 1）
或者，更精確地，根據圖形：
$x[n] = \delta[n] + \delta[n+1] + \delta[n+2] + \delta[n+3] + \delta[n+4]$
這表示 $x[n]$ 在 $n=0, -1, -2, -3, -4$ 時取值 1，其他時候為 0。

信號 $h[n]$：
從圖 3 中可以看出，$h[n]$ 在 $n = -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$ 這幾個點有值，其他點為零。
$h[-2] = -2$
$h[-1] = -1$
$h[0] = 0$
$h[1] = 1$
$h[2] = 2$
$h[3] = 3$
$h[4] = 4$
因此，$h[n]$ 可以表示為：
$h[n] = -2\delta[n+2] - \delta[n+1] + 0\delta[n] + \delta[n-1] + 2\delta[n-2] + 3\delta[n-3] + 4\delta[n-4]$
$h[n] = -\delta[n+2] - \delta[n+1] + \delta[n-1] + 2\delta[n-2] + 3\delta[n-3] + 4\delta[n-4]$
注意 $h[0]=0$。

計算卷積 $y[n] = x[n] * h[n]$

卷積的定義為：$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k]$。
由於 $x[k]$ 只在 $k \in \{-4, -3, -2, -1, 0\}$ 有值，所以求和範圍可以縮小：
$y[n] = \sum_{k=-4}^{0} x[k]h[n-k]$

我們將 $x[k]$ 的值代入：
$y[n] = x[-4]h[n-(-4)] + x[-3]h[n-(-3)] + x[-2]h[n-(-2)] + x[-1]h[n-(-1)] + x[0]h[n-0]$
$y[n] = 1 \cdot h[n+4] + 1 \cdot h[n+3] + 1 \cdot h[n+2] + 1 \cdot h[n+1] + 1 \cdot h[n]$

現在我們計算每一項 $h[\cdot]$ 的值，並將它們相加。

1. $h[n+4]$:
   $h[m]$ 在 $m \in \{-2, -1, 1, 2, 3, 4\}$ 有值。
   所以 $h[n+4]$ 在 $n+4 \in \{-2, -1, 1, 2, 3, 4\}$ 時有值。
   $n+4 = -2 \implies n = -6 \implies h[-6+4] = h[-2] = -2$
   $n+4 = -1 \implies n = -5 \implies h[-5+4] = h[-1] = -1$
   $n+4 = 1 \implies n = -3 \implies h[-3+4] = h[1] = 1$
   $n+4 = 2 \implies n = -2 \implies h[-2+4] = h[2] = 2$
   $n+4 = 3 \implies n = -1 \implies h[-1+4] = h[3] = 3$
   $n+4 = 4 \implies n = 0 \implies h[0+4] = h[4] = 4$
   所以，$h[n+4]$ 的值為：
   $n=-6: -2$
   $n=-5: -1$
   $n=-3: 1$
   $n=-2: 2$
   $n=-1: 3$
   $n=0: 4$

2. $h[n+3]$:
   $n+3 \in \{-2, -1, 1, 2, 3, 4\}$
   $n+3 = -2 \implies n = -5 \implies h[-5+3] = h[-2] = -2$
   $n+3 = -1 \implies n = -4 \implies h[-4+3] = h[-1] = -1$
   $n+3 = 1 \implies n = -2 \implies h[-2+3] = h[1] = 1$
   $n+3 = 2 \implies n = -1 \implies h[-1+3] = h[2] = 2$
   $n+3 = 3 \implies n = 0 \implies h[0+3] = h[3] = 3$
   $n+3 = 4 \implies n = 1 \implies h[1+3] = h[4] = 4$
   所以，$h[n+3]$ 的值為：
   $n=-5: -2$
   $n=-4: -1$
   $n=-2: 1$
   $n=-1: 2$
   $n=0: 3$
   $n=1: 4$

3. $h[n+2]$:
   $n+2 \in \{-2, -1, 1, 2, 3, 4\}$
   $n+2 = -2 \implies n = -4 \implies h[-4+2] = h[-2] = -2$
   $n+2 = -1 \implies n = -3 \implies h[-3+2] = h[-1] = -1$
   $n+2 = 1 \implies n = -1 \implies h[-1+2] = h[1] = 1$
   $n+2 = 2 \implies n = 0 \implies h[0+2] = h[2] = 2$
   $n+2 = 3 \implies n = 1 \implies h[1+2] = h[3] = 3$
   $n+2 = 4 \implies n = 2 \implies h[2+2] = h[4] = 4$
   所以，$h[n+2]$ 的值為：
   $n=-4: -2$
   $n=-3: -1$
   $n=-1: 1$
   $n=0: 2$
   $n=1: 3$
   $n=2: 4$

4. $h[n+1]$:
   $n+1 \in \{-2, -1, 1, 2, 3, 4\}$
   $n+1 = -2 \implies n = -3 \implies h[-3+1] = h[-2] = -2$
   $n+1 = -1 \implies n = -2 \implies h[-2+1] = h[-1] = -1$
   $n+1 = 1 \implies n = 0 \implies h[0+1] = h[1] = 1$
   $n+1 = 2 \implies n = 1 \implies h[1+1] = h[2] = 2$
   $n+1 = 3 \implies n = 2 \implies h[2+1] = h[3] = 3$
   $n+1 = 4 \implies n = 3 \implies h[3+1] = h[4] = 4$
   所以，$h[n+1]$ 的值為：
   $n=-3: -2$
   $n=-2: -1$
   $n=0: 1$
   $n=1: 2$
   $n=2: 3$
   $n=3: 4$

5. $h[n]$:
   $n \in \{-2, -1, 1, 2, 3, 4\}$
   $n=-2: -2$
   $n=-1: -1$
   $n=1: 1$
   $n=2: 2$