111 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《訊號與系統》

此題考驗離散時間訊號的卷積定義與單位步階函數的性質。
我們要證明離散時間訊號 $x[n]$ 與單位步階函數 $u[n]$ 的卷積結果，等於將 $x[n]$ 的所有樣本值加總。

卷積的定義為：
$(x * u)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] u[n-k]$

單位步階函數 $u[m]$ 的定義是：
$u[m] = \begin{cases} 1 & \text{if } m \ge 0 \\ 0 & \text{if } m < 0 \end{cases}$

在卷積的公式中，我們有 $u[n-k]$。根據單位步階函數的定義， $u[n-k]$ 的值只有在 $n-k \ge 0$ 時才為 1，否則為 0。
$n-k \ge 0 \implies k \le n$。

因此，卷積公式可以寫成：
$(x * u)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] u[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{n} x[k] \cdot 1$
$(x * u)[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]$

題目要求證明的是：
$\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] = x[n] * u[n]$
這裡的 $\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]$ 似乎是題目印刷上的錯誤，因為它是一個常數值，與 $n$ 無關，而右式的 $x[n] * u[n]$ 是一個與 $n$ 相關的函數。
根據標準的訊號與系統定義，單位步階函數與任意訊號的卷積，是該訊號的累積和（或稱總和）。
因此，題目應該是想問：
$\sum_{k=-\infty}^{n} x[k] = x[n] * u[n]$
如果題目確實是要證明 $\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] = x[n] * u[n]$，那這是一個錯誤的敘述。
假設題目是想問 $x[n] * u[n]$ 的結果，且右式的 $x[n]$ 並非指特定時間點的樣本值，而是訊號本身。
那麼，根據卷積的定義，我們得到：
$(x * u)[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]$
這代表對訊號 $x[n]$ 在 $n$ 時間點之前的（包含 $n$）所有樣本值進行加總。

如果題目真的是 $\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]$，這表示對訊號 $x[n]$ 的所有樣本值加總，得到一個常數。

此題主要考驗連續時間訊號的卷積、互相關函數以及傅立葉轉換的性質，特別是頻域下的運算關係。

首先，我們來釐清題目中定義的 $\Phi_{xy}(t)$ 與標準的互相關函數 (cross-correlation) 的定義。標準的互相關函數定義為 $\phi_{xy}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) y(\tau+t) d\tau$ 或 $\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau+t) y(\tau) d\tau$。題目中給的定義 $\Phi_{xy}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau)y(\tau)d\tau$ 實際上是將 $x$ 的時間軸反轉後再做卷積。讓我們依據題目給的定義來進行。

a. 證明卷積定義
連續時間訊號 $x(t)$ 與 $y(t)$ 的卷積定義為：
$(x * y)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\lambda) y(t-\lambda)d\lambda$
題目要求證明的是：
$x(t) * y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)y(\tau)d\tau$
這與標準卷積定義的變數形式不同。讓我們從標準定義出發，並進行變數替換。
標準卷積定義：
$(x * y)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\lambda) y(t-\lambda)d\lambda$
令 $\lambda = t - \tau$。則 $d\lambda = -d\tau$。
當 $\lambda \to -\infty$， $t-\tau \to -\infty$，由於 $t$ 是固定的，此時 $\tau \to \infty$。
當 $\lambda \to \infty$， $t-\tau \to \infty$，此時 $\tau \to -\infty$。
所以積分上下限會反轉，且出現負號：
$(x * y)(t) = \int_{\infty}^{-\infty} x(t-\tau) y(\tau) (-d\tau)$
$(x * y)(t) = -\int_{\infty}^{-\infty} x(t-\tau) y(\tau) d\tau$
$(x * y)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau) y(\tau) d\tau$
這正是題目要求證的結果。

【答案】
$x(t) * y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)y(\tau)d\tau$

b. 求解 $\Phi_{xy}(j\omega)$

此題考驗對離散時間系統性質的理解，包括輸入輸出關係、零輸入響應、記憶性、因果性、穩定性、線性與時不變性。
系統的輸出定義為 $y[n] = x_e[n]$，其中 $x_e[n]$ 是輸入訊號 $x[n]$ 的偶分量。
一個訊號 $x[n]$ 的偶分量 $x_e[n]$ 和奇分量 $x_o[n]$ 的定義如下：
$x_e[n] = \frac{1}{2}(x[n] + x[-n])$
$x_o[n] = \frac{1}{2}(x[n] - x[-n])$
顯然，$x[n] = x_e[n] + x_o[n]$。
所以，系統的輸出就是將輸入訊號 $x[n]$ 轉換為其偶分量。

a. 當輸入為脈衝函數 $\delta[n]$ 時，求輸出 $y[n]$。
輸入 $x[n] = \delta[n]$。
首先計算 $x[n]$ 的偶分量 $x_e[n]$：
$x_e[n] = \frac{1}{2}(x[n] + x[-n])$
$x_e[n] = \frac{1}{2}(\delta[n] + \delta[-n])$
我們知道 $\delta[n]$ 是偶函數，即 $\delta[n] = \delta[-n]$。
因此，
$x_e[n] = \frac{1}{2}(\delta[n] + \delta[n]) = \frac{1}{2}(2\delta[n]) = \delta[n]$
系統的輸出 $y[n]$ 是 $x_e[n]$：
$y[n] = x_e[n] = \delta[n]$

【答案】
$y[n] = \delta[n]$

b. 系統是否為記憶體（memoryless）？
一個系統如果其輸出在任何時刻 $n$ 的值僅取決於輸入在該時刻 $n$ 的值，則稱為記憶體系統。
本系統的輸出是 $y[n] = x_e[n] = \frac{1}{2}(x[n] + x[-n])$。
為了計算 $y[n]$，我們不僅需要知道 $x[n]$ 的值，還需要知道 $x[-n]$ 的值。
由於 $x[-n]$ 是過去（對於 $n>0$）或未來（對於 $n<0$）的輸入值，因此系統的輸出不僅依賴於當前輸入 $x[n]$，還依賴於過去或未來的輸入。
所以，此系統不是記憶體系統。

【答案】
否。

c. 系統是否為因果（causal）？
一個系統如果其輸出在任何時刻 $n$ 的值僅取決於當前時刻 $n$ 和過去時刻（$n'<n$）的輸入值，則稱為因果系統。
本系統的輸出是 $y[n] = \frac{1}{2}(x[n] + x[-n])$。
當 $n > 0$ 時，我們需要 $x[n]$ 和 $x[-n]$。這裡的 $x[-n]$ 是未來時刻的輸入值（因為 $-n < n$）。
例如，計算 $y[1]$ 需要 $x[1]$ 和 $x[-1]$。
由於 $y[n]$ 的計算需要 $x[-n]$，而 $-n$ 對於 $n>0$ 而言是未來的時間點。
因此，此系統不是因果系統。

【答案】
否。

d. 系統是否為穩定（stable）？
一個系統如果對於所有有界的輸入訊號，都能產生有界的輸出訊號（BIBO stable），則稱為穩定系統。
也就是說，如果 $|x[n]| \le M_x$ 對於所有 $n$ 成立，則必須存在一個常數 $M_y$ 使得 $|y[n]| \le M_y$ 對於所有 $n$ 成立。
系統輸出為 $y[n] = \frac{1}{2}(x[n] + x[-n])$。
假設輸入 $x[n]$ 是有界的，即 $|x[n]| \le M_x$ 對於所有 $n$。
那麼 $|x[-n]|$ 也必定有界，因為 $-n$ 也是所有可能的整數值。我們可以令 $|x[-n]| \le M_x$。
現在考慮輸出的絕對值：
$|y[n]| = \left| \frac{1}{2}(x[n] + x[-n]) \right|$
$|y[n]| \le \frac{1}{2}(|x[n]| + |x[-n]|)$

核心觀念

本題考查連續時間傅立葉轉換的 Parseval 關係：

$$\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}|X(\omega)|^2\,d\omega$$

其中傅立葉轉換定義為

$$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,dt$$

題目中的 $\dfrac{\sin^2(\omega)}{\omega^2}$，可由矩形脈衝的傅立葉轉換平方得到。

解題方法

選取矩形訊號

$$x(t)= \begin{cases} 1, & |t|\leq 1\\ 0, & |t|>1 \end{cases}$$

其能量為

$$\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,dt = \int_{-1}^{1}1\,dt =2$$

計算其傅立葉轉換：

$$X(\omega) = \int_{-1}^{1}e^{-j\omega t}\,dt$$ $$X(\omega) = \left[\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega}\right]_{-1}^{1} = \frac{e^{-j\omega}-e^{j\omega}}{-j\omega}$$

利用 $e^{j\theta}-e^{-j\theta}=2j\sin\theta$，得

$$X(\omega)=\frac{2\sin\omega}{\omega}$$

因此

$$|X(\omega)|^2 = \frac{4\sin^2\omega}{\omega^2}$$

代入 Parseval 關係：

此題考驗連續時間傅立葉轉換的計算，以及積分的計算。

a. 計算 $x(t) = e^{-a|t|}$ 的傅立葉轉換 $X(j\omega)$。
$x(t) = e^{-a|t|} = \begin{cases} e^{-at} & \text{if } t \ge 0 \\ e^{at} & \text{if } t < 0 \end{cases}$
傅立葉轉換的定義為：
$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt$
我們將積分拆成兩部分：
$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{0} e^{at} e^{-j\omega t} dt + \int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-j\omega t} dt$
$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{0} e^{(a-j\omega)t} dt + \int_{0}^{\infty} e^{-(a+j\omega)t} dt$
計算第一個積分：
$\int_{-\infty}^{0} e^{(a-j\omega)t} dt = \left[ \frac{e^{(a-j\omega)t}}{a-j\omega} \right]_{-\infty}^{0}$
$= \frac{e^{(a-j\omega)0}}{a-j\omega} - \lim_{t \to -\infty} \frac{e^{(a-j\omega)t}}{a-j\omega}$
因為 $a > 0$，當 $t \to -\infty$ 時，$e^{(a-j\omega)t} = e^{at} e^{-j\omega t}$。由於 $e^{at} \to 0$ 當 $t \to -\infty$，所以第一項為 0。
$= \frac{1}{a-j\omega} - 0 = \frac{1}{a-j\omega}$
計算第二個積分：
$\int_{0}^{\infty} e^{-(a+j\omega)t} dt = \left[ \frac{e^{-(a+j\omega)t}}{-(a+j\omega)} \right]_{0}^{\infty}$
$= \frac{e^{-(a+j\omega)\infty}}{-(a+j\omega)} - \frac{e^{-(a+j\omega)0}}{-(a+j\omega)}$
因為 $a > 0$，當 $t \to \infty$ 時，$e^{-(a+j\omega)t} = e^{-at} e^{-j\omega t}$。由於 $e^{-at} \to 0$ 當 $t \to \infty$，所以第一項為 0。
$= 0 - \frac{1}{-(a+j\omega)} = \frac{1}{a+j\omega}$
將兩部分結果相加：
$X(j\omega) = \frac{1}{a-j\omega} + \frac{1}{a+j\omega}$
$X(j\omega) = \frac{(a+j\omega) + (a-j\omega)}{(a-j\omega)(a+j\omega)}$
$X(j\omega) = \frac{2a}{a^2 - (j\omega)^2} = \frac{2a}{a^2 - (-\omega^2)} = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}$

【答案】
$X(j\omega) = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}$

b. 計算積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\pi}{a^2 + \omega^2} d\omega$。
我們可以使用傅立葉轉換的性質來解決這個積分。